wannabeforyou

Một cách khác ngắn hơn:
$x_{n+1}=\left ( x_{n}-1 \right )^{2}+1=\left ( \left ( x_{n-1}-1 \right )^{2}+1-1 \right )^{2}+1=\left ( x_{n-1}-1 \right )^{4}+1$
Tương tự ta sẽ có $a-1=\left ( a-1 \right )^{4024}$
$\Rightarrow a=1$ ^^

Đặt $x=\frac{a}{b};(a,b)=1$
Phương trình tương đương: $a^{2}+ab+6b^{2}=n^{2}b^{2}$
VP chia hết cho b, VT phải chia hết cho b nhưng VT ko chia hết cho b vì (a,b)=1. Nên b=1. Phương trình tương đương với
$a^{2}+a+6=n^{2}$$\Leftrightarrow 4a^{2}+4a+1+23=4n^{2}\Leftrightarrow (2a+1)^{2}+23=4n^{2}$
Đến đây chắc dễ rồi

Bạn hãy xét lời giải sau:
VP phải chia hết cho 5, => 4xyz phải có tận cùng là 9, 4. Nếu 4xyz có tận cùng là 9 => vô lý vì 9 ko chia hết cho 2 => 4xyz có tận cùng là 4 => xyz có tận cùng là 1=> x,y,z đồng thời là 3 số lẻ
VT phải chia hết cho 4 => x+y+z phải chia hết cho 4. Mà x,y,z lẻ => vô lý.
Vậy ko có nghiệm thỏa mãn đề bài

$\frac{y}{x}+\frac{16x}{y}-\frac{15x}{y}\geq 8-15\frac{\left ( x+\frac{1}{y} \right )^{2}}{4}\geq 8-\frac{15}{4}= \frac{17}{4}$
Dấu = khi $x=\frac{1}{2},y= 2$

Cho 53 số nguyên dương phân biệt có tổng nhỏ hơn 2004. Chứng minh rằng có thể chọn được 6 số trong 53 sô nguyên dương đó sao cho trong 6 số đó có 3 cặp chia hết cho 53.

Đây là đề thi HSG năm 2004. Bạn xem lời giải của mình nhé:
Do 53 số đó là số nguyên duơng phân biệt và để tổgn 2 số trong 1 cặp
bằng 53 và có 3 cặp thì 6 số đó luôn nhỏ hơn 53.
*Dùng phuơng pháp phản chứng:
TH1: Giả sử trong 53 số đó không có cặp nào có tổng bằng 53. khi đó
xét tổng nhỏ nhất của 53 số, nếu tổng đó không nhỏ hơn hoặc bằng 2004
thì các tổng khác không thỏa mãn.
có:
Nếu có số 1 thì không có số 52( vì 1+52=53)
Nếu có số 2 thì không có số 51
Nếu có số 3 thì không có số 50
...
Nếu có số 26 thì không có số 27
Như vậy 6 số đó trong truờng hợp này và để tổng nhỏ nhất thì 6 số đó
phải thuộc dãy số từ 1 đến 26
Tổng dãy số đó: (1+26).26/2=351
Vậy 27 số còn lại và để tổng nhỏ nhất phải là các số lớn hơn 53=> 27
số còn lại nhỏ nhất là từ 53-79.
Vậy tổng của 27 số còn lại là: (53+79).27/2=1782
Như vậy tổng 53 số khi đó nhỏ nhất là 1782+351=2133>2004 => ko thỏa
mãn => các tổng khác cũng không thỏa mãn => không có truờng hợp không
có cặp nào có tổng = 53(1)
TH2:
Giả sử có 1 cặp có tổng bằng 53. Xét tổng nhỏ nhất của 53 số, nếu tổng
đó không thỏa mãn thì các tổng khác ko thỏa mãn
Để có tổng 53 số nhỏ nhất mà có 1 cặp =53 thì ta giữ nguyên dãy 26 số
trong truờng hợp 1 vì đó là 26 số có tổng min thỏa mãn và thêm số 27
rồi bỏ số cuối là 79. Khi đó sẽ tạo ra 53 số có tổng nhỏ nhất. Vậy:
Tổng 53 số đó khi đó là : 2133+27-79= 2081>2004 => ko thỏa mãn
Vậy không có truờng hợp có 1 cặp có tổgn =53(2)
TH3:
Giả sử có 2 cặp có tổng bằng 53. Xét tổng nhỏ nhất của 53 số, nếu
không thỏa mãn thì các tổng khác không thỏa mãn.
Để có tổng 53 số nhỏ nhất mà có 2 cặp=53 thì ta giữ nguyên dãy 26 số
và thêm số 27,28 và bỏ 2 số 78,79. Khi đó sẽ tạo ra 53 số có tổgn nhỏ
nhất thỏa mãn.
Vậy tổng 53 số đó khi đó là: 2133+27+28-78-79=2031>2004=> không thỏa mãn(3)
TỪ 1,2,3 => TRONG 53 SỐ NGUYÊN DUƠNG PHÂN BIỆT LUÔN CÓ ÍT NHẤT 3 CẶP
SỐ VỚI MỖI TỔNG =53 THỎA MÃN ĐỀ BÀI.