ninhxa

Cho a,b dương và $a^{2000}+b^{2000}= a^{2001}+b^{2001}= a^{2002}+b^{2002}$
Tính $a^{2011}+b^{2011}$

-Bạn nguyenta98 làm số nhiều quen kiểu lùi thế
-Từ giả thiết:
$a^{2012}+b^{2012}+a^{2010}+b^{2010}-2\left ( a^{2011}+b^{2011} \right )=0$$\Leftrightarrow a^{2010}(a-1)^2+b^{2010}(b-1)^2=0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a=1 \\ b=1 \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow a^{2011}+b^{2011}=2$

Thêm: CMR: Nếu 3 số TN m,m+k,m+2k đều là các số nguyên tố lớn hơn 3, thì k$\vdots$6

http://diendantoanho...chia-hết-cho-6/

Bài này $x+y\leq 4$ thì mới có Min

Thử mò thêm bài nữa nhé

Bài toán. Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a^2+2b^2+3c^2=1$. Tìm

$$Min_P=2a^3+3b^3+4c^3$$

Nếu thuần " mò" mà ra được thì coi như em giỏi =))

-Em làm kiểu này thì kết quả lại khác bạn WhjteShadow
-Áp dụng bdt AM-GM với 3 số, ta được:
$a^3+a^3+\left ( \frac{6}{\sqrt{407}} \right )^3\geq \frac{18}{\sqrt{407}}.a^2$
$\frac{3}{2}\left [ b^3+b^3+\left ( \frac{8}{\sqrt{407}} \right ) ^3\right ]\geq \frac{36}{\sqrt{407}}.b^2$
$2\left [ c^3+c^3+\left (\frac{9}{\sqrt{407}} \right )^3 \right ]\geq \frac{54}{\sqrt{407}}c^2$
-Cộng vế theo vế bdt ta được:
$2a^3+3b^3+4c^3+\geq \frac{18}{\sqrt{407}}\left ( a^2+2b^2+3c^2 \right )-\left ( \frac{6^3+8^3+9^3}{\sqrt{407}^3} \right )=\frac{18}{\sqrt{407}}-\frac{1457}{\sqrt{407}^3}=\frac{5869}{\sqrt{407}^3}$

p/s: em mò giỏi hông a?

1) Tìm số tự nhiên $n$ để $S=n^2+3n-38$ chia hết cho 49.

-Cách phản chứng khác:
-Giả sử tồn tại n để $S\vdots 49$
$\rightarrow S\vdots 7$
$\rightarrow 4S\vdots 7$
$\rightarrow 4n^2+12n-152\vdots 7$
$\rightarrow (2n+3)^2-161\vdots 7$
$\rightarrow (2n+3)^2\vdots 7$
$\rightarrow (2n+3)^2\vdots 49$
$\rightarrow (2n+3)^2-161$ không chia hết cho 49
$\rightarrow 4S$ không chia hết cho 49 (mâu thuẫn)
$\rightarrow dpcm$

Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn tâm O. D là trung điểm của AB. Gọi G là trọng tâm tam giác ADC.
Chứng minh rằng: GO vuông góc với CD

Cái dòng chữ đỏ đó đúng mà Tuấn !!!!
$a^{2}+a+1=(a+1)a+1$
Xét a=0 => $(a^{2}+a+1;a+1)$=1 (đúng )
Xét a=-1 =>$(a^{2}+a+1;a+1)$=1 (đúng )
Xét a$\neq 0;1$ thì hển nhiên đúng
------------
Em chrome98 chỉ quên mất trường hợp a=0 mà thôi !!

-Dòng đó đúng. Nhưng mà sao lại có chữ mà. Tích của $a+1$ và $a^2+a+1$ là số chính phương. Có dòng màu đỏ thì mới suy ra mỗi số là số chính phương thôi. Đằng này chrome 98 lại bảo 2 số đó là số chính phương rồi mà $(a+1;a^2+a+1)$=1 để suy ra a+1=1. Đó là sai.. 2 cái dự kiện đấy sao suy ra dc a+1=0;1 ???? Để suy ra thế chỉ khi tích 2 số liên tiếp là số chính phương thôi.
-Đó là điều tớ nói chứ ko phải cái chứng minh nguyên tố cùng nhau kia.
-Nói chung là thế này:
Vì $(a+1)(a^2+a+1)=u^2$ là số chính phương và $(a+1;a^2+a+1)=1$ nên mỗi số đều là số chính phương hay
$\left\{\begin{matrix}a+1=v^2 \\ a^2+a+1=k^2 \end{matrix}\right.$

hình như bạn chưa xét $d=-1;-2$ nữa đấy chúng cũng là ước của 2 mà

Bạn gọi UCLN mà. Khi đó d>0 rồi

Giải: Ta có: $x^3+x^2+x+1=(x+1)(x^2+1)=k^2\geq 0$, $k\in \mathbb{N}$, do đó $x\geq -1$
Với $x=-1$ thoả mãn phương trình nghiệm nguyên.
Gọi $(x+1;x^2+1)=d$ thì $2\vdots d$
TH1: $d=1$ thì mỗi số $x+1;x^2+1$ là số chính phương hay $x=0$, thoả mãn.
TH2: $d=2$ thì $x=2a+1$, $a\in \mathbb{N}$, ta có $4(a+1)(a^2+a+1)=k^2$ hay mỗi số $a+1;a^2+a+1$ đều là số chính phương, mà $(a+1;a^2+a+1)=1$, nên $a+1=0$ hay $a=-1\Leftrightarrow x=-1$
Vậy $x\in (-1;0)$

-Mình ko hiểu dòng mà này. Có cái chỗ đỏ thì mới có a+1 và $a^2+a+1$ đều là số chính phương chứ
-Do đó ko suy ra a+1=0 được. dẫn đến bạn làm thiếu nghiệm
-Khi đó ta làm như sau:
Ta có:
$a^2+a+1=k^2$
+Với a>0 thì $(a+1)^2>k^2>a^2$ (vô lý)
+Với a<-1 thì $a^2>k^2>(a-1)^2$ (vô lý)
$\rightarrow a=-1;0$
-Thử lại với a+1 thì 2 trường hợp đều đúng
-Do đó a=-1;0$\rightarrow x=-1;1$

Bài 471. Cho $0\leq a,~b,~c\leq 1$. CMR: $a^2+b^2+c^2\leq 1+a^2b+b^2c+c^2a $

-Do $0\leq a,b,c\leq 1\to \left\{\begin{matrix}abc\geq 0 \\ a\geq a^2 \\ b\geq b^2 \\ c\geq c^2 \end{matrix}\right.$
-Do đó:
$VP\geq a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+1-abc$
-Lại có:
$a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+1-abc-a^2-b^2-c^2=(1-a^2)(1-b^2)(1-c^2)\geq 0$
(do $0\leq a,b,c\leq 1$)
$\rightarrow dpcm$

Chỉnh lại đề bài nhá, phải là :
$$\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}+\dfrac{1}{4}\dfrac{ab^2+bc^2+ca^2+abc}{a^2b+b^2c+c^2a+abc}\ge \dfrac{7}{4}$$

-Em làm theo a,b,c dương
-Bất đẳng thức tương đương với:
$\frac{1}{1+\frac{b}{a}}+\frac{1}{1+\frac{c}{b}}+\frac{1}{1+\frac{a}{c}}+\frac{1}{4}.\frac{\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b}+1}{\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+1}\geq \frac{7}{4}$
-Đặt $x=\frac{b}{a}\vee y=\frac{c}{b}\vee z=\frac{a}{c} \to xyz=1$
-Bất đẳng thức trở thành
$\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}+\frac{xy+yz+zx+1}{x+y+z+1}\geq \frac{7}{4}$
$\Leftrightarrow \frac{2\sum x+\sum xy+3}{\sum x+\sum xy+2}+\frac{1}{4}.\frac{\sum x+\sum xy+2}{\sum x+1}\geq 2$
$\Leftrightarrow1+ \frac{\sum x+1}{\sum x+\sum xy+2}+\frac{\sum x+\sum xy+2}{4\left ( \sum x+1 \right )}\geq 2$
-Bất đẳng thức cuối đúng theo AM-GM
$\rightarrow dpcm$

Cho $a,b,c$ dương. CMR
$\frac{a^{2}}{\sqrt{3a^{2}+8b^{2}+14ab}}+\frac{b^{2}}{\sqrt{3b^{2}+8c^{2}+14bc}}+\frac{c^{2}}{\sqrt{3c^{2}+8a^{2}+14ac}}\geq \frac{1}{5}(a+b+c)$

-Theo bất đẳng thức AM-GM và Cauchy-Shwarz ta có:
$VT=\sum \frac{a^2}{\sqrt{3a^2+8b^2+14b}}=\sum \frac{a^2}{\sqrt{(3a+2b)(a+4b)}}\geq \sum \frac{a^2}{2a+3b}\geq \frac{(a+b+c)^2}{5(a+b+c)}=VP\rightarrow dpcm$

Gọi 3 số này là a,b,c
abc bé nhất khi a bé nhất, b bé nhất, c bé nhất
$\Rightarrow a=11,b=111,c=1111$
$\Rightarrow abc_{min}=1356531$
Tương tự a=99,b=999,c=9999
$\Rightarrow abc_{max}=988911099$
Không biết có làm đúng không nữa?

Hình như là bạn nhầm đề. Sử dụng đủ 9 chữ số 0,1,2,...,9 để tạo 3 số tự nhiên mà
vd: a=12 ;b=345 ;c=6789

Giải: Ta có $p^n=(x+y)(x^2-xy+y^2)=p^a\cdot p^b$
Suy ra $(x+y)^2=p^{2a}=x^2+2xy+y^2$ mà $x^2-xy+y^2=p^b$
Nên $3xy=p^{2a+b}\Rightarrow p\vdots 3$ mà $p$ là số nguyên tố, muốn để tồn tại các số $x,y,n$ thì $p=3$
Vậy $p=3$ thoả mãn yêu cầu đề bài.

p/s : xem em sai chỗ nào nhé

Ơ, hình như:
$p^b=x^2-xy+y^2=(x+y)^2-3xy=p^{2a}-3xy$
$\rightarrow 3xy=p^{2a}-p^b=p^b(p^{2a-b}-1)$ mà. Đâu phải kết quả kia.

-Đề như vậy thì tớ làm như sau:
-Nhân tung ra thì bất đẳng thức tương tương với:
$\frac{y+z}{x}+\frac{y+x}{z}+\frac{x+z}{y}\geq \frac{2(x+y+z)}{\sqrt[3]{xyz}}$
$\frac{y+z}{x}+1+\frac{y+x}{z}+1+\frac{x+z}{y}+1\geq \frac{2(x+y+z)}{\sqrt[3]{xyz}}+3$
$\left ( x+y+z \right )\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )\geq 2\left ( \frac{x+y+z}{\sqrt[3]{xyz}} \right )+3$
-Có $\left ( x+y+z \right )\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )\geq (x+y+z)\frac{3}{\sqrt[3]{xyz}}$ nên chỉ cần c/m
$\frac{x+y+z}{\sqrt[3]{xyz}}\geq 3$ (cái này đúng theo AM-GM)
$\to dpcm$

Post tiếp đẩy topic lên tí

Bài 64. Giải hệ phương trình

$$\left\{\begin{matrix}
x^2-y^2=0 & & \\
x+y^2+12\sqrt[3]{x^2y}=2010 & &
\end{matrix}\right.$$

Đề chọn đội tuyển 11 - Chuyên Lê Quý Đôn - Quảng Trị 2011-2012.

P/S: Chọn đội tuyển 30/4 mà không khó lắm

-Hix. Chắc bài này để tránh điểm liệt quá
-Hệ tương đương với:
$\left\{\begin{matrix}x=\pm y \\ x+y^2+12y=2010 \end{matrix}\right.$
-Với $x=y$ thì $y^2+13y-2010=0$
-Với $x=-y$ thì $y^2+11y-2010=0$

p/s: Nghiệm lẻ quá.

Tìm số nguyên tố $p$ sao cho nó là tổng của hai số nguyên tố, nó cũng là hiệu của hai số nguyên tố.

-Đặt $p=p_1-p_2=p_3+p_4$ (với $p_1;p_2;p_3;p_4$ là số nguyên tố)
-Nếu $p_1;p_2$ cùng lẻ thì p chẵn $\rightarrow p=2=p_3+p_4$ (vô lý)
$\rightarrow p_2=2$
-Tương tự $p_3;p_4$ ko cùng tính chẵn lẻ. ko mất tính tổng quát giả sử $p_3=2$
$\rightarrow p=p_1-2=p_4+2$
$\rightarrow p_4;p;p_2$ là 3 số nguyên lẻ liên tiếp
-Chắc chắn tồn tại 1 số chia hết cho 3
$\rightarrow p_4=3 \to p=5$