Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Lugiahooh

Đăng ký: 03-03-2012
Offline Đăng nhập: 27-08-2014 - 15:24
-----

#493337 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $K=\frac{2y}{...

Gửi bởi Lugiahooh trong 16-04-2014 - 19:47

Từ giả thiết ta suy ra $0\leq x,y\leq 1$

Do đó $K=\frac{2y}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}\geq \sqrt{2}y+\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}$

Đặt $f(y)= \sqrt{2}y+\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}$ với $y\in [0;1]$

Ta có $f'(y)=\sqrt{2}-\frac{y}{(1+y^2)\sqrt{1+y^2}}=\frac{\sqrt{2}(1+y^2)\sqrt{1+y^2}-y}{(1+y^2)\sqrt{1+y^2}}\geq \frac{\sqrt{2}-y}{(1+y^2)\sqrt{1+y^2}}>0$ với $\forall y\in (0;1)$

Suy ra $f(y)$ đồng biến trên $(0;1)$

Mà $f(y)$ liên tục trên $[0;1]$

Suy ra $f(y) \geq f(0) = 1$

Nói cách khác $minK = 1$

Xảy ra khi $x=1; y=0$




#471987 Tìm GTNN của $(a-b)(b-c)(c-a)(ab+bc+ca)$ với $a^2+b^2+c^2=5$

Gửi bởi Lugiahooh trong 21-12-2013 - 00:03

Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=5$. Tìm GTNN của biểu thức:

$$P = (a-b)(b-c)(c-a)(ab+bc+ca)$$


  • HLK yêu thích


#471026 $\sum \frac{a^2}{b+2c}\geq \sqrt...

Gửi bởi Lugiahooh trong 15-12-2013 - 00:02

Cho $a,b,c$ là các số thực dương, chứng minh rằng:

$$\frac{a^2}{b+2c}+\frac{b^2}{c+2a}+\frac{c^2}{a+2b}\geq \sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}}$$




#469816 $\sum (ab)^{2}\geq ab^{2}+bc^{2}...

Gửi bởi Lugiahooh trong 09-12-2013 - 01:22

Thử vài giá trị chẳng hạn $a = b = 0.5; c = 2$ thì bất đẳng thức sai.

Kể cả chiều ngược lại vẫn không đúng, $a = b = 1.1 ; c = 0.8$




#468108 Bất đẳng thức Cô si : $Cmr:4\sqrt{ab\left | a-b \rig...

Gửi bởi Lugiahooh trong 01-12-2013 - 14:14

Các bạn giải hộ mình mấy bài này với :

bài 1 :

$\forall x\geqslant 0 $

$Cmr:16x(x-1)^2\leqslant (x+1)^4$$\forall x\geqslant 0 Cmr:16x(x-1)^2\leqslant (x+1)^4$

Bài 2 :

$\forall a,b\geqslant 0$

$Cmr:4\sqrt{ab\left | a-b \right |}\leqslant (a+b)^2$

Bài 1: BĐT cần chứng minh tương đương với

$(x^2-6x+1)^2 \geq 0$

Đúng với mọi $x$ thuộc $R$.

Bài 2: Thử với $a = 0.5$ ; $b  = 0.2$ bất đẳng thức sai.




#456085 Cho x,y thỏa mãn $8x^2+y^2+\dfrac{1}{4x^2}=4...

Gửi bởi Lugiahooh trong 08-10-2013 - 11:50

Cho x,y thỏa mãn $8x^2+y^2+\dfrac{1}{4x^2}=4$

Tìm GTNN của $xy$

Đồng chào bạn đồng hương ^^!

Từ giả thiết bài toán, ta suy ra:

$4x^2y^2=-32x^4+16x^2+1=-32(x^2-\frac{1}{4})^2+1\leq 1 \Rightarrow x^2y^2\leq \frac{1}{4} \Rightarrow xy\geq -\frac{1}{2}$

Dấu bằng xảy ra chẳng hạn như khi $x=\frac{1}{2}; y=-1$

Vậy $min xy=-\frac{1}{2}$




#451124 Tìm max: P=abc/...

Gửi bởi Lugiahooh trong 17-09-2013 - 11:19

Cho a,b,c là các số thực dương.

Tìm max:

               $P=\frac{abc}{\sqrt{\left ( a^{3}+1 \right )\left ( b^{3}+1 \right )\left ( c^{3}+1 \right )}}$

$P=\frac{1}{\sqrt{(a+\frac{1}{a^2})(b+\frac{1}{b^2})(c+\frac{1}{c^2})}}=\frac{1}{\sqrt{(\frac{a}{2}+\frac{a}{2}+\frac{1}{a^2})(\frac{b}{2}+\frac{b}{2}+\frac{1}{b^2})(\frac{c}{2}+\frac{c}{2}+\frac{1}{c^2})}}\leq \frac{1}{\sqrt{(3\sqrt[3]{\frac{1}{4}})^3}}=\frac{2\sqrt{3}}{9}$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=\sqrt[3]{2}$

Vậy $max P=\frac{2\sqrt{3}}{9}$




#450792 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $\cfrac{x^4+y^4}...

Gửi bởi Lugiahooh trong 15-09-2013 - 19:51

bạn ơi làm thế nào để tìm được đoạn đó? có tài liệu nào trên diễn đàn nói về điều này không?

Nếu mình đoán không nhầm thì bạn dùng Cosi để tìm ta $xy \leq \frac{1}{3}$ , thực chất khi đó bạn đã sử dụng BĐT $(x-y)^2 \geq 0$ (bạn sẽ hiểu điều mình nói trên đây rõ ràng hơn khi trừ 2 vế của gt bài toán cho 2xy).

Nhưng đó chưa phải là tất cả, $(x+y)^2 \geq 0$ thì sao, thử suy nghĩ xem bạn nhé.

^^! Bạn tự nghiệm ra sẽ tốt hơn là chỉ rõ ra nhỉ, còn về phần tài liệu, mình không biết rõ lắm.




#446276 Cho $a,b,c\in [1;2]$ .Tìm min của $P=\frac{(a+b...

Gửi bởi Lugiahooh trong 30-08-2013 - 12:18

$c$ lớn chừng nào cho $P$ min?

Khi c thay đổi thì a, b cũng thay đổi mà bạn (do giả thiết ở đề bài), nên không thể kết luận "c lớn lên thì P nhỏ đi" được




#427111 $10cosx - 24sin2x = 13$

Gửi bởi Lugiahooh trong 14-06-2013 - 11:12

Bạn ơi cái pt 1 tớ đặt $tan\frac{x}{2}$=t. Rồi rút hết theo t. Tớ lại ra 1 cái pt bậc 3 mà k thể nào nhẩm đc nghiệm. Mà nó có nghiệm rất là lẻ.

Vậy nên mình nghĩ đề có vần đề rồi. Bạn xem lại coi.




#427105 $10cosx - 24sin2x = 13$

Gửi bởi Lugiahooh trong 14-06-2013 - 10:52

Bài 1: Chắc phải đặt x= sin x ; y = cos x rồi giải hệ quá :(

Và thực ra thì đáp số của nó đây http://www.wolframal...sx-24sin(2x)=13

Bài 2: Mình nghĩ có thể phân tích nhân tử đó ^^!

Nhưng nếu thấy khó quá thì thay vì làm việc đó, bạn có thể chuyển hết về 1 vế rồi viết biểu thức thu đc ở vế đó về dạng tam thức bậc 2 theo ẩn sin hoặc cos, (sao cho $\Delta$ tính được có mũ hai ). Hai nghiệm thu được sẽ gợi cho ta cách nhóm như thế nào để được nhân tử. Phần còn lại là của bạn ^^!




#425608 $\left\{\begin{matrix} (4x^{2}-4...

Gửi bởi Lugiahooh trong 10-06-2013 - 08:57

Ta có hệ đã cho tương đương với:

$\left\{\begin{matrix}
[3(x-y)^2+(x+y)^2-51](x-y)^2+3=0\\
[(x+y)+(x-y)-7](x-y)+1=0
\end{matrix}\right.$

 

Đặt $\left\{\begin{matrix}
a=x+y\\
b=x-y
\end{matrix}\right.$

 

Khi đó hệ trở thành:

$\left\{\begin{matrix}
3b^4+a^2b^2-51b^2+3=0\\
(a+b-7)b+1=0
\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
a=-\frac{b^2-7b+1}{b}\\ 3b^4+(b^2-7b+1)^2-51b^2+3=0 (*) \end{matrix}\right.$

Phương trình (*) tương đương với:

$2b^4-7b^3-7b+2=0$

Đây là phương trình hệ số đối xứng, giải được 2 nghiệm là $b=2 \pm \sqrt3$

Đến đây là xong rồi đó bạn




#424493 $\left( {{x^2} + x - 4} \right)\sqrt...

Gửi bởi Lugiahooh trong 06-06-2013 - 15:44

ĐK: $x^2+x-6 \geq 0$

Với điều kiện này viết lại PT đã cho như sau:

$\sqrt{(x^2+x-6)^3}+2\sqrt{x^2+x-6}=(x-2)^3+2(x-2)$

Đến đây nếu xét hàm $f(t)=t^3+2t$

thì PT đã cho tương đương với $f(x^2+x-6)=f(x-2)$

Mặt khác $f'(t)=3t^2+2 > 0$ với mọi t thực hay $f(t)$ đồng biến trên R

Do đó PT đã cho tương đương với $\sqrt{x^2+x-6}=x-2$

Giải được nghiệm $x=2$

^^!