nucnt772

Bác nhầm rồi

 

Kết quả bài giới hạn này ra bằng không

Sao nó ra bằng 0 vậy anh ???

Chỉ rõ cho em với ạ !

Tính tổng $S=sin\varphi +sin2\varphi +...+sinn\varphi $ với $\varphi \neq k2\pi $ và $k\epsilon Z$

Đặt $K = 1 + cos\alpha +cos2\alpha +cos3\alpha +...+cosn\alpha$

ta có: 

$K+iS$ $=(1+cos\alpha +cos2\alpha +cos3\alpha +...+cosn\alpha )+i(sin\alpha +sin2\alpha +sin3\alpha +...+sinn\alpha )$

$=1+(cos\alpha +isin\alpha )+(cos2\alpha +isin2\alpha )+(cos3\alpha +isin3\alpha )+...+(cosn\alpha +isinn\alpha )$

=$1+(cos\alpha +isin\alpha )+(cos\alpha +isin\alpha )^{2}+(cos\alpha +isin\alpha )^{3}+...+(cos\alpha +isin\alpha )^{n}$

$=\frac{1-(cos\alpha +isin\alpha )^{n+1}}{1-(cos\alpha +sin\alpha )}$

$=\frac{1-cos(n+1)\alpha -isin(n+1)\alpha }{1-cos\alpha -sin\alpha }$

$=\frac{2sin^{2}\frac{(n+1)\alpha }{2}-2isin\frac{(n+1)\alpha }{2}.cos\frac{(n+1)\alpha }{2}}{2sin^{2}\frac{\alpha }{2}-2isin\frac{\alpha }{2}.cos\frac{\alpha }{2}}$

$=\frac{sin\frac{(n+1)\alpha }{2}}{sin\frac{\alpha }{2}}.\frac{sin\frac{(n+1)\alpha }{2}-icos\frac{(n+1)\alpha }{2}}{sin\frac{\alpha }{2}-icos\frac{\alpha }{2}}$

$=\frac{sin\frac{(n+1)\alpha }{2}}{sin\frac{\alpha }{2}}.\frac{cos(\frac{(n+1 )\alpha }{2}-\frac{\pi }{2})+isin(\frac{(n+1 )\alpha }{2}-\frac{\pi }{2})}{cos(\frac{\alpha }{2}-\frac{\pi }{2})+isin(\frac{\alpha }{2}-\frac{\pi }{2})}$

$=\frac{sin\frac{(n+1)\alpha }{2}}{sin\frac{\alpha }{2}}.[cos(\frac{(n+1)\alpha }{2}-\frac{\pi }{2}-\frac{\alpha }{2}+\frac{\pi }{2})+isin(\frac{(n+1)\alpha }{2}-\frac{\pi }{2}-\frac{\alpha }{2}+\frac{\pi }{2})]$

$=\frac{sin\frac{(n+1)\alpha }{2}}{sin\frac{\alpha }{2}}.(cos\frac{n\alpha }{2}+isin\frac{n\alpha }{2})$

$K+iS=\frac{sin\frac{(n+1)\alpha }{2}}{sin\frac{\alpha }{2}}.(cos\frac{n\alpha }{2}+isin\frac{n\alpha }{2})$

$\Rightarrow S=sin\alpha +sin2\alpha +sin3\alpha +...+sinn\alpha =\frac{sin\frac{(n+1)\alpha }{2}.sin\frac{n\alpha }{2}}{sin\frac{\alpha }{2}}$

Ta có : $\left\{\begin{matrix} &2^{x^{2}+y^{2}}.4^{x+y}=32 & \\ &(x^{2}+y^{2})^{2}+4(x^{3}+y^{3})+4(x^{2}+y^{2})=13+2x^{2}y^{2} & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2^{x^2+y^2}.2^{2x+2y}=32\\ x^4+y^4+4(x^3+y^3)+4(x^2+y^2)=13 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2^{x^2+2x}.2^{y^2+2y}=32\\ (x^2+x)^2+(y^2+y)^2=13 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x^2+2x+y^2+2y=5\\ (x^2+x)^2+(y^2+y)=13 \end{matrix}\right.$

Bạn nhầm 1 chút rồi, cái hệ cuối cùng phải ra vậy mới đúng nè:

$\left\{\begin{matrix} &x^{2}+2x+y^{2}+2y=5 & \\ &(x^{2}+2x)^{2}+(y^{2}+2y)^{2}=13 & \end{matrix}\right.$

$\int_{0}^{\pi ^{2}}\sqrt{x}sin\sqrt{x}dx$

$I=\int_{0}^{\pi ^{2}}\sqrt{x}sin\sqrt{x}dx$

đặt: $t=\sqrt{x}$ $\Rightarrow dt=\frac{dx}{2\sqrt{x}}$ $\Rightarrow dx=2tdt$

đổi cận:

$x=0\Rightarrow t=0$

$x=\pi ^{2}\Rightarrow t=\pi$

$\Rightarrow I=2\int_{0}^{\pi }t^{2}.sintdt$

đặt: $\left\{\begin{matrix} &u=t^{2} & \\ &dv=sintdt & \end{matrix}\right.$ $\Rightarrow \left\{\begin{matrix} &du=2tdt & \\ &v=-cost & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow I=-2t^{2}.cost|_{0}^{\pi }+4\int_{0}^{\pi }t.costdt$

$=2\pi ^{2}+4I_{1}$

$I_{1}=\int_{0}^{\pi }t.costdt$

đặt: $\left\{\begin{matrix} &u_{1}=t & \\ &dv_{1}=costdt & \end{matrix}\right.$ $\Rightarrow \left\{\begin{matrix} &du_{1}=dt & \\ &v_{1}=sint & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow I_{1}=t.sint|_{0}^{\pi }-\int_{0}^{\pi }sintdt$ $=cost|_{0}^{\pi }=-2$

$\Rightarrow I=2\pi ^{2}+4.(-2)=2\pi ^{2}-8$

tính tích phân: 

$I= \int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\frac{4sin^3x}{1+cos^4x}dx$

$I=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\frac{4sin^{3}x}{1+cos^{4}x}dx$ $=4\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\frac{1-cos^{2}x}{1+cos^{4}x}sinxdx$

Đặt $t=cosx$ $\Rightarrow dt=-sinxdx$

đổi cận:

$x=0\Rightarrow t=1$

$x=\frac{\pi }{4}\Rightarrow t=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow I=4\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1}\frac{1-t^{2}}{1+t^{4}}dt$ $=-4\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1}\frac{t^{2}-1}{t^{4}+1}dt$

$=-4\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1}\frac{1-\frac{1}{t^{2}}}{t^{2}+\frac{1}{t^{2}}}dt$ $=-4\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1}\frac{1-\frac{1}{t^{2}}}{(t+\frac{1}{t})^{2}-2}dt$

đặt: $u=t+\frac{1}{t}$ $\Rightarrow$ $du=(1-\frac{1}{t^{2}})dt$

đổi cận:

$t=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow u=\frac{3\sqrt{2}}{2}$

$t=1\Rightarrow u=2$

$\Rightarrow I=4\int_{2}^{\frac{3\sqrt{2}}{2}}\frac{du}{u^{2}-2}$ $=\sqrt{2}\int_{2}^{\frac{3\sqrt{2}}{2}}(\frac{1}{u-\sqrt{2}}-\frac{1}{u+\sqrt{2}})du$

$=\sqrt{2}ln|\frac{u-\sqrt{2}}{u+\sqrt{2}}|$

tới đây thay cận vô ta được kết quả là: $I=\sqrt{2}ln\frac{3+2\sqrt{2}}{5}$