Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


ninhxa

Đăng ký: 05-03-2012
Offline Đăng nhập: 01-12-2013 - 13:23
***--

#436540 Cho a,b,c thoả mãn $0\leq a,b,c\leq 2$ và $a+b+c=4...

Gửi bởi ninhxa trong 20-07-2013 - 16:10

Cho a,b,c thoả mãn $0\leq a,b,c\leq 2$ và $a+b+c=4$ .

Tìm MAX $a^{3}+b^{3}+c^{3}+4abc$

Biến đổi biểu thức về: $P=64-12(ab+bc+ca)+7abc$

Đặt c=max(a;b;c)

Xét A=$-12(ab+bc+ca)+7abc=ab(7c-12)+12c(c-4)$

Nếu $c\geq \frac{12}{7}$ thì:

$A\leq \frac{(a+b)^2}{4}.(7c-12)+12c(c-4)=\frac{1}{7}(c-2)(7c^2-6c+4)-46\leq -46\rightarrow dpcm$

Nếu $c\leq \frac{12}{7}$ thì

$a,b\leq \frac{12}{7}\Rightarrow (a-\frac{12}{7})(b-\frac{12}{7})\geq 0$

$\Rightarrow ab\geq \frac{12}{7}(b+c)-\frac{144}{49}$

$\Rightarrow A\leq \left [ \frac{12}{7}(4-c)-\frac{144}{49} \right ](7c-12)+12c(c-4)=-\frac{2304}{49}< -46$

$\rightarrow dpcm$




#428415 Sử dụng khai triển $Abel$ để chứng minh bất đẳng thức

Gửi bởi ninhxa trong 17-06-2013 - 23:46

Bài toán 4:Với $a\geq 3, a+b\geq 5, a+b+c\geq 6$, chứng minh rằng

$a^2+b^2+c^2\geq 14$

 

bạn namsub nói đúng rồi đó

bài này có thể làm như sau:

áp dụng bdt cauchy-schwaz ta dc:

$(a^2+b^2+c^2)(3^2+2^2+1^2)\geq (3a+2b+c)^2$

theo phép nhóm abel ta có:

$3a+2b+c=(3-2)a+(2-1)(a+b)+a+b+c\geq 3+5+6=14$

ta có dc dpcm




#410926 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b...

Gửi bởi ninhxa trong 06-04-2013 - 22:59

Điều kiện tương đương với: $(a+b)^2=1+2ab$

Bất đẳng thức tương đương với:

$\frac{a+b}{ab}-\frac{1}{ab}\geq 2\left ( \sqrt{2}-1 \right )$

$\Leftrightarrow a+b\geq 2(\sqrt{2}-1)ab+1$

$\Leftrightarrow (a+b)^2\geq \left 4( \sqrt{2}-1 \right )\right ]^2(ab)^2+1+4\left ( \sqrt{2}-1 \right )ab+1$

$\Leftrightarrow ab\leq \frac{1}{2}$   (đúng theo am-gm)




#410856 Tìm p,q nguyên tố thỏa mãn $p^3-q^7=p-q$

Gửi bởi ninhxa trong 06-04-2013 - 20:46

Tìm $p,q$ nguyên tố thỏa mãn $p^3-q^7=p-q$




#394687 $abc\geq 8$

Gửi bởi ninhxa trong 08-02-2013 - 01:10

Áp dụng bdt A-G ta có: $a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}$
Do đó: $abc\geq 3\sqrt[3]{abc}+2\Leftrightarrow (\sqrt[3]{abc}+1)^{2}(\sqrt[3]{abc}-2)\geq 0\Leftrightarrow \sqrt[3]{abc}\geq 2\Leftrightarrow abc\geq 8$


#351689 Đề thi chọn HSG lớp 10 trường THPT chuyên KHTN - ĐHQGHN năm học 2012-2013

Gửi bởi ninhxa trong 02-09-2012 - 21:35

Câu I:
2) Tìm các cặp nguyên dương $(x;y)$ sao cho $x^2-2$ chia hết cho $xy+2$

-Ta có:
$xy+2|x^2-2$
$\Rightarrow xy+2|\left ( x^2-2\right )y=x^2y-2y=x(xy+2)-2(x+y)$
$xy+2|2(x+y)$
$\Rightarrow 0<xy<xy+2\leq 2x+2y\leq 4x$ (ko mất tính tổng quát gs $y\leq x$)
$0< y< 4\Rightarrow y=1,2,3$
-Đến đây dễ rồi :D


#351516 $p^2+4pr\geq 9r^2+4r$

Gửi bởi ninhxa trong 02-09-2012 - 09:54

Cho a,b,c>0 và a+b+c=1. Với q=ab+bc+ca, r=abc. Chứng minh rằng:
$q^2+4qr\geq 9r^2+4r$


#349903 [MO2013] Trận 1 - Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình

Gửi bởi ninhxa trong 26-08-2012 - 15:52

Đề thi trận 1
Giải hệ phương trình trên tập hợp số thực :
$$\begin{cases}
& \text \sqrt[8]{2.\sqrt[5]{7} - \sqrt[10]{y}} + (17 - \sqrt{37}).z^2 = 544 - 32.\sqrt{37} (1) \\
& \text x.(9.\sqrt{1 + x^2} + 13.\sqrt{1 - x^2}) + 4\sqrt{y} = 912 (2)\\
& \text \sqrt{(10.\sqrt{5} + 20).x.(1 - x)} + z.\sqrt[6]{8} = 10 (3)
\end{cases}$$

-ĐKXD:
$\left\{\begin{matrix}y\leq 50176 \\ 1-x^2\geq 0 \\ x(1-x)\geq 0 \end{matrix}\right.$
-Ta có:
*Xét $0\leq x$ (?) thì từ pt (2) ta có: $4\sqrt{y}\geq 912\Leftrightarrow y\geq 51984$ (trái dkxd)
*Xét $x>0$ ta có:
$x.(9.\sqrt{1 + x^2} + 13.\sqrt{1 - x^2})=9\sqrt{x^2+x^4}+13\sqrt{x^2-x^4}$
-Áp dụng bdt Cauchy-Shwarz và bdt phụ $ab\leq \frac{(a+b)^2}{4}$ (với mọi ab) ta có:
$\left ( 9\sqrt{x^2+x^4}+13\sqrt{x^2-x^4} \right )^2=\left ( 3\sqrt{3}.\sqrt{3x^2+3x^4}+\sqrt{13}.\sqrt{13x^2-13x^4} \right )^2\leq (13+27)(3x^2+3x^4+13x^2-13x^4)=16.5x^2(8-5x^2)\leq 16.\frac{(5x^2+8-5x^2)^2}{4}=16^2$
-Do đó:
$x.(9.\sqrt{1 + x^2} + 13.\sqrt{1 - x^2})\leq 16$
Dấu bằng xảy ra khi: $x=\frac{2}{\sqrt{5}}$
-Kết hợp với pt (2) ta có: $4\sqrt{y}\geq 896\Rightarrow y\geq 50176$
mà theo dkxd thì $y\leq 50176$ nên y=50176
-Từ đó: $x.(9.\sqrt{1 + x^2} + 13.\sqrt{1 - x^2})= 16$
$\Leftrightarrow x=\frac{2}{\sqrt{5}}$
-Thay y=50176 vào pt (1) ta tìm dc $z=\pm \sqrt{32}$
-Thử lại ta thấy $\left ( x;y;z \right )=\left ( \frac{2}{\sqrt{5}};50176;\sqrt{32} \right )$ là nghiệm của hpt
-Do vậy hệ có duy nhất 1 nghiệm là: $\left ( x;y;z \right )=\left ( \frac{2}{\sqrt{5}};50176;\sqrt{32} \right )$

p/s: ở cuộc thi trên diễn đàn pt, hệ pt toàn dùng bdt. liệu chủ đề này có phải là chủ đề bdt 2.0 ko nhỉ? Trá hình thôi.

Điểm bài: 10
S=48−(63−20)+3×10+0+0=35


#348208 $\left\{\begin{matrix} x^{9999}+...

Gửi bởi ninhxa trong 19-08-2012 - 12:10

Bài toán. Giải hệ phương trình
$$\left\{\begin{matrix}
x^{9999}+y^{9999}=1 & & \\
x^{10000}+y^{10000}=1& &
\end{matrix}\right.$$

-Từ pt (2) ta có nhận xét:
$\left\{\begin{matrix}0\leq |x|\leq 1 \\ 0\leq |y|\leq 1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x^2\leq 1 \\ y^2\leq 1 \end{matrix}\right.$
-Trừ vế với về pt(2) cho pt (1) ta có:
$x^{9998}(x^2-1)+y^{1998}(y^2-1)=0$
-Dễ thấy $VT\leq 0$. Dấu bằng xảy ra khi (x;y)=(0;1) ;(1,0)
-Từ đó ta có nghiệm của pt.


#348003 Topic bất đẳng thức THCS (2)

Gửi bởi ninhxa trong 18-08-2012 - 20:53

Bài 494
Bài làm
a, ta có :$ a^2 +b^2 \leq (a+b)^2 =4$
$ab \leq \frac{(a+b)^2}{4}=1$
$\Rightarrow ab(a^2+b^2) \leq 4 $
Vậy$ A_{Max} =4$
Dấu $=$ sảy ra $\leftrightarrow a=b=0$

-Bất đẳng thức đó là j` vậy.
-Bài này làm như sau:
Áp dụng bdt am-gm ta có:
$2ab(a^2+b^2)\leq \frac{(a^2+b^2+2ab)^2}{4}=\frac{(a+b)^4}{4}=4$


#347181 tìm giá trị max của:$Q=\frac{ab}{c+ab}+\fr...

Gửi bởi ninhxa trong 16-08-2012 - 12:48

Cho các số thực dương $a;b;c$ tm $a+b+c=1$.tìm giá trị max của:$Q=\frac{ab}{c+ab}+\frac{bc}{a+bc}+\frac{ca}{b+ca}-\frac{1}{4abc}$

-Áp dụng bdt Am-Gm ta có:
$\sum \frac{ab}{c+ab}=\sum \frac{ab}{c(a+b+c)+ab}=\sum \frac{ab}{(c+a)(b+c)}\leq \sum \frac{ab}{4c\sqrt{ab}}=\sum \frac{\sqrt{ab}}{4c}\leq \sum \frac{a+b}{8c}=\sum \frac{1-c}{8c}=\frac{1}{8}\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )-\frac{3}{8}=\frac{ab+bc+ca}{8abc}-\frac{3}{8}\leq \frac{(a+b+c)^2}{24abc}-\frac{3}{8}=\frac{1}{24abc}-\frac{3}{8}$
$\Rightarrow Q\leq \frac{1}{12abc}-\frac{1}{4abc}-\frac{3}{8}=\frac{-5}{24abc}-\frac{3}{8}\leq \frac{-5.27}{24.(a+b+c)^3}-\frac{3}{8}=-6$
-Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$


#347147 Topic yêu cầu tài liệu THPT

Gửi bởi ninhxa trong 16-08-2012 - 10:33

Cho mình xin tài liệu về định lý con nhím và ứng dụng của nó,thật sự mình search mãi mà không down được,ai cho mình với(mình muốn down về tiện cho việc học )

-Mình có tài liệu này

File gửi kèm




#346666 Thảo luận về BĐT trong kì thi HSG

Gửi bởi ninhxa trong 14-08-2012 - 13:34

Bài 2: Cho hai số thực x, y thỏa mãn $1\geq x\geq y> 0$
Chứng minh rằng $\frac{x^{3}y^{2} + y^{3} + x^{2}}{x^{2} + y^{2} + 1}\geq xy$

-Bài 2 thì có lẽ quy đồng lên là dễ nhất
-Bdt tương đương với:
$x^3y^2+y^3+x^2\geq x^3y+xy^3+xy\Leftrightarrow x^3y(1-y)+y^3(1-x)+x(x-y)\geq 0$
-Bdt cuối đúng theo dk

P/s: Nhầm rồi :(


#346589 Đề thi chuyên toán Vĩnh Phúc năm học 2012 - 2013

Gửi bởi ninhxa trong 13-08-2012 - 22:05

Câu 3 (2 điểm) :Cho các số thực dương a , b , c thỏa mãn $abc\leq 1$ . Chứng minh rằng $\frac{a}{b^{3}}+\frac{b}{c^{3}}+\frac{c}{a^{3}}\geq a+b+c$

-Ko hiểu cách của trungdung97 lắm. post cách này dù khá dài.
-Do $abc\leq 1$ nên $VT\geq abc\left ( \frac{a}{b^3}+\frac{b}{c^3}+\frac{c}{a^3} \right )=\left ( \frac{a^2c}{b^2}+\frac{b^2a}{c^2}+ \frac{c^2b}{a^2}\right )$(1)
-Áp dụng bdt Cauchy-Schwaz ta có:
$\left ( \frac{a^2c}{b^2}+\frac{b^2a}{c^2}+ \frac{c^2b}{a^2}\right )(c+a+b)\geq \left ( \frac{ac}{b}+\frac{ba}{c} +\frac{cb}{a}\right )^2=\left ( \frac{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}{abc} \right )^2\geq \left [ \frac{abc(a+b+c)}{abc} \right ]^2=(a+b+c)^2$
$\Rightarrow\frac{a^2c}{b^2}+\frac{b^2a}{c^2}+ \frac{c^2b}{a^2}\geq a+b+c$(2)
-Từ (1) và (2) ta có dpcm


#346501 GHPT : $\left\{\begin{matrix} x-2y-\sqrt{xy}=0 &...

Gửi bởi ninhxa trong 13-08-2012 - 17:04

$\left\{\begin{matrix} x-2y-\sqrt{xy}=0 & & \\ \sqrt{x-1}+\sqrt{4y-1}=2 & & \end{matrix}\right.$

-ĐK: $x\geq 1\vee y\geq \frac{1}{4}$
-Từ pt (1) ta có:
$x-2y=\sqrt{xy}\Rightarrow x^2+4y^2-4xy=xy$
$\Leftrightarrow x^2+4y^2-5xy=0\Leftrightarrow (x-y)(x-4y)=0$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix}x=y \\ x=4y \end{bmatrix}$
-Từ đây bạn thế vào pt (2). Tìm ra nghiệm thì thử lại và kết luân