Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


kieumy

Đăng ký: 09-03-2012
Offline Đăng nhập: Riêng tư
-----

#312932 $$\left\{\begin{matrix} mx+&y+&z+&mt=...

Gửi bởi kieumy trong 27-04-2012 - 08:59

$\left\{\begin{matrix} mx+y+z+mt=1 \\ x+my+z+t=m \\ x+ y +mz + t=m \end{matrix}\right.$
tìm các giá trị của m để hệ phương trình vô nghiệm (bài hệ phương trình tuyến tính)


Ta đã biết hệ pttt vô nghiệm nếu $rank(A) < rank(\overline{A})$, với $A, (\overline{A}) $ lần lượt là ma trận hệ số và ma trận hệ số mở rộng của hệ đã cho. Do đó để đáp ứng yêu cầu đề bài, ta làm như sau:

Gọi $(A), (\overline{A}) $ lần lượt là ma trận hệ số và ma trận hệ số mở rộng của hệ đã cho.

Dùng các phép biến đổi sơ cấp về hàng của $(\overline{A})$ ta được:

$$ \begin{pmatrix}
1 & 1 & m & 1 & | &m \\
0 & m-1 & 1-m & 0 & | &0 \\
0 & 0 & 2-m-m^2 & 0 & | & 1-m^2
\end{pmatrix} $$

Ta có: $2-m-m^2=(1-m)(m+2)$

Nếu: $m=1 \Rightarrow (\overline{A})$ có 2 hàng bằng $0 \Rightarrow rank(A) = rank(\overline{A})$.

Nếu: $m=-2 \Rightarrow (\overline{A})$ có 3 hàng khác $0$ và $(A)$ có 2 hàng khác $\neq 0 \Rightarrow rank(A) < rank(\overline{A})$.

Vậy: với $m=-2$ thì hệ đã cho vô nghiệm.
  • PSW yêu thích


#312616 Cho kg mê tríc $(E,d)$ và $\varphi: ExE \rightarrow...

Gửi bởi kieumy trong 25-04-2012 - 15:03

Bài 3: Cho kg mê tríc $(E,d)$ và $A$ là tập con khác rỗng của $E$. Xét ánh xạ: $\varphi:E \rightarrow \mathbb{R}$ định bởi

$\varphi(x)=d(x,A)=\inf_{a\in A}d(x,a) \,\,\,\forall x \in E$. CMR:

a) $\left | \varphi(x)-\varphi(y) \right |\leq d(x,y),\,\,\,\forall x, y \in E$

b) $\varphi(x)=0$ nếu và chỉ nếu $x\in \overline{A}$.


Giải:

a) CMR: $\left | \varphi(x)-\varphi(y) \right |\leq d(x,y),\,\,\,\forall x, y \in E$

$\forall x, y \in E; a \in A$ ta có:

$d(x,a)\leq d(x,y)+d(y,a)$

$\Rightarrow \inf_{a\in A}d(x,a) \leq d(x,y) +\inf_{a\in A}d(y,a)$ hay $\varphi(x)-\varphi(y) \leq d(x,y) \,\,\,(1)$

Tương tự: $d(y,a)\leq d(y,x)+d(x,a)$

$\Rightarrow \inf_{a\in A}d(y,a) \leq d(y,x) +\inf_{a\in A}d(x,a)$

hay $\varphi(y)-\varphi(x) \leq d(y,x)=d(x,y) \,\,\,(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra điều phải chứng minh.

b) CMR: $\varphi(x)=0$ nếu và chỉ nếu $x\in \overline{A}$.

Chiều thuận: $\varphi(x)=0\Rightarrow x\in \overline{A}$:

$\varphi(x)=0 \Rightarrow d(x,A)=0 \Rightarrow \inf_{a\in A}d(x,a)=0 $

$\Rightarrow \exists (a_n) \subset A$ sao cho $a_n \to x$ khi $ n \to \infty $

$ \Rightarrow x \in \overline{A} $ (tính chất của bao đóng).


Chiều đảo: $x\in \overline{A} \Rightarrow \varphi(x)=0$:

$ x \in \overline{A} $ là bao đóng của $A$ nên $ \exists (x_n) \subset A: x_n \longrightarrow x$

$\Rightarrow \forall \varepsilon >0, \exists n_0 \in \mathbb{N}: d(x_n,x) < \varepsilon\,\,\, \forall \,\,n \geq n_0$

$\Rightarrow \inf_{x_n\in A}d(x_n,x) < \varepsilon \,\,\,\forall \,\,n \geq n_0$

$\Rightarrow \varphi(x) < \varepsilon\,\,\, \forall \,\, n \geq n_0 \Rightarrow \varphi(x)=0.$


#312602 Cho kg mê tríc $(E,d)$ và $\varphi: ExE \rightarrow...

Gửi bởi kieumy trong 25-04-2012 - 14:08

Bài 2: Cho kg định chuẩn $(E,\left \| . \right \|)$ và $\varphi:E \rightarrow \mathbb{R}$ định bởi $\varphi(x)=\left \| x \right \|$ . CMR:

$ \left | \varphi(x)-\varphi(y) \right |\leq \left \| x-y \right \|\,\,\,\forall x, y \in E $

Suy ra rằng $\varphi$ là hàm liên tục trên $E$.


Giải:

$\forall x, y \in E $, ta có: $\left \| x \right \|=\left \| x-y+y \right \| \leq \left \| x-y \right \|+\left \| y \right \|$

$\Rightarrow \left \| x \right \|-\left \| y \right \| \leq \left \| x-y \right \|$

hay: $\varphi(x)-\varphi(y) \leq \left \| x-y \right \| \,\,\,\,(1)$

Ta cũng có: $\left \| y \right \|=\left \| y-x+x \right \| \leq \left \| y-x \right \|+\left \| x \right \|$

$\Rightarrow \left \| y \right \|-\left \| x \right \| \leq \left \| x-y \right \|$ (vì $\left \| x-y \right \|=\left \| y-x \right \|$)

hay: $\varphi(y)-\varphi(x) \leq \left \| x-y \right \| \,\,\,\,(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ ta có điều phải chứng minh.

+++ Suy ra $\varphi$ là hàm liên tục trên $E$:

$\varphi$ là hàm liên tục trên $E \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0, \exists \delta >0: \left \| x-x_0 \right \| < \delta \Rightarrow \left | \varphi(x)-\varphi(x_0) \right | < \varepsilon \,\,\,(3)$

Chọn $\delta =\varepsilon$. Theo chứng minh trên $\left | \varphi(x)-\varphi(x_0) \right | \leq \left \| x-x_0 \right \| < \delta = \varepsilon$

Vậy $(3)$ được chứng minh.


#312287 Cho kg mê tríc $(E,d)$ và $\varphi: ExE \rightarrow...

Gửi bởi kieumy trong 23-04-2012 - 19:49

Bài 1: Cho kg mê tríc $(E,d)$ và $\varphi: ExE \rightarrow \mathbb{R}$ định bởi $\varphi(x,y)=d(x,y)$. CMR:

$ \left | \varphi(x,y)-\varphi(x_0,y_0) \right |\leq d(x,x_0)+d(y,y_0)\,\,\,\forall x, y, x_0, y_0 \in E $

Suy ra rằng $ \varphi $ là hàm liên tục trên $ExE$.


Giải:
+ Ta có: $\forall x, y, x_0, y_0 \in E, \varphi(x,y)=d(x,y) \leq d(x,x_0)+d(x_0,y_0)+d(y_0,y)$

$\Rightarrow \varphi(x,y)-d(x_0,y_0) \leq d(x,x_0)+d(y_0,y)$ hay $\varphi(x,y)-\varphi(x_0,y_0) \leq d(x,x_0)+d(y_0,y) \,\,\,\,(1)$

+ Ta cũng có: $\forall x, y, x_0, y_0 \in E, \varphi(x_0,y_0)=d(x_0,y_0) \leq d(x_0,x)+d(x,y)+d(y,y_0)$

$\Rightarrow \varphi(x_0,y_0)-d(x,y) \leq d(x,x_0)+d(y_0,y)$ hay $\varphi(x_0,y_0)-\varphi(x,y) \leq d(x,x_0)+d(y_0,y) \,\,\,\,(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ ta có điều cần chứng minh.

+++ Suy ra $\varphi$ liên tục trên $ExE$:

$\varphi$ liên tục trên $ExE \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0, \exists \delta >0: d((x,y),(x_0,y_0)) < \delta \Rightarrow \left |\varphi(x,y)-\varphi(x_0,y_0) \right | < \varepsilon $

Theo chứng minh trên ta đã có:

$\left |\varphi(x,y)-\varphi(x_0,y_0) \right | \leq d(x,x_0)+d(y,y_0)$

$\leq \sqrt{2} \sqrt{d^2(x,x_0)+d^2(y,y_0)}=\sqrt{2}. d((x,y),(x_0,y_0)) < \sqrt{2}.\delta$

Do đó nếu ta chọn: $\delta = \frac{\varepsilon}{\sqrt{2}}$ thì thay vào hệ thức trên ta được:

$\left |\varphi(x,y)-\varphi(x_0,y_0) \right | < \sqrt{2} \frac{\varepsilon}{\sqrt{2}} =\varepsilon$. Do đó $\varphi$ liên tục trên $ExE$.


#311701 Cho R là vành, giả sử $a \in R$ có nhiều hơn một phần tử nghịc...

Gửi bởi kieumy trong 20-04-2012 - 19:44

Mình post lời giải bài 1 luôn vậy @_^)

Giả sử $b,c$ là hai phần tử nghịch đảo phải phân biệt nhau của $a$

Khi đó ta có $ab=1=ac$ kéo theo $\forall k \in N , k \geq 1$ thì $a\left((k+1)b-kc\right)=(k+1)ab-kac=1$ , suy ra $(k+1)b-kc$ , $\forall k \in N , k \geq 1$ cũng là phần tử nghịch đảo phải của $a$

Chú ý : $(k+1)b-kc \neq (t+1)b-tc$ với $\forall k,t \in N , k \neq t$

Vậy $a$ có vố phần tử nghịch đảo phải


Cách giải này em hiểu, nhưng suy nghĩ mãi vẫn ko hiểu vì sao anh lại chọn được phần tử nghịch đảo $(k+1)b-kc$ để nhân bên phải phần tử $a$?


#308157 CMR: $X$ là nhóm $\Leftrightarrow aX=Xa=X, \forall a...

Gửi bởi kieumy trong 04-04-2012 - 18:56

Cho $X \neq \varnothing$ cùng với phép toán 2 ngôi kết hợp trong $X$. CMR: $X$ là nhóm $\Leftrightarrow aX=Xa=X, \forall a \in X$

Em giải thế này, mong các anh xem và chỉ giúp nếu có chỗ suy luận sai:

$(\Longrightarrow):$ Gọi $e$ là đơn vị của $X$.

$\forall a \in X$ ta có: $ a=ae \in aX \Rightarrow X \subset aX $; Hiển nhiên $ aX \subset X $. Vậy ta có: $ aX = X $

Tương tự ta chứng minh được: $Xa=X$. Do đó: $aX=Xa=X$.

$(\Longleftarrow):$ Do $X \neq \varnothing \Rightarrow \exists a \in X$

Vì $ a \in X=aX \Rightarrow a=ae $. Ta sẽ CM $e$ là đơn vị phải của $X$.

Thật vậy: Lấy $ x \in X=Xa \Rightarrow \exists b \in X: x=ba $, ta có:

$xe=(ba)e=b(ae)=ba=x$. Vậy $e$ là đơn vị phải của $X$. (1)

Đoạn CM sau đây là cái em cần hỏi nhất nè, ko biết có ổn ko, hjj:

Với mỗi $a \in X$, vì $e \in X=aX \Rightarrow \exists a' \in X: e=aa'$. Do đó $a'$ là nghịch đảo phải của $a$. (2)

Từ (1) và (2) suy ra $X$ là nhóm.


#305547 $T(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}) = (a_{0} - a_{1}+ a_{2}) + (a_{1} - 2a_{2})x...

Gửi bởi kieumy trong 20-03-2012 - 21:23

Theo mình thì có thể làm như sau: (sai thì các bạn chỉ giúp, mình rất cảm ơn, hjj)

a) Gọi cơ sở $B=\left \{ u_1=1, u_2=x, u_3=x^2 \right \}$ và $B'=\left \{ v_1=1, v_2=1+x, v_3=(1+x)^2 \right \}$

Ta có: $T(u_1)=T(1)=1+x^2$
$ T(u_2)=T(x)=-1+x$
$T(u_3)=T(x^2)=1-2x-3x^2$

Do đó ma trận của T đối với cơ sở B là: $$\begin{pmatrix}
1 & -1 &1 \\
0 & 1 & -2\\
1 & 0 & -3
\end{pmatrix}$$

Để tìm ma trận của T đối với cơ sở $B'$ ta cần tìm cách biểu diễn ảnh của mỗi vecto trong $B'$ qua cơ sở $B'$.

$T(v_1)=T(1)=1+x^2=m_1v_1+m_2v_2+m_3v_3=m_1+m_2+m_3+(m_2+2m_3)x+m_3x^2 \Rightarrow m_1=2, m_2=-2, m_3=1$

Tương tự ta tìm được các số $n_1, n_2, n_3;\,\,\, p_1, p_2, p_3$ thỏa:

$T(v_2)=T(1+x)=n_1v_1+n_2v_2+n_3v_3$
$T(v_3)=T((1+x)^2)=p_1v_1+p_2v_2+p_3v_3$

Khi đó, ma trận của T đối với cơ sở $B'$ là: $$\begin{pmatrix}
m_1 & n_1 & p_1 \\
m_2 & n_2 & p_2\\
m_3 & n_3 & p_3
\end{pmatrix}$$

b) $T(2-3(1+x)+4(1+x^2))=T(3+5x+4x^2)=2-7x-9x^2 $


#305220 $$\begin{pmatrix}15 &-11 &5 \\20& -15...

Gửi bởi kieumy trong 19-03-2012 - 07:11

phép biến đổi tuyến tính $T$ trong cơ sở $\left\{ {{e_1},{e_2},{e_3}} \right\}$ có ma trận
$$\begin{pmatrix}
15 &-11 &5 \\
20& -15& 8\\
8& -7 &6
\end{pmatrix}$$
tìm ma trận của $T$ trong cơ sở $\left\{ {{e_1},{e_1}+{e_2},{e_1}+{e_2}+{e_3}} \right\}$


Hj, mình cũng đang học nội dung này. Theo mình thì bạn có thể giải theo cách sau: (có sai j xin các member cứ thoải mái nhận xét ạ, em rất cần mọi người chỉ giúp lỗi sai của e, để e hiểu lại cho chính xác, hjj)

Vì ma trận của T đối với cơ sở chính tắc $\left\{ {{e_1},{e_2},{e_3}} \right\}$ là: $\begin{pmatrix}
15 &-11 &5 \\
20& -15& 8\\
8& -7 &6
\end{pmatrix}$

Suy ra công thức của T là: $ T(x_1, x_2, x_3)=(15x_1-11x_2+5x_3; 20x_1-15x_2+8x_3; 8x_1-7x_2+6x_3) $

Gọi $ u_1=e_1=(1;0;0); u_2=e_1+e_2=(1;1;0); u_3=e_1+e_2+e_3=(1;1;1) $ là cơ sở mới của T.
Ta có: $$ T(u_1)=(15;20;8)=a_1u_1+a_2u_2+a_3u_3 (1)$$
$$T(u_2)=(4;5;1)=b_1u_1+b_2u_2+b_3u_3 (2)$$
$$T(u_3)=(9;13;7)=c_1u_1+c_2u_2+c_3u_3 (3)$$

Giải 3 hệ phương trình (1), (2), (3) trên bạn sẽ dễ dàng tìm được các số $ a_i, b_i, c_i $. Khi đó ma trận của T đối với cơ sở mới là: $\begin{pmatrix}
a_1 &b_1 &c_1 \\
a_2& b_2& c_2\\
a_3& b_3 &c_3
\end{pmatrix}$