Lugiahooh

Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=5$. Tìm GTNN của biểu thức:

$$P = (a-b)(b-c)(c-a)(ab+bc+ca)$$

http://diendantoanho...t-z-và-x2y2z23/

Cho $x, y, z$ là các số không âm thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=3$. Tìm GTNN của biểu thức:

$$P=(x+2)(y+2)(z+2)$$

Khoảng tuần trước mình có xem topic trên, tự dưng lúc đó lại nghĩ nếu đổi điều kiện x,y,z chỉ cần không âm (thay vì là các số thực) thì bài toán có trở nên đơn giản hơn không, bài toán trên được đặt ra từ lí do đó. Bằng máy tính thì đã kiểm chứng được tồn tại $min P = 4 (2+sqrt{3})$ xảy ra khi $x=y=0; z= sqrt{3}$  song đó chỉ là dự đoán, mình vẫn chưa có được lời giải cho mình.

Cho $a,b,c$ là các số thực dương, chứng minh rằng:

$$\frac{a^2}{b+2c}+\frac{b^2}{c+2a}+\frac{c^2}{a+2b}\geq \sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}}$$

Cho $x,y,z$ là các số thực dương.$x+y+z=3$

Tìm GTNN của biểu thức

$$P=\frac{xy}{y+2z}+\frac{yz}{z+2x}+\frac{zx}{x+2y}$$

$e^x-e^y<log_{2}x-log_{2}y$ với $x>y$ và $x^2+y^2=1$

Thực ra không phải mình gặp trực tiếp bài toán này, mà nghĩ rằng chứng minh nó sẽ giải quyết được một bài toán khác.