Cho a,b,c thoả mãn $0\leq a,b,c\leq 2$ và $a+b+c=4$ .
Tìm MAX $a^{3}+b^{3}+c^{3}+4abc$
Biến đổi biểu thức về: $P=64-12(ab+bc+ca)+7abc$
Đặt c=max(a;b;c)
Xét A=$-12(ab+bc+ca)+7abc=ab(7c-12)+12c(c-4)$
Nếu $c\geq \frac{12}{7}$ thì:
$A\leq \frac{(a+b)^2}{4}.(7c-12)+12c(c-4)=\frac{1}{7}(c-2)(7c^2-6c+4)-46\leq -46\rightarrow dpcm$
Nếu $c\leq \frac{12}{7}$ thì
$a,b\leq \frac{12}{7}\Rightarrow (a-\frac{12}{7})(b-\frac{12}{7})\geq 0$
$\Rightarrow ab\geq \frac{12}{7}(b+c)-\frac{144}{49}$
$\Rightarrow A\leq \left [ \frac{12}{7}(4-c)-\frac{144}{49} \right ](7c-12)+12c(c-4)=-\frac{2304}{49}< -46$
$\rightarrow dpcm$
- nguyencuong123, ongngua97 và AM GM thích