nucnt772

Phương trình của d đi qua M(1;4) và hệ số góc k có dạng: $y=kx-k+4$
Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và d:
$x^{2}=kx-k+4$ $\Leftrightarrow x^{2}-kx+k-4=0$ (1)
ta có: $\Delta =k^{2}-4k+16> 0$ với mọi $k$
$\Rightarrow$ d luôn cắt (P) tại 2 điểm A và B mà hoành độ $x_{A}$ và $x_{B}$ là 2 nghiệm của (1).
Giả sử: $x_{A}$ < $x_{B}$.
Diện tích phải tìm là: $S=\frac{1}{6}.(x_{B}-x_{A})^{3}$ = $\frac{1}{6}.(\frac{\sqrt{\Delta }}{a})^{3}$ = $\frac{1}{6}.(\sqrt{k^{2}-4k+16})^{3}$

= $\frac{1}{6}.[(k-2)^{2}+12]^{\frac{3}{2}}\geq \frac{1}{6}.12^{\frac{3}{2}}=4\sqrt{3}$.

Vậy $minS=4\sqrt{3}$ khi $k=2$.

Mình làm như thế này không biết thế nào. mọi người xem lại giúp mình với

Điều kiện đâu bạn?
_TH1: $a=0$ $\Rightarrow sin2x=0$ ( mâu thuẫn với điều kiện ).
_TH2: $a\neq 0$, đặt $t=sin2x$ với $t\in [-1;1]$, pt trở thành $3at^{2}+4t-4a=0$ (**)
đặt $f(t)=3at^{2}+4t-4a.$
pt (*) có nghiệm $\Leftrightarrow$ pt (**) có nghiệm $\left | t \right |\leq 1$ (1)
Để ý tích a.c của pt (**) = $3a^{2}< 0$ nên điều nói trong (1) xảy ra $\Leftrightarrow 3a.f(1)\geq 0$ hoặc $3a.f(-1)\geq 0$
$\Leftrightarrow 3a.(4-a)\geq 0$ hoặc $3a.(4+a)\leq 0$
$\Leftrightarrow 0< a\leq 4$ hoặc $-4\leq a< 0$
$\Rightarrow 0< \left | a \right |\leq 4$
Từ đó xét các trường hợp $a=4$, $a=-4$, $0< a< 4$, $-4< a< 0$
.......

Trong hệ trục vuông góc $Oxy$, cho điểm $A(0;2)$ và parabol (P) có phương trình $y=x^{2}$. Xác định các điểm M trên (P) sao cho AM ngắn nhất. CMR: AM vuông góc với tiếp tuyến của parabol (P) tại M.

Gọi $M(a;a^{2})$ là điểm thuộc parabol (P), với $a\in \mathbb{R}$
Ta có: $\overrightarrow{AM}=(a;a^{2}-2)$
$\Rightarrow AM^{2}=a^{2}+(a^{2}-2)^{2}=a^{4}-3a^{2}+4$
Đặt $d=AM^{2}$ $\Rightarrow$ $d=a^{4}-3a^{2}+4$, với $a\in \mathbb{R}$
$\Rightarrow d'=4a^{3}-6a=2a.(2a^{2}-3)$
$d'=0$ $\Leftrightarrow a=0$ hoặc $a=\frac{\sqrt{6}}{2}$ hoặc $a=\frac{-\sqrt{6}}{2}$

Lập bảng biến thiên $\Rightarrow d\geq \frac{7}{4}$

$\Rightarrow AM^{2}\geq \frac{7}{4}$ $\Rightarrow AM\geq \frac{\sqrt{7}}{2}$

Do đó: $minAM=\frac{\sqrt{7}}{2}$ với $M_{1}(\frac{-\sqrt{6}}{2};\frac{3}{2})$; $M_{2}(\frac{\sqrt{6}}{2};\frac{3}{2})$

Xét đường thẳng $AM_{1}$ với hệ số góc là $k_{1}=\frac{\sqrt{6}}{6}$

Hệ số góc tiếp tuyến của (P) tại $M_{1}$ là: $y'(\frac{-\sqrt{6}}{2})=-\sqrt{6}=\frac{-6}{\sqrt{6}}=\frac{-1}{k_{1}}$

Do đó: $AM_{1}$ vuông góc tiếp tuyến cùa (P) tại $M_{1}$.
Tương tự, ta có $AM_{2}$ vuông góc tiếp tuyến cùa (P) tại $M_{2}$.

Vậy khi $AM$ ngắn nhất thì $AM$ vuông góc với tiếp tuyến của parabol (P) tại $M$.

Giúp mình bài này nữa :
$B=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{ln\left | x \right |-ln(\sqrt[3]{3x+1}+1).\left | \sqrt{x+1} -1\right |}{x}$

Ta có: $(\sqrt[3]{3x+1}+1).(\sqrt{x+1}-1)=\frac{x.(\sqrt[3]{3x+1}+1)}{\sqrt{x+1}+1}$

$ln(\sqrt[3]{3x+1}+1).\left | \sqrt{x+1}-1 \right |=ln\left | x \right |+ln(\sqrt[3]{3x+1}+1)-ln(\sqrt{x+1}+1)$

$\Rightarrow B=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{ln(\sqrt[3]{3x+1}+1)-ln(\sqrt{x+1}+1)}{x}$

$=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{ln(1+\sqrt[3]{3x+1})-ln2}{x}-\lim_{x\rightarrow 0}\frac{ln(1+\sqrt{x+1})-ln2}{x}$

$=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{ln(1+\frac{1}{2}.(\sqrt[3]{3x+1}-1))}{x}-\lim_{x\rightarrow 0}\frac{ln(1+\frac{1}{2}(\sqrt{x+1}-1))}{x}$ $=M-N$

Ta có: $M=\frac{1}{2}\lim_{x\rightarrow 0}\frac{ln(1+\frac{1}{2}.(\sqrt[3]{3x+1}-1))}{\frac{1}{2}.(\sqrt[3]{3x+1}-1)}.\frac{\sqrt[3]{3x+1}-1}{x}$ $=\frac{1}{2}.1.1=\frac{1}{2}$

$N=\frac{1}{2}\lim_{x\rightarrow 0}\frac{ln(1+\frac{1}{2}.(\sqrt{x+1}-1))}{\frac{1}{2}.(\sqrt{x+1}-1)}.\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}$ $=\frac{1}{2}.1.\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$

$\Rightarrow B=M-N=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$.

Tìm giới hạn sau:
$A=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{\sqrt{2x+1}-1}-e^{\sqrt[3]{1-3x}-1}}{x}$.

Ta có: $A=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{\sqrt{2x+1}-1}-1}{x}-\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{\sqrt[3]{1-3x}-1}-1}{x}$

$=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{\sqrt{2x+1}-1}-1}{\sqrt{2x+1}-1}.\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{2x+1}-1}{x}-\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{\sqrt[3]{1-3x}-1}-1}{\sqrt[3]{1-3x}-1}.\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt[3]{1-3x}-1}{x}$

Mà: $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{\sqrt{2x+1}-1}-1}{\sqrt{2x+1}-1}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{\sqrt[3]{1-3x}-1}-1}{\sqrt[3]{1-3x}-1}=1$

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{2x+1}-1}{x}=1$

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt[3]{1-3x}-1}{x}=-1$

$\Rightarrow A=1+1=2$

BÀI TOÁN. Dùng các số từ $1$ đến $9$ (mỗi số xuất hiện đúng $1$ lần) và các phép toán cộng $(+)$, trừ $(-)$, nhân $(\times)$ để viết thành một biểu thức có giá trị bằng $100$?

Một biểu thức thỏa mãn yêu cầu trên là:

Điều thú vị là nó còn có hàng loạt lời giải khác.


$1+2+3+4+5+6+7+8\times9 = 100$

$9\times8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 100$

$9\times8+1+2+3+4+5+6+7=100$

$(9\times8) + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7=100$

$8\times9+1+2+3+4+5+6+7=100$

$9\times8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 100$

$1 + 2 + 3 + 4 + 5 +6 + 7 + (8\times9) = 100$

$9\times8+1+2+3+4+5+6+7=100$

$(9\times8)+7+6+5+4+3+2+1 = 100.$

$8 \times 9 + 7 + 1 + 6 + 5 + 4 + 2 + 3 = 100$

Những cách này giống nhau mà anh.

Để tránh bị mất điểm thì tốt nhất là nên dùng phương pháp hàm số, xét sự biến thiến của nó.

Làm như vậy được không anh?
ta có: $y'=3x^{2}-6.(2m+1)x+12m+5$ $\geq 0$
$\Rightarrow 12.(x-1)m\leq 3x^{2}-6x+5$
Trong khoảng $[2;+\infty )$ ta có: $12m\leq \frac{3x^{2}-6x+5}{x-1}$

Trong khoảng $(-\infty ;-1]$ ta có: $12m\geq \frac{3x^{2}-6x+5}{x-1}$

Xét hàm số: $h(x)=\frac{3x^{2}-6x+5}{x-1}$ trên miền $D=(-\infty ;-1] \cup [2;+\infty )$

Ta có: $h'(x)=\frac{3x^{2}-6x+1}{(x-1)^{2}}$

$h'(x)=0\Leftrightarrow x=\frac{3+\sqrt{6}}{3}$ hoặc $x=\frac{3-\sqrt{6}}{3}$

Lập bảng biến thiên, do đó:
. $12m\leq \underset{x\geq 2}{minh(x)}=5$

. $12m\geq \underset{x\leq -1}{maxh(x)}=-7$

Vậy:
_ Hàm số đã cho đồng biến trong khoảng $[2;+\infty )$ $\Leftrightarrow m\leq \frac{5}{12}$

_ Hàm số đã cho đồng biến trong các khoảng $(-\infty ;-1]$ và $[2;+\infty )$ $\Leftrightarrow$ $\frac{-7}{12}\leq m\leq \frac{5}{12}$.

Ta có thể viết:
$f=25(x^{2}+y^{2})+(12-3x-4y)^{2}$
$=(4x-3y)^{2}+2.(3x+4y-6)^{2}+72\geq 72$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow 4x-3y=0$ và $3x+4y-6=0$
$\Leftrightarrow x=\frac{18}{25}$ và $y=\frac{24}{25}$

$\Rightarrow$ đpcm.

Mình xin trả lời thắc mắc của bạn như sau: (Đọc thắc mắc của bạn mà mình thấy vui vui sao ấy )

b) Bạn xem thử cách mình nhé:
Gọi $M_{0}(0;-1)$ $\in ©$, và tổng khoảng cách từ $M_{0}$ đến 2 trục tòa độ là: $d_{0}=1$
© có 2 tiệm cận:
TCĐ: $x=-2$
TCN: $y=1$
_ Nếu $x_{M}\geq 2$ thì $y_{M}\geq 0$, ta có: $d\geq 2> d_{0}$ (loại)
_ Nếu $x_{M}< -2$ thì $y_{M}>1$, ta có: $d> 3> d_{o}$ (loại)

_ Xét trường hợp: $-2< x_{M}< 0$, $y_{M}< 0$
Ta có: $d=-x-y=-x-\frac{x-2}{x+2}$ $=\frac{-x^{2}-3x+2}{x+2}$

$\Rightarrow d'=\frac{-x^{2}-4x-8}{(x+2)^{2}}$ < 0

$\Rightarrow d$ giảm trong (-2;0)
$\Rightarrow d> 1=d_{0}$

_ Xét trường hợp: $0\leq x_{M}< 2$, $y_{M}< 0$
Ta có: $d=x-y$ = $x-\frac{x-2}{x+2}$ = $\frac{x^{2}+x+2}{x+2}$
$\Rightarrow d'=\frac{x^{2}+4x}{(x+2)^{2}}$
$d'=0$ $\Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=-4$
Lập bảng biến thiên $\Rightarrow d\geq 1=d_{0}$
Vậy $d_{0}$ là giá trị nhỏ nhất của $d$.
Điểm M phải tìm là điểm $M_{0}(0;-1)$, giao điểm của đồ thị © và trục tung.

* Để làm câu a) ta đi vào phương pháp chung như sau:
Chứng minh đường thẳng $y = ax + b$ là trục đối xứng của đồ thị ©
- Dựng đường thẳng (d') vuông góc với đường thẳng (d)
- Tìm điều kiện để phương trình hoành độ giao điểm của © và (d') luôn có 2 nghiệm phân biệt A và B
- Tìm tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB
- Nếu tọa độ M thỏa mãn phương trình đường thẳng (d) thì đường thẳng (d) chính là trục đối xứng của đồ thị hàm số ©

a) Gọi (d') $y = - x + m$ là đường thẳng vuông góc với đường thẳng (d) $y = x + 3$
Phương trình hoành độ giao điểm của © và (d'):
$\frac{{x - 2}}{{x + 2}} = - x + m \Leftrightarrow {x^2} + \left( {3 - m} \right)x - 2 - 2m = 0$
Ta có $\Delta = {\left( {m + 1} \right)^2} + 16 > 0$ do đó © và (d') cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B
Trung điểm I của đoạn thẳng AB có tọa độ:
$\left\{ \begin{array}{l}
{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = \frac{{m - 3}}{2}\\
{y_I} = \frac{{3 + m}}{2}
\end{array} \right.$
Ta nhận ra rẳng điểm I thuộc vào đường thẳng (d) $y = x + 3$ nên đường thẳng (d) $y = x + 3$ là trục đối xứng của đồ thị ©
b) Xác định M thuộc © để tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là nhỏ nhất
Tọa độ $M\left( {{x_M};\frac{{{x_M} - 2}}{{{x_M} + 2}}} \right)$
$\begin{array}{l}
d\left( {M,Ox} \right) = \left| {\frac{{{x_M} - 2}}{{{x_M} + 2}}} \right|\\
d\left( {M,Oy} \right) = \left| {{x_M}} \right|
\end{array}$
$d\left( {M,Ox} \right) + d\left( {M,Oy} \right) = \left| {\frac{{{x_M} - 2}}{{{x_M} + 2}}} \right| + \left| {{x_M}} \right| \ge 2\sqrt {\left| {\frac{{{x_M} - 2}}{{{x_M} + 2}}} \right|\left| {{x_M}} \right|} $
$d\left( {M,Ox} \right) + d\left( {M,Oy} \right)$ nhỏ nhất khi và chỉ khi dấu "=" xảy ra $\left| {\frac{{{x_M} - 2}}{{{x_M} + 2}}} \right| = \left| {{x_M}} \right|$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x_M} - 2}}{{{x_M} + 2}} = {x_M}\\
\frac{{{x_M} - 2}}{{{x_M} + 2}} = - {x_M}
\end{array} \right. \Leftrightarrow x_M^2 + 3{x_M} - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x_M} = \frac{{ - 3 - \sqrt {17} }}{2}\\
{x_M} = \frac{{ - 3 + \sqrt {17} }}{2}
\end{array} \right.$

Câu a) Trên hình vẽ ta thấy M là trung điểm AB, vậy sao bài làm bạn kết luận $I$ là trung điểm AB.
Câu b) Bạn làm sai rồi.
Ta gọi điểm M$(x;y)$ là điểm tùy ý thuộc ©. Ta xác định M sao cho $d=\left | x \right |+\left | y \right |$ đạt GTNN
Để ý điểm $M_{0}(0;-1).$ và tổng khoảng cách từ điểm $M_{0}$ đến 2 trục tòa độ là: $d_{0}=1$

Phương trình đã cho tương đương với phương trình:
$4x^{2}-4.(1-sin\alpha )x-(1+cos2\alpha )=0$ (1)
Phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt $x_{1}$ và$x_{2}$ ( Vì sao? Bạn tự chứng minh. )
Đặt $y=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}$
$=(1-sin\alpha )^{2}+\frac{1+cos2\alpha }{2}$

$=1-2sin\alpha +sin^{2}\alpha +cos^{2}\alpha$ $=2.(1-sin\alpha )$
a) $y$ đạt GTLN $\Leftrightarrow sin\alpha$ đạt GTNN
$\Leftrightarrow sin\alpha =-1$ $\Leftrightarrow \alpha =\frac{-\pi }{2}+k2\pi$ với $k\in \mathbb{Z}$

b) $y$ đạt GTNN $\Leftrightarrow sin\alpha$ đạt GTLN
$\Leftrightarrow sin\alpha =1$ $\Leftrightarrow \alpha =\frac{\pi }{2}+k2\pi$ với $k\in \mathbb{Z}$

Vậy: với $\alpha =\frac{-\pi }{2}+k2\pi$, ta có $maxy=4$

với $\alpha =\frac{\pi }{2}+k2\pi$, ta có $miny=0$.

Cho hàm số: $y=\frac{x-2}{x+2}$ $(C)$.

a) Chứng minh rằng đồ thị hàm số nhận đường thằng $y=x+3$ làm trục đối xứng.
b) Xác định điểm M thuộc đồ thị sao cho tổng các khoảng cách từ M đến 2 trục đồ thị là nhỏ nhất.

Từ đồ thị, thấy rằng giá trị nhỏ nhất của $T$ phải là $-7$ chứ không thể là $0$, hoặc bạn cũng có thể thế $\sin \alpha=1$ vào $T$ bạn sẽ ra $T=-7$, nhỏ hơn cả GTNN mà bạn tìm được

Và đây là cách của mình:
Xét pt: $x^{2}-(2sin\alpha -1)x+6sin^{2}\alpha -sin\alpha -1=0$ (1).
Ta có: $\Delta =(2sin\alpha -1)^{2}-4.(6sin^{2}\alpha -sin\alpha -1)$ $=-20sin^{2}\alpha+5=5(-4sin^{2}\alpha +1)$
PT (1) có 2 nghiệm $x_{1}$, $x_{2}$ $\Leftrightarrow \Delta \geq 0$
$\Leftrightarrow -4sin^{2}\alpha +1\geq 0$ $\Leftrightarrow \frac{-1}{2}\leq sin\alpha \leq \frac{1}{2}$
Với điều kiện trên ta có:
$T=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$$=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}$=$(2sin\alpha -1)^{2}-2.(6sin^{2}\alpha -sin\alpha -1)$
=$-8sin^{2}\alpha -2sin\alpha +3$
Đặt $t=sin\alpha$, với $\frac{-1}{2}\leq t\leq \frac{1}{2}$
$\Rightarrow T=-8t^{2}-2t+3$
Xét hàm số $f(t)=-8t^{2}-2t+3$ trên đoạn $[\frac{-1}{2};\frac{1}{2}]$
Ta có: $f'(t)=-16t-2$
$f'(t)=0\Leftrightarrow t=\frac{-1}{8}$
Lập bảng biến thiên $\Rightarrow 0\leq f(t)\leq \frac{25}{8}$
Do đó ta có:
$maxT=\frac{25}{8}\Leftrightarrow t=\frac{-1}{8}$
$\Leftrightarrow sin\alpha =\frac{-1}{8}\Leftrightarrow \alpha =(-1)^{k+1}arcsin\frac{1}{8}+k\pi$, với $k\in \mathbb{Z}$

$minT=0\Leftrightarrow t=\frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow sin\alpha =\frac{1}{2}\Leftrightarrow \alpha =(-1)^{k}\frac{\pi }{6}+k\pi$, với $k\in \mathbb{Z}$

$T=-8\sin^{2}\alpha -2\sin\alpha +3$
$T=-(8\sin^{2}\alpha -2.2\sqrt{2}\sin\alpha.\frac{\sqrt{2}}{4} +\frac{1}{8})+\frac{25}{8}$

Chỗ này bạn rút dấu $"-"$ ra sai rồi.
Vậy $maxT=\frac{25}{8} \Leftrightarrow$ $sin\alpha =\frac{-1}{8}$

$\Leftrightarrow \alpha =(-1)^{k+1}arcsin\frac{1}{8}+k\pi$ với $k\in \mathbb{Z}$

Bạn xem lại GTNN đi, cách của mình ra $minT=0$ $\Leftrightarrow sin\alpha =\frac{1}{2}$.

Xét hàm số: $y=\left | 2cosx-1 \right |+\left | 2sinx-1 \right |,$ $x\in \mathbb{R}$
Ta có:
$y^{2}=(\left | 2cosx-1 \right |+\left | 2sinx-1 \right |)^{2}$$\leq 2[(2cosx-1)^{2}+(2sinx-1)^{2}]$$=2[6-4(sinx+cosx)].$

Ta lại có: $sinx+cosx\geq -\sqrt{2}$
$\Rightarrow -4(sinx+cosx)\leq 4\sqrt{2}$
$\Rightarrow y^{2}\leq 2[6+4\sqrt{2}]=4(\sqrt{2}+1)^{2}$
$\Rightarrow y\leq 2(\sqrt{2}+1)$

Do đó ta có: max$y=2(\sqrt{2}+1)$
ta có; y $\leq m$ với mọi $x\in \mathbb{R}$
$\Leftrightarrow m\geq maxy$
$\Leftrightarrow m\geq 2(\sqrt{2}+1)$