Lugiahooh

Áp dụng bất đẳng thức cosi ta có $a+b+c \geq 3\sqrt[3]{abc}$ (1)

Vậy bất đẳng thức sẽ đúng nếu ta chứng minh được rằng $(1+a)(1+b)(1+c) \geq (1+\frac{a+b+c}{3})^3$

 Hay           $27(1+a)(1+b)(1+c) \geq (3+a+b+c)^3$ (2)

Theo hệ quả của bất đẳng thức (1) thì bất dẳng thức (2) luôn đúng khi ta lập phương 2 vế và áp dụng cho $a=1+a,b=1+b,c=1+c$

Suy ra đpcm

Dấu $"="$ xảy ra  $\Leftrightarrow a=b=c$

Bất đẳng thức bị ngược dấu bạn nhé!

Bạn nói đúng, bài giải đã có vấn đề ở chỗ :

Từ $y+z\ge 2-2x$ không thể bình phương để suy ra $\frac{(y+z)^2}{2}\ge2(1-x)^2$ vì ta không biết $2-2x$ dương hay âm.

Đồng ý với bạn. Giải quyết điều này bằng cách chia trường hợp cho x.

Cho x, y, z là các số thực dương thỏa $x+y+z=1$.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=\left ( 2x^{3}+\frac{3}{2}y^{2}-y+\frac{65}{54} \right )\left ( 2y^{3}+\frac{3}{2}z^{2}-z+\frac{65}{54} \right )\left ( 2z^{3}+\frac{3}{2}x^{2}-x+\frac{65}{54} \right )$

Ta có:

$$P=\left ( 2x^{3}+\frac{3}{2}y^{2}-y+\frac{65}{54} \right )\left ( 2y^{3}+\frac{3}{2}z^{2}-z+\frac{65}{54} \right )\left ( 2z^{3}+\frac{3}{2}x^{2}-x+\frac{65}{54} \right )$$
$$=\left ( 2x^{3}+\frac{3}{2}y^{2}-y+\frac{1}{6}+\frac{28}{27} \right )\left ( 2y^{3}+\frac{3}{2}z^{2}-z+\frac{1}{6}+\frac{28}{27} \right )\left ( 2z^{3}+\frac{3}{2}x^{2}-x+\frac{1}{6}+\frac{28}{27} \right )$$

$$=\left ( 2x^{3}+\frac{1}{6}(3z-1)^2+\frac{28}{27} \right )\left ( 2y^{3}+\frac{1}{6}(3y-1)^2+\frac{28}{27} \right )\left ( 2z^{3}+\frac{1}{6}(3x-1)^2+\frac{28}{27} \right )\geq 8(x^3+\frac{14}{27})(y^3+\frac{14}{27})(z^3+\frac{14}{27})$$

$$=\frac{8}{27^3}[(3x)^3+14][(3y)^3+14][(3z)^3+14]$$

Đặt $a = 3x; b=3y; c=3z$ thì $a+b+c = 3(x+y+z)=3$

Xét $A=[(3x)^3+14][(3y)^3+14][(3z)^3+14]=(a^3+14)(b^3+14)(c^3+14)$

Theo Cauchy: $a^3+a^3+1\geq 3a^2$

$b^3+b^3+1\geq 3b^2$

Suy ra $(a^3+14)(b^3+14\geq \frac{1}{4}(3a^2+\frac{27}{2})(3b^2+\frac{27}{2})=\frac{9}{4}(a^2+9)(b^2+9)=\frac{9}{4}(9a^2+9b^2+a^2b^2+81)\geq \frac{9}{4}(8(a^2+b^2)+a^2+b^2+2ab)\geq \frac{9}{4}(5(a+b)^2+80)=\frac{9}{4}(5(3-c)^2+80)$

Do đó: $A\geq \frac{9}{4}(5(3-c)^2+80)(c^3+14)=\frac{9}{4}(c-1)^2[c(c-2)^2+12c+50]+3375\geq 3375$

Suy ra $P=\frac{8}{27^3}A\geq \frac{1000}{27}$

Vậy $minP=\frac{1000}{27}$ đạt được khi $a=b=c=1$ hay $x=y=z=\frac{1}{3}$

a,b,c là các số thực không âm và thỏa mãn a+b+c=3 . Tìm Max của A=9ab+10ac+22bc

Từ giả thiết Ta có:
 $A=9ab+10ac+22bc\leq 10ab+10ac+22bc=10a(b+c)+22bc\leq 10a(3-a)+\frac{22}{4}(b+c)^2=10a(3-a)+\frac{22}{4}(3-a)^2=-\frac{49}{2}a^2-3a+\frac{99}{2}=-a(\frac{49}{2}+3)+\frac{99}{2}\leq \frac{99}{2}$

Vậy $maxA=\frac{99}{2}$ đạt tại $a=0; b=c=\frac{3}{2}$

Từ giả thiết ta suy ra $0\leq x,y\leq 1$

Do đó $K=\frac{2y}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}\geq \sqrt{2}y+\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}$

Đặt $f(y)= \sqrt{2}y+\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}$ với $y\in [0;1]$

Ta có $f'(y)=\sqrt{2}-\frac{y}{(1+y^2)\sqrt{1+y^2}}=\frac{\sqrt{2}(1+y^2)\sqrt{1+y^2}-y}{(1+y^2)\sqrt{1+y^2}}\geq \frac{\sqrt{2}-y}{(1+y^2)\sqrt{1+y^2}}>0$ với $\forall y\in (0;1)$

Suy ra $f(y)$ đồng biến trên $(0;1)$

Mà $f(y)$ liên tục trên $[0;1]$

Suy ra $f(y) \geq f(0) = 1$

Nói cách khác $minK = 1$

Xảy ra khi $x=1; y=0$