kieumy

$\left\{\begin{matrix} mx+y+z+mt=1 \\ x+my+z+t=m \\ x+ y +mz + t=m \end{matrix}\right.$
tìm các giá trị của m để hệ phương trình vô nghiệm (bài hệ phương trình tuyến tính)

Ta đã biết hệ pttt vô nghiệm nếu $rank(A) < rank(\overline{A})$, với $A, (\overline{A}) $ lần lượt là ma trận hệ số và ma trận hệ số mở rộng của hệ đã cho. Do đó để đáp ứng yêu cầu đề bài, ta làm như sau:

Gọi $(A), (\overline{A}) $ lần lượt là ma trận hệ số và ma trận hệ số mở rộng của hệ đã cho.

Dùng các phép biến đổi sơ cấp về hàng của $(\overline{A})$ ta được:

$$ \begin{pmatrix}
1 & 1 & m & 1 & | &m \\
0 & m-1 & 1-m & 0 & | &0 \\
0 & 0 & 2-m-m^2 & 0 & | & 1-m^2
\end{pmatrix} $$

Ta có: $2-m-m^2=(1-m)(m+2)$

Nếu: $m=1 \Rightarrow (\overline{A})$ có 2 hàng bằng $0 \Rightarrow rank(A) = rank(\overline{A})$.

Nếu: $m=-2 \Rightarrow (\overline{A})$ có 3 hàng khác $0$ và $(A)$ có 2 hàng khác $\neq 0 \Rightarrow rank(A) < rank(\overline{A})$.

Vậy: với $m=-2$ thì hệ đã cho vô nghiệm.

Bài 3: Cho kg mê tríc $(E,d)$ và $A$ là tập con khác rỗng của $E$. Xét ánh xạ: $\varphi:E \rightarrow \mathbb{R}$ định bởi

$\varphi(x)=d(x,A)=\inf_{a\in A}d(x,a) \,\,\,\forall x \in E$. CMR:

a) $\left | \varphi(x)-\varphi(y) \right |\leq d(x,y),\,\,\,\forall x, y \in E$

b) $\varphi(x)=0$ nếu và chỉ nếu $x\in \overline{A}$.

Giải:

a) CMR: $\left | \varphi(x)-\varphi(y) \right |\leq d(x,y),\,\,\,\forall x, y \in E$

$\forall x, y \in E; a \in A$ ta có:

$d(x,a)\leq d(x,y)+d(y,a)$

$\Rightarrow \inf_{a\in A}d(x,a) \leq d(x,y) +\inf_{a\in A}d(y,a)$ hay $\varphi(x)-\varphi(y) \leq d(x,y) \,\,\,(1)$

Tương tự: $d(y,a)\leq d(y,x)+d(x,a)$

$\Rightarrow \inf_{a\in A}d(y,a) \leq d(y,x) +\inf_{a\in A}d(x,a)$

hay $\varphi(y)-\varphi(x) \leq d(y,x)=d(x,y) \,\,\,(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra điều phải chứng minh.

b) CMR: $\varphi(x)=0$ nếu và chỉ nếu $x\in \overline{A}$.

Chiều thuận: $\varphi(x)=0\Rightarrow x\in \overline{A}$:

$\varphi(x)=0 \Rightarrow d(x,A)=0 \Rightarrow \inf_{a\in A}d(x,a)=0 $

$\Rightarrow \exists (a_n) \subset A$ sao cho $a_n \to x$ khi $ n \to \infty $

$ \Rightarrow x \in \overline{A} $ (tính chất của bao đóng).

Chiều đảo: $x\in \overline{A} \Rightarrow \varphi(x)=0$:

$ x \in \overline{A} $ là bao đóng của $A$ nên $ \exists (x_n) \subset A: x_n \longrightarrow x$

$\Rightarrow \forall \varepsilon >0, \exists n_0 \in \mathbb{N}: d(x_n,x) < \varepsilon\,\,\, \forall \,\,n \geq n_0$

$\Rightarrow \inf_{x_n\in A}d(x_n,x) < \varepsilon \,\,\,\forall \,\,n \geq n_0$

$\Rightarrow \varphi(x) < \varepsilon\,\,\, \forall \,\, n \geq n_0 \Rightarrow \varphi(x)=0.$

Bài 2: Cho kg định chuẩn $(E,\left \| . \right \|)$ và $\varphi:E \rightarrow \mathbb{R}$ định bởi $\varphi(x)=\left \| x \right \|$ . CMR:

$ \left | \varphi(x)-\varphi(y) \right |\leq \left \| x-y \right \|\,\,\,\forall x, y \in E $

Suy ra rằng $\varphi$ là hàm liên tục trên $E$.

Giải:

$\forall x, y \in E $, ta có: $\left \| x \right \|=\left \| x-y+y \right \| \leq \left \| x-y \right \|+\left \| y \right \|$

$\Rightarrow \left \| x \right \|-\left \| y \right \| \leq \left \| x-y \right \|$

hay: $\varphi(x)-\varphi(y) \leq \left \| x-y \right \| \,\,\,\,(1)$

Ta cũng có: $\left \| y \right \|=\left \| y-x+x \right \| \leq \left \| y-x \right \|+\left \| x \right \|$

$\Rightarrow \left \| y \right \|-\left \| x \right \| \leq \left \| x-y \right \|$ (vì $\left \| x-y \right \|=\left \| y-x \right \|$)

hay: $\varphi(y)-\varphi(x) \leq \left \| x-y \right \| \,\,\,\,(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ ta có điều phải chứng minh.

+++ Suy ra $\varphi$ là hàm liên tục trên $E$:

$\varphi$ là hàm liên tục trên $E \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0, \exists \delta >0: \left \| x-x_0 \right \| < \delta \Rightarrow \left | \varphi(x)-\varphi(x_0) \right | < \varepsilon \,\,\,(3)$

Chọn $\delta =\varepsilon$. Theo chứng minh trên $\left | \varphi(x)-\varphi(x_0) \right | \leq \left \| x-x_0 \right \| < \delta = \varepsilon$

Vậy $(3)$ được chứng minh.

Bài 1: Cho kg mê tríc $(E,d)$ và $\varphi: ExE \rightarrow \mathbb{R}$ định bởi $\varphi(x,y)=d(x,y)$. CMR:

$ \left | \varphi(x,y)-\varphi(x_0,y_0) \right |\leq d(x,x_0)+d(y,y_0)\,\,\,\forall x, y, x_0, y_0 \in E $

Suy ra rằng $ \varphi $ là hàm liên tục trên $ExE$.

Giải:
+ Ta có: $\forall x, y, x_0, y_0 \in E, \varphi(x,y)=d(x,y) \leq d(x,x_0)+d(x_0,y_0)+d(y_0,y)$

$\Rightarrow \varphi(x,y)-d(x_0,y_0) \leq d(x,x_0)+d(y_0,y)$ hay $\varphi(x,y)-\varphi(x_0,y_0) \leq d(x,x_0)+d(y_0,y) \,\,\,\,(1)$

+ Ta cũng có: $\forall x, y, x_0, y_0 \in E, \varphi(x_0,y_0)=d(x_0,y_0) \leq d(x_0,x)+d(x,y)+d(y,y_0)$

$\Rightarrow \varphi(x_0,y_0)-d(x,y) \leq d(x,x_0)+d(y_0,y)$ hay $\varphi(x_0,y_0)-\varphi(x,y) \leq d(x,x_0)+d(y_0,y) \,\,\,\,(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ ta có điều cần chứng minh.

+++ Suy ra $\varphi$ liên tục trên $ExE$:

$\varphi$ liên tục trên $ExE \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0, \exists \delta >0: d((x,y),(x_0,y_0)) < \delta \Rightarrow \left |\varphi(x,y)-\varphi(x_0,y_0) \right | < \varepsilon $

Theo chứng minh trên ta đã có:

$\left |\varphi(x,y)-\varphi(x_0,y_0) \right | \leq d(x,x_0)+d(y,y_0)$

$\leq \sqrt{2} \sqrt{d^2(x,x_0)+d^2(y,y_0)}=\sqrt{2}. d((x,y),(x_0,y_0)) < \sqrt{2}.\delta$

Do đó nếu ta chọn: $\delta = \frac{\varepsilon}{\sqrt{2}}$ thì thay vào hệ thức trên ta được:

$\left |\varphi(x,y)-\varphi(x_0,y_0) \right | < \sqrt{2} \frac{\varepsilon}{\sqrt{2}} =\varepsilon$. Do đó $\varphi$ liên tục trên $ExE$.

Mình post lời giải bài 1 luôn vậy @_^)

Giả sử $b,c$ là hai phần tử nghịch đảo phải phân biệt nhau của $a$

Khi đó ta có $ab=1=ac$ kéo theo $\forall k \in N , k \geq 1$ thì $a\left((k+1)b-kc\right)=(k+1)ab-kac=1$ , suy ra $(k+1)b-kc$ , $\forall k \in N , k \geq 1$ cũng là phần tử nghịch đảo phải của $a$

Chú ý : $(k+1)b-kc \neq (t+1)b-tc$ với $\forall k,t \in N , k \neq t$

Vậy $a$ có vố phần tử nghịch đảo phải

Cách giải này em hiểu, nhưng suy nghĩ mãi vẫn ko hiểu vì sao anh lại chọn được phần tử nghịch đảo $(k+1)b-kc$ để nhân bên phải phần tử $a$?