Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Lugiahooh

Đăng ký: 03-03-2012
Offline Đăng nhập: 27-08-2014 - 15:24
-----

Bài viết của tôi gửi

Trong chủ đề: Chứng minh rằng $(1+a)(1+b)(1+c) \geq (1+ \sqrt[3]{ab...

28-04-2014 - 11:23

Áp dụng bất đẳng thức cosi ta có $a+b+c \geq 3\sqrt[3]{abc}$ (1)

Vậy bất đẳng thức sẽ đúng nếu ta chứng minh được rằng $(1+a)(1+b)(1+c) \geq (1+\frac{a+b+c}{3})^3$

 Hay           $27(1+a)(1+b)(1+c) \geq (3+a+b+c)^3$ (2)

Theo hệ quả của bất đẳng thức (1) thì bất dẳng thức (2) luôn đúng khi ta lập phương 2 vế và áp dụng cho $a=1+a,b=1+b,c=1+c$

Suy ra đpcm

Dấu $"="$ xảy ra  $\Leftrightarrow a=b=c$

Bất đẳng thức bị ngược dấu bạn nhé!


Trong chủ đề: Lỗi sai lời giải đề thi thử.

27-04-2014 - 18:49

Bạn nói đúng, bài giải đã có vấn đề ở chỗ :

Từ $y+z\ge 2-2x$ không thể bình phương để suy ra $\frac{(y+z)^2}{2}\ge2(1-x)^2$ vì ta không biết $2-2x$ dương hay âm.

Đồng ý với bạn. Giải quyết điều này bằng cách chia trường hợp cho x.


Trong chủ đề: Cho x,y,z không âm. Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=\prod \lef...

27-04-2014 - 18:00

Cho x, y, z là các số thực dương thỏa $x+y+z=1$.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=\left ( 2x^{3}+\frac{3}{2}y^{2}-y+\frac{65}{54} \right )\left ( 2y^{3}+\frac{3}{2}z^{2}-z+\frac{65}{54} \right )\left ( 2z^{3}+\frac{3}{2}x^{2}-x+\frac{65}{54} \right )$

Ta có:

$$P=\left ( 2x^{3}+\frac{3}{2}y^{2}-y+\frac{65}{54} \right )\left ( 2y^{3}+\frac{3}{2}z^{2}-z+\frac{65}{54} \right )\left ( 2z^{3}+\frac{3}{2}x^{2}-x+\frac{65}{54} \right )$$
$$=\left ( 2x^{3}+\frac{3}{2}y^{2}-y+\frac{1}{6}+\frac{28}{27} \right )\left ( 2y^{3}+\frac{3}{2}z^{2}-z+\frac{1}{6}+\frac{28}{27} \right )\left ( 2z^{3}+\frac{3}{2}x^{2}-x+\frac{1}{6}+\frac{28}{27} \right )$$

$$=\left ( 2x^{3}+\frac{1}{6}(3z-1)^2+\frac{28}{27} \right )\left ( 2y^{3}+\frac{1}{6}(3y-1)^2+\frac{28}{27} \right )\left ( 2z^{3}+\frac{1}{6}(3x-1)^2+\frac{28}{27} \right )\geq 8(x^3+\frac{14}{27})(y^3+\frac{14}{27})(z^3+\frac{14}{27})$$

$$=\frac{8}{27^3}[(3x)^3+14][(3y)^3+14][(3z)^3+14]$$

Đặt $a = 3x; b=3y; c=3z$ thì $a+b+c = 3(x+y+z)=3$

Xét $A=[(3x)^3+14][(3y)^3+14][(3z)^3+14]=(a^3+14)(b^3+14)(c^3+14)$

Theo Cauchy: $a^3+a^3+1\geq 3a^2$

$b^3+b^3+1\geq 3b^2$

Suy ra $(a^3+14)(b^3+14\geq \frac{1}{4}(3a^2+\frac{27}{2})(3b^2+\frac{27}{2})=\frac{9}{4}(a^2+9)(b^2+9)=\frac{9}{4}(9a^2+9b^2+a^2b^2+81)\geq \frac{9}{4}(8(a^2+b^2)+a^2+b^2+2ab)\geq \frac{9}{4}(5(a+b)^2+80)=\frac{9}{4}(5(3-c)^2+80)$

Do đó: $A\geq \frac{9}{4}(5(3-c)^2+80)(c^3+14)=\frac{9}{4}(c-1)^2[c(c-2)^2+12c+50]+3375\geq 3375$

Suy ra $P=\frac{8}{27^3}A\geq \frac{1000}{27}$

Vậy $minP=\frac{1000}{27}$ đạt được khi $a=b=c=1$ hay $x=y=z=\frac{1}{3}$


Trong chủ đề: Tìm Max của A=9ab+10ac+22bc

27-04-2014 - 17:10

a,b,c là các số thực không âm và thỏa mãn a+b+c=3 . Tìm Max của A=9ab+10ac+22bc

Từ giả thiết Ta có:
 $A=9ab+10ac+22bc\leq 10ab+10ac+22bc=10a(b+c)+22bc\leq 10a(3-a)+\frac{22}{4}(b+c)^2=10a(3-a)+\frac{22}{4}(3-a)^2=-\frac{49}{2}a^2-3a+\frac{99}{2}=-a(\frac{49}{2}+3)+\frac{99}{2}\leq \frac{99}{2}$

Vậy $maxA=\frac{99}{2}$ đạt tại $a=0; b=c=\frac{3}{2}$


Trong chủ đề: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $K=\frac{2y}{...

16-04-2014 - 19:47

Từ giả thiết ta suy ra $0\leq x,y\leq 1$

Do đó $K=\frac{2y}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}\geq \sqrt{2}y+\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}$

Đặt $f(y)= \sqrt{2}y+\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}$ với $y\in [0;1]$

Ta có $f'(y)=\sqrt{2}-\frac{y}{(1+y^2)\sqrt{1+y^2}}=\frac{\sqrt{2}(1+y^2)\sqrt{1+y^2}-y}{(1+y^2)\sqrt{1+y^2}}\geq \frac{\sqrt{2}-y}{(1+y^2)\sqrt{1+y^2}}>0$ với $\forall y\in (0;1)$

Suy ra $f(y)$ đồng biến trên $(0;1)$

Mà $f(y)$ liên tục trên $[0;1]$

Suy ra $f(y) \geq f(0) = 1$

Nói cách khác $minK = 1$

Xảy ra khi $x=1; y=0$