Tính môdum của số phức z:
$\sqrt[3]{z^{2}.(2+2i)^{2}}=\frac{(1+i\sqrt{3})^{4}}{3+4i}$.
- quangbinng yêu thích
Gửi bởi nucnt772 trong 14-11-2014 - 19:28
Tính môdum của số phức z:
$\sqrt[3]{z^{2}.(2+2i)^{2}}=\frac{(1+i\sqrt{3})^{4}}{3+4i}$.
Gửi bởi nucnt772 trong 17-10-2014 - 18:52
Tính tổng $S=sin\varphi +sin2\varphi +...+sinn\varphi $ với $\varphi \neq k2\pi $ và $k\epsilon Z$
Đặt $K = 1 + cos\alpha +cos2\alpha +cos3\alpha +...+cosn\alpha$
ta có:
$K+iS$ $=(1+cos\alpha +cos2\alpha +cos3\alpha +...+cosn\alpha )+i(sin\alpha +sin2\alpha +sin3\alpha +...+sinn\alpha )$
$=1+(cos\alpha +isin\alpha )+(cos2\alpha +isin2\alpha )+(cos3\alpha +isin3\alpha )+...+(cosn\alpha +isinn\alpha )$
=$1+(cos\alpha +isin\alpha )+(cos\alpha +isin\alpha )^{2}+(cos\alpha +isin\alpha )^{3}+...+(cos\alpha +isin\alpha )^{n}$
$=\frac{1-(cos\alpha +isin\alpha )^{n+1}}{1-(cos\alpha +sin\alpha )}$
$=\frac{1-cos(n+1)\alpha -isin(n+1)\alpha }{1-cos\alpha -sin\alpha }$
$=\frac{2sin^{2}\frac{(n+1)\alpha }{2}-2isin\frac{(n+1)\alpha }{2}.cos\frac{(n+1)\alpha }{2}}{2sin^{2}\frac{\alpha }{2}-2isin\frac{\alpha }{2}.cos\frac{\alpha }{2}}$
$=\frac{sin\frac{(n+1)\alpha }{2}}{sin\frac{\alpha }{2}}.\frac{sin\frac{(n+1)\alpha }{2}-icos\frac{(n+1)\alpha }{2}}{sin\frac{\alpha }{2}-icos\frac{\alpha }{2}}$
$=\frac{sin\frac{(n+1)\alpha }{2}}{sin\frac{\alpha }{2}}.\frac{cos(\frac{(n+1 )\alpha }{2}-\frac{\pi }{2})+isin(\frac{(n+1 )\alpha }{2}-\frac{\pi }{2})}{cos(\frac{\alpha }{2}-\frac{\pi }{2})+isin(\frac{\alpha }{2}-\frac{\pi }{2})}$
$=\frac{sin\frac{(n+1)\alpha }{2}}{sin\frac{\alpha }{2}}.[cos(\frac{(n+1)\alpha }{2}-\frac{\pi }{2}-\frac{\alpha }{2}+\frac{\pi }{2})+isin(\frac{(n+1)\alpha }{2}-\frac{\pi }{2}-\frac{\alpha }{2}+\frac{\pi }{2})]$
$=\frac{sin\frac{(n+1)\alpha }{2}}{sin\frac{\alpha }{2}}.(cos\frac{n\alpha }{2}+isin\frac{n\alpha }{2})$
$K+iS=\frac{sin\frac{(n+1)\alpha }{2}}{sin\frac{\alpha }{2}}.(cos\frac{n\alpha }{2}+isin\frac{n\alpha }{2})$
$\Rightarrow S=sin\alpha +sin2\alpha +sin3\alpha +...+sinn\alpha =\frac{sin\frac{(n+1)\alpha }{2}.sin\frac{n\alpha }{2}}{sin\frac{\alpha }{2}}$
Gửi bởi nucnt772 trong 15-04-2014 - 22:14
Ta có : $\left\{\begin{matrix} &2^{x^{2}+y^{2}}.4^{x+y}=32 & \\ &(x^{2}+y^{2})^{2}+4(x^{3}+y^{3})+4(x^{2}+y^{2})=13+2x^{2}y^{2} & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2^{x^2+y^2}.2^{2x+2y}=32\\ x^4+y^4+4(x^3+y^3)+4(x^2+y^2)=13 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2^{x^2+2x}.2^{y^2+2y}=32\\ (x^2+x)^2+(y^2+y)^2=13 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x^2+2x+y^2+2y=5\\ (x^2+x)^2+(y^2+y)=13 \end{matrix}\right.$
Bạn nhầm 1 chút rồi, cái hệ cuối cùng phải ra vậy mới đúng nè:
$\left\{\begin{matrix} &x^{2}+2x+y^{2}+2y=5 & \\ &(x^{2}+2x)^{2}+(y^{2}+2y)^{2}=13 & \end{matrix}\right.$
Gửi bởi nucnt772 trong 13-04-2014 - 10:07
Tìm k để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:
$4^{-|x-k|}log_{\sqrt{2}}(x^{2}-2x+3)+2^{-x^{2}+2x}log_{\frac{1}{2}}(2|x-k|+2)=0$.
Gửi bởi nucnt772 trong 06-04-2014 - 11:33
Gửi bởi nucnt772 trong 30-03-2014 - 13:58
tính tích phân:
$I= \int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\frac{4sin^3x}{1+cos^4x}dx$
$I=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\frac{4sin^{3}x}{1+cos^{4}x}dx$ $=4\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\frac{1-cos^{2}x}{1+cos^{4}x}sinxdx$
Đặt $t=cosx$ $\Rightarrow dt=-sinxdx$
đổi cận:
$x=0\Rightarrow t=1$
$x=\frac{\pi }{4}\Rightarrow t=\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\Rightarrow I=4\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1}\frac{1-t^{2}}{1+t^{4}}dt$ $=-4\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1}\frac{t^{2}-1}{t^{4}+1}dt$
$=-4\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1}\frac{1-\frac{1}{t^{2}}}{t^{2}+\frac{1}{t^{2}}}dt$ $=-4\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1}\frac{1-\frac{1}{t^{2}}}{(t+\frac{1}{t})^{2}-2}dt$
đặt: $u=t+\frac{1}{t}$ $\Rightarrow$ $du=(1-\frac{1}{t^{2}})dt$
đổi cận:
$t=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow u=\frac{3\sqrt{2}}{2}$
$t=1\Rightarrow u=2$
$\Rightarrow I=4\int_{2}^{\frac{3\sqrt{2}}{2}}\frac{du}{u^{2}-2}$ $=\sqrt{2}\int_{2}^{\frac{3\sqrt{2}}{2}}(\frac{1}{u-\sqrt{2}}-\frac{1}{u+\sqrt{2}})du$
$=\sqrt{2}ln|\frac{u-\sqrt{2}}{u+\sqrt{2}}|$
tới đây thay cận vô ta được kết quả là: $I=\sqrt{2}ln\frac{3+2\sqrt{2}}{5}$
Gửi bởi nucnt772 trong 28-03-2014 - 12:29
tìm nguyên hàm $\int \frac{1}{cosx+sinx+1}dx$
Đặt $t=tan\frac{x}{2}$ $\Rightarrow dt=\frac{1}{2}.(1+tan^{2}\frac{x}{2})dx$ $\Rightarrow dx=\frac{2dt}{1+t^{2}}$
$sinx=\frac{2t}{1+t^{2}}$ , $cosx=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$
$\int \frac{dx}{1+sinx+cosx}$$=\int \frac{2dt}{(1+t^{2}).(1+\frac{2t}{1+t^{2}}+\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}})}$
$=\int \frac{dt}{t+1}$ $= ln|t+1|$ + C
Gửi bởi nucnt772 trong 28-03-2014 - 11:57
Cho hàm số y= $x^{4}-2mx^{2} +1$(m - tham số thực)
tìm m để đồ thị có 3 điểm cực trị A,B,C sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có bán kính = 1
ta có: $y' = 4x^{3}-4mx$
$y' = 0 \Leftrightarrow 4x^{3}-4mx =0$
$\Leftrightarrow x=0$ hoặc $x^{2}=m$
để hàm số có 3 cực trị $\Leftrightarrow m> 0$
khi đó 3 điểm cực trị:
$A (0;1)$
$B(-\sqrt{m};-m^{2}+1)$
$C(\sqrt{m};-m^{2}+1)$
Gọi I là trung điểm BC $\Rightarrow I(0;1-m^{2})$
dễ thấy tam giác ABC cận tại A và I là trung điểm BC
xét tam giác AIC vuông tại I, ta có: $sinC=\frac{AI}{AC}$
Gọi R là bán kính ngoại tiếp tam giác ABC, áp dụng định lý sin trong tam giác ABC:
$\frac{AB}{sinC}=2R$ $\Rightarrow \frac{AB.AC}{AI}=2$
$\Leftrightarrow AB^{2}=2AI$
$\Leftrightarrow m+m^{4}=2m^{2}$
$\Leftrightarrow m^{4}-2m^{2}+m=0$
$\Leftrightarrow m^{3}-2m+1=0$
$\Leftrightarrow m=1$ hoặc $m=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ hoặc $m=-\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
vì m > 0, nên ta nhận $m=1$ hoặc $m=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$
Gửi bởi nucnt772 trong 12-08-2013 - 01:36
Chứng minh rằng: Tam giác có hai phân giác trong bằng nhau là tam giác cân.
Gửi bởi nucnt772 trong 07-08-2013 - 18:59
Ta có : $y ' = 4x^3 + 4mx = 4x(x^2 + m)$
$y' = 0 \Leftrightarrow x = 0 \ hay \ x^2 = m$
Để hs có 3 cực trị thì y' = 0 phải có 3 nghiệm phân biệt, khi và chỉ khi m > 0.
Chỗ này bạn nhầm chút xíu nè.
ta có: $y'=4x(x+m^{2})$
$y'=0$ $\Leftrightarrow$ $x=0$ hay $x=-m^{2}$
Hàm số có 3 cực trị $\Leftrightarrow y'=0$ có 3 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow$ $m< 0$
Khi đó 3 điểm cực trị của đồ thị là: $A(0;1)$, $B(-\sqrt{-m};1-m^{2})$, $C(\sqrt{-m};1-m^{2})$
Gửi bởi nucnt772 trong 16-09-2012 - 22:00
Gửi bởi nucnt772 trong 08-09-2012 - 21:16
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học