mo0on123

y=0 không là nghiệm của pt. chia (1) cho $y^2$  

$(1)\Leftrightarrow x(\sqrt{x^2+1}+1)=\frac{3}{y}(\sqrt{(\frac{3}{y})^2+1}+1)$

xét hàm $f(t)=t(\sqrt{t^2+1}+1)$

$\Rightarrow f(x)=f(\frac{3}{y})$

đến đây thay vào (2) rồi giải ...

Bài 2 ;

Giả sử $a\geq b\geq c\Rightarrow a^{2}\geq b^{2}\geq c^{2};\frac{a}{b+c}\geq \frac{b}{c+a}\geq \frac{c}{a+b}$

Áp dụng BĐT Bunhiacopski, ta có :

$(a^{2}+b^{2}+c^{2})(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})\leq 3(\frac{a^{3}}{b+c}+\frac{b^{3}}{c+a}+\frac{c^{3}}{a+b})$

Mà ta lại có : $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}$

$\Rightarrow \frac{a^{3}}{b+c}+\frac{b^{3}}{c+a}+\frac{c^{3}}{a+b}\geq \frac{1}{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

$\frac{a^{3}}{a+b}$ mà . Nên đoạn kia không sử dụng Bdt Nesbitt được

Thử làm bừa =.= không biết là chính xác không:
$\left\{\begin{matrix} xy^{2}-2y+3x^{2}=0 (1) & \\ y^{2}+x^{2}y+2x=0 (2) & \end{matrix}\right.$
(1) $x(x+y^{2})+2(x^{2}-y)=0$

(2) $2(x+y^{2})+y(x^{2}-y)=0$
đặt :$(x+y^{2})$ = u
$(x^{2}-y)$ = v
$\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix} x.u+2u=0 (3)& \\ 2u+yv=0 (4)& \end{matrix}\right.$
(4)
$v=\frac{-2u}{y}$
Thay vào (3)
$x.y.u-4.u=0$
$(xy-4)u=0$(*)


(4)
$u=\frac{-yv}{2}$
thay vào (3)
$\Leftrightarrow xyv+4v=0$
$\Leftrightarrow v(-xy+4)=0$(**)

từ (*) và (**) đc hệ pt
$\left\{\begin{matrix} v(-xy+4)=0& \\ u(xy-4) =0 & \end{matrix}\right.$
Cộng hai pt
$(u-v)(xy-4)=0$
$\Rightarrow$ 2TH u=v=0 hoặc xy=4

#TH $u=v=0$
$\Leftrightarrow$ $x+y^{2}=x^{2}-y=0$
Giải ra được 2 nghiệm là $x=y=0$ và $x=-1 ; y=1$ (thỏa)

#TH $xy=4$
$\Rightarrow x=\frac{4}{y}$
Thay vào pt (2)
$y^{2}+\frac{4^{2}y}{y^{2}}+\frac{2.4}{y}=0$
giải ra được
$x=\frac{2}{-\sqrt[3]{3}} ; y=-2\sqrt[3]{3}$ (thỏa)
Vậy các nghiệm của hệ pt là $x=y=0$ | $x=-1 ; y=1$ | $x=\frac{2}{-\sqrt[3]{3}} ; y=-2\sqrt[3]{3}$