hieuht2012

$x-y=x^2+xy+y^2\Rightarrow x-xy-y+1=(x^2-2xy+y^2)+1\Rightarrow x(1-y)+(1-y)=(x-y)^2+1\Rightarrow (x+1)(1-y)=(x-y)^2+1\geqslant 1\Rightarrow (x+1)(y-1)\leqslant -1$

 

+/ Nếu $y=0$ $\Rightarrow $ $x=0$ hoặc $x=1$

+/ Nếu $y$ khác $0$ $\Rightarrow $ $y\geqslant 1\Rightarrow y-1\geqslant 0\Rightarrow (x+1)(y-1)\geqslant 0$(Vô lý)

Cho $x^2-8x+1=0$                   và                  $S_{n}=(x_1)^n+(x_2)^n$

 

Hỏi: $S_{1997}$ chia $7$ dư bao nhiêu?

AM-GM ta có $ \frac 12 xy \cdot (2xy) \cdot (x^2+y^2) \le \frac{xy}{2} \cdot \frac{(x+y)^4}{4} \le \frac{(x+y)^2}{8} \cdot \frac{(x+y)^4}{4}=2$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=y=1$.

$ \frac 12 xy \cdot (2xy) \cdot (x^2+y^2) \le \frac{xy}{2} \cdot \frac{(x+y)^4}{4}$ Đoạn này hình như anh bị nhầm rồi!

$1\frac{1}{3}=\frac{4}{3}=\frac{2.2}{1.3}$ 

Tương tự, ta có:

 

$A=$$\frac{2.2}{1.3}.\frac{3.3}{2.4}.\frac{4.4}{3.5}...\frac{10.10}{9.11}$

 

$=$$\frac{(2.3.4.5.6.7.8.9.10)(2.3.4..5.6.7.8.9.10)}{(1.2.3.4.5.6.7.8.9)(3.4.5.6.7.8.9.10.11)}$

 

Rút gọn, ta có $A=\frac{10.2}{11}=\frac{20}{11}$

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{x+y}{xy}\Rightarrow x+y\vdots xy\Rightarrow xy+y^2\vdots xy\Rightarrow y^2\vdots xy\Rightarrow y\vdots x$ ( Do $x+y$ nguyên dương)

 

Tương tự suy ra $x\vdots y$

 

Suy ra $x=y$

 

Suy ra $2x$ và $\frac{2}{x}$ nguyên dương

 

Suy ra $\frac{4}{2x}$ nguyên dương

 

Suy ra $(2x)\epsilon 1;2;4$( Do 2x nguyên dương)

 

Suy ra $(x=y)\epsilon \frac{1}{2};1;2$

Cho tam giác có số đo một góc bằng $60^0$ và độ dài các cạnh a,b,c thỏa mãn: $\sqrt{a+b-c}=\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c}$

 

CMR: Tam giác đó đều

Cho $a$,$b$ dương thỏa mãn: $a^2+2b^2\leqslant 3c^2$.

 

CMR:$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}\geqslant \frac{3}{c}$

Mình xin góp 1 bài:

Tìm các số tự nhiên $x,y$ thoả $\sqrt{x}+\sqrt{y}= 1960$.

Bài này mình vẫn chưa biết cách làm

 

$\sqrt{x}+\sqrt{y}= 1960$ hay  $\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{1960}$ vậy bạn?

 

$\sqrt{x}=\sqrt{1960}-\sqrt{y}$

 

$x=1960+y-2\sqrt{1960y}$

 

$x=1960+y-28\sqrt{10y}$

 

Do $x,y,1960,28$ $\epsilon N$ suy ra $\sqrt{10y}$$\epsilon N$

 

Suy ra $10y=(10k)^2$    Suy ra $y=10k^2$

 

Suy ra $0\leqslant 10k^2\leqslant 1960$ (Do $\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{1960}$ )

 

Suy ra $0\leqslant k^2\leqslant 196$

 

Suy ra $0\leqslant k\leqslant 14$ 

 

Suy ra $k\epsilon$ ${0;1;2;...;14}$              $y\epsilon$ ${...}$

Cho phương trình:$x^2+ax+b=0$.( Thêm điều kiện: $a,b$ nguyên)

 

CMR: Nếu phương trình có nghiệm hữu tỉ thì đó là nghiệm nguyên.

Giải pt nguyệm nguyên dương: $(x+y)^3=(x-y-6)^2$

Giải phương trình nghiệm nguyên dương:

$\left\{\begin{matrix} x^3+y^3=z^2\\3xy+z=z^2 \end{matrix}\right.$

Giải phương trình nghiệm nguyên dương:

$\left\{\begin{matrix} x^3+y^3=z^2\\3xy+z=z^2 \end{matrix}\right.$

a/
+/ Vì $p(x)$ chia cho $x-1$ dư $5$, chia cho $x-2$ dư $7$, chia cho $x-3$ dư $10$, chia cho $x+2$ dư $-4$. Đặt $P(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$.

+/ Ta thấy: $P(x)$ chia cho $x-k$ dư $t$ $\Leftrightarrow$ $P(x)+t\vdots x-k$ $\Leftrightarrow$ $P(k)=-t$.

+/ Áp dụng 2 điều trên ta được 5 phương trình 4 ẩn ( Bạn tự giải nhé!).

Giải hệ pt:

$\left\{\begin{matrix} & &x+y=\sqrt{4z-1} \\ & &y+z=\sqrt{4x-1} \\ & &z+x=\sqrt{4y-1} \end{matrix}\right.$

Giải phương trình:

$x^4+\sqrt{x^2+3}=3$

Bài 1: Cho a,b,c,d >0 và
x=2a+b-2$\sqrt{cd}$
y=2b+c-2$\sqrt{da}$
z=2c+d-2$\sqrt{ab}$
t=2d+a-2$\sqrt{bc}$

CMR: Trong bốn số x,y,z,t có ít nhất hai số dương.

Bài 2: Cho A= $\sqrt{20x+92+\sqrt{x^{4}+16x^{2}+64}}$
B= $x^{4}+20x^{3}+102x^{2}+40x+200$
a, Rút gọn A.
b, Tìm x để A+B=0.

Bài 3: Cho P= $\frac{\sqrt{x}+1}{x\sqrt{x}+x+\sqrt{x}}$ : $\frac{1}{x^{2}-\sqrt{x}}$
Q= $x^{4}-7x^{2}+15$
với x>0 , x $\neq$ 1.
a, Rút gọn P.
b, Tìm GTNN của E= Q-4P

Bài 4: Cho M= $\frac{x^{2}-3x-(x-1)\sqrt{x^{2}-4}+2}{x^{2}+3x-(x+1)\sqrt{x^{2}-4}+2}$ . $\sqrt{\frac{a+2}{a-2}}$ với a>0.
a, Rút gọn M.
b, Tính M khi x=3-2$\sqrt{2}$



Nếu có thời gian mong mọi người giúp mình. Hôm nay mới có bài. Nhưng sáng mai đã nộp rồi. Mình đăng lên mọi người cũng suy nghĩ nhé! Mình cũng vậy. Cảm ơn tất cả các bạn.

Bài 1 sai đề rồi bạn