kieumy

Mọi người giải giúp mình bài này nhé!

Cho $ f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$. Ta gọi dao động của $f$ tại $x$ là $ \omega{(f,x)} =\inf\{\text{diam}f(I) $ sao cho $I$ là khoảng mở chứa $x$ $\}$. CMR:

a) $f$ liên tục tại $x \Leftrightarrow \omega{(f,x)} =0.$

b) $\forall a>0, A=\{x \in \mathbb{R}: \omega{(f,x)} \geq a \}$ là một tập đóng.

Mong mọi người quan tâm theo dõi và chỉ giúp mình những bài sau đây (trong sách Giải Tích Hàm do thầy Đặng Đức Trọng chủ biên), mình sẽ lần lượt đưa ra lời giải và xin mọi người cho mình những góp ý nhé, thanks mọi người nhiều!

Bài 1: Cho kg mê tríc $(E,d)$ và $\varphi: ExE \rightarrow \mathbb{R}$ định bởi $\varphi(x,y)=d(x,y)$. CMR:

$ \left | \varphi(x,y)-\varphi(x_0,y_0) \right |\leq d(x,x_0)+d(y,y_0)\,\,\,\forall x, y, x_0, y_0 \in E $

Suy ra rằng $ \varphi $ là hàm liên tục trên $ExE$.

Bài 2: Cho kg định chuẩn $(E,\left \| . \right \|)$ và $\varphi:E \rightarrow \mathbb{R}$ định bởi $\varphi(x)=\left \| x \right \|$ . CMR:

$ \left | \varphi(x)-\varphi(y) \right |\leq \left \| x-y \right \|\,\,\,\forall x, y \in E $

Suy ra rằng $\varphi$ là hàm liên tục trên $E$.

Bài 3: Cho kg mê tríc $(E,d)$ và $A$ là tập con khác rỗng của $E$. Xét ánh xạ: $\varphi:E \rightarrow \mathbb{R}$ định bởi

$\varphi(x)=d(x,A)=\inf_{a\in A}d(x,a) \,\,\,\forall x \in E$. CMR:

a) $\left | \varphi(x)-\varphi(y) \right |\leq d(x,y),\,\,\,\forall x, y \in E$

b) $\varphi(x)=0$ nếu và chỉ nếu $x\in \overline{A}$.


PS: ơ..chủ đề mình gõ thiếu 1 dấu $, làm sao sửa bây giờ? hic..

Mong các anh giải giúp e bài này, và giải thích thật rõ, hjj (đây là bài tập 3.13 trang 64 rất cơ bản, có lời giải trong quyển BT ĐS ĐC của Bùi Huy Hiền), nhưng e đọc chả hiểu lắm vì lời giải ngắn gọn quá!!!

Chứng minh $Z/{n}Z$ (với $n \neq 0$) là một miền nguyên $\Longleftrightarrow n$ là số nguyên tố.


PS: Room ĐH này ít thấy thành viên quan tâm nhỉ, lâu nay chỉ thấy anh fghost và anh phuc_90 có bài viết giúp đỡ em, hic...

Nhờ các anh xem giúp cách giải của em có đúng ko? (tại em đọc thấy lời giải nó dài dòng quá, mà em tự làm thì thấy "gọn" quá nên ...nghi ngờ mình bị sai )

Cho $H \leq G, K \leq G$, CMR:

a) Nếu $ H \triangleleft G \Longrightarrow HK \leq G.$

b) Nếu $ H, K \triangleleft G \Longrightarrow HK \triangleleft G.$

Lời giải của em:

a) Hiển nhiên $HK \neq \left\{\varnothing\right\}$ và $HK \subset G$.

Lấy $ h_1k_1, h_2k_2 \in HK$ ($h_1, h_2 \in H; k_1, k_2 \in K$), ta có:

$(h_1k_1)(h_2k_2)^{-1}=(h_1k_1)(k_2h_2)^{-1}$ (vì $ H \triangleleft G$)

$=(h_1k_1){h_2}^{-1}{k_2}^{-1}=h_1({h_2}^{-1}k_1){k_2}^{-1}=(h_1{h_2}^{-1})(k_1{k_2}^{-1}) \in HK$

Do đó: $ \Longrightarrow HK \leq G.$

b) Theo câu a) ta đã có $HK \leq G$, ta chỉ cần kiểm tra thêm điều kiện chuẩn tắc của $HK$.

$\forall x \in G, hk \in HK (h \in H, k \in K)$, ta có:

$x(hk)x^{-1}=(xh)(k{x}^{-1})=(hx)(x^{-1}k)=hk \in HK \Longrightarrow HK \triangleleft G.$

Các anh giải thích giúp em vấn đề này nha:

Đề bài: Trong nhóm hoán vị $S_{10}$, cho $$\sigma_1= \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10\\
2 & 3 & 5 & 7 & 6 & 1 & 8 & 4 & 10 & 9
\end{pmatrix}$$

$$\sigma_2=\begin{pmatrix}
1 & 3 & 4 & 7
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
2 & 5
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 & 2 & 4 & 3
\end{pmatrix}$$

Viết $\sigma_1$ và $\sigma_2$ và $\sigma_1 \sigma_2$ dưới dạng tích các chu trình rời nhau và dưới dạng tích các chuyển vị.

Giải:

...Em có đọc lời giải nhưng ...ko hiểu, hjjj

Ta có: $\sigma_1=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 5 & 6
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
4 & 7 & 8
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
9 & 10 \end{pmatrix} = (6 5)(6 3)(6 2)(6 1)(8 7)(8 4)(9 10)$

Cho em hỏi, em có thể viết: $\sigma_1=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 5 & 6
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
4 & 7 & 8
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
9 & 10 \end{pmatrix} = (1 6)(1 5)(1 3)(1 2)(4 8)(4 7)(9 10)$ được ko ạ?

Và $\sigma_2=(1 5 2 7)$. Cái này em ko hiểu tích của 3 chu trình trong $\sigma_2$ được thực hiện theo thứ tự như thế nào để có $\sigma_2=(1 5 2 7)$ ?

Cho em hỏi thêm:

1) Từ $\sigma_2=\begin{pmatrix}
1 & 3 & 4 & 7
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
2 & 5
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 & 2 & 4 & 3
\end{pmatrix}$ mình có thể viết $\sigma_2$ có dạng 2 dòng như kiểu $\sigma_1$ được ko? Cách thực hiện như thế nào?

2) Khi một hoán vị được viết ở dạng tích của các chuyển vị (như $\sigma_1=(6 5)(6 3)(6 2)(6 1)(8 7)(8 4)(9 10)$, ta muốn nhân với một hoán vị được viết ở dạng tích của các chu trình (như $\sigma_2=\begin{pmatrix}
1 & 3 & 4 & 7
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
2 & 5
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 & 2 & 4 & 3
\end{pmatrix}$ thì mình thực hiện như thế nào?

3) Trong lời giải có nói: $\sigma_1 \sigma_2 =\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 5 & 6
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
4 & 7 & 8
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
9 & 10 \end{pmatrix} (1 5 2 7)= (1 6)(2 8 4 7)(3 5)(9 10)$, em chẳng hiểu cách nhân này thực hiện như thế nào?