Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


nk0kckungtjnh

Đăng ký: 10-03-2012
Offline Đăng nhập: 04-03-2020 - 17:19
****-

#715687 Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn

Gửi bởi nk0kckungtjnh trong 18-09-2018 - 13:00

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=10$ và $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=4$

Chứng minh rằng: 

$\frac{\sqrt{a}}{a+3}+\frac{\sqrt{b}}{b+3}+\frac{\sqrt{c}}{c+3}=\frac{6}{\sqrt{(a+3)(b+3)(c+3)}}$

Đặt: $\sqrt{a}=x$ ; $\sqrt{b}=y$ ; $\sqrt{c}=z$

 

Thế thì: $x+y+z=4$ và $x^{2}+y^{2}+z^{2}=10$

$==> (x+y+z)^{2}=16$

Từ đó: $xy+yz+zx=3$ 

 

Thế số 3 này vào dưới mẫu: $x^{2}+3=x^{2}+xy+yz+zx=(x+z)(x+y)$

 

Làm tương tự cho $y^{2}+3$ và $z^{2}+3$

 

Thế vào vế bên trái rồi quy đồng mẫu là xong phim




#498243 Tìm tất cả các số nguyên x,y thỏa mãn $5(2x^{2}y+2x+2xy^{...

Gửi bởi nk0kckungtjnh trong 10-05-2014 - 18:05

$pt\Leftrightarrow 5[2xy(x+y)+2(x+y)-y]=49(xy+1)\Leftrightarrow 10(x+y)(xy+1)-49(xy+1)=5y\Leftrightarrow (xy+1)(10x+10y-49)=5y\Rightarrow 5y\vdots (10x+10y-49)\Rightarrow 5y\geq 10x+10y-49\Leftrightarrow 10x+5y\leq 49\Leftrightarrow 2x+y\leq 9$ mà $x,y\in \mathbb{Z^+}\Rightarrow 2x+y\geq 3$
Mặt khác, $2x$ chẵn nên ta có 16 trường hợp (tự làm nha)
Kết luận: pt có $3$ nghiệm nguyên dương là $(x,y)\in \left \{ (1;4);(4;1);(2;3) \right \}$

Ôi $16$ trường hợp  :closedeyes:   :icon6:  :wub: . Với cả $x,y$ chỉ nguyên thôi chứ không nguyên dương nhé bạn.

Lời giải: 

$PT \Leftrightarrow \frac{5}{49}=\frac{xy+1}{2x^{2}y+2x+2xy^{2}+y}$ 

 

$\Leftrightarrow \frac{1}{9+\frac{1}{1+\frac{1}{4}}} = \frac{1}{2x+y+\frac{1}{\frac{1}{y}+\frac{1}{xy^{2}}}}$ 

 

Đến đây thì mình nghi ngại là đề sai 

 

Tìm tất cả các số nguyên x,y thỏa mãn $5(2x^{2}y+2x+2xy^{2}+y)-49=49xy$




#498241 Tuyển tập 200 bài toán rời rạc và đại số tổ hợp trong các đề thi Olympic toán

Gửi bởi nk0kckungtjnh trong 10-05-2014 - 17:45

quyển này có đáp án không anh

 

Rất tiếc là chưa có bạn à. Có lời khuyên nho nhỏ là bạn hãy nên mua 1 quyển về tu luyện nhé ! hì hì 

 

anh cho em cái link khác đi thật sự em đang rất cần

 

Đây nhé bạn. Tải về ở đây 




#498172 Chứng minh tứ giác nội tiếp

Gửi bởi nk0kckungtjnh trong 10-05-2014 - 08:36

Nhờ thầy cô và các bạn giải giúp câu c bài hình sau ạ:

cho tam giác nhọn ABC (AC>AB), vẽ (O,BC), đường tròn này cắt AB,AC lần lượt tại E và D. Gọi H là giao điểm cả BD và CE, AH cắt BC tại F và (O) tại I.

a, cm: AH vông góc với BC

b, CM: AEDH, AEFC nội tiếp

c, Cm: tứ giác DEFO nội tiếp

 

cảm ơn mọi người đã đọc bài!

 

Trước hết bạn sửa đề đi. Vẽ đường tròn tâm $O$ đường kính $BC$ 

 

Lời giải câu c: 

( Hìn vẽ ) cod6soE.jpg

 

Ta cần chứng minh $\angle EOF=\angle EDF$ 

 

Mặt khác: $\angle EOF=180-2\angle ABC=180-2\angle ADE$

 

Mà: $ \angle EDF = 180 - \angle ADE - \angle FDC$ 

 

Vì vậy ta chỉ cần chứng minh $\angle FDC = \angle ADE$ 

 

Điều này là đúng vì $\angle ADE = \angle ABC$ ( Do tứ giác $BEDC$ nội tiếp ) và $\angle FDC = \angle ABC$ ( Do tứ giác $ADFB$ nội tiếp ) 

 

Từ đó có ĐPCM 




#497760 Tìm Min của $\frac{b^2+b}{b-2013}$

Gửi bởi nk0kckungtjnh trong 07-05-2014 - 23:41

Mình mới tìm được một bài toán hay nên chia sẻ cho các bạn giải thử

Cho $b\in \mathbb{R}$ và $b\neq 0$, tìm giá trị nhỏ nhất của

$P=\frac{b^2+b}{b-2013}$

Lời giải: 

Ta có: $ b^{2}+b(1-P)+2013P=0$

Xét $Delta$ $b$ rồi sử dụng điều kiện có nghiệm của $PT$ bậc $2$




#497754 Đề thi chính thức Olympic 30-4 toán 10 lần thứ XX năm 2014

Gửi bởi nk0kckungtjnh trong 07-05-2014 - 23:26

 

ĐỀ THI CHÍNH THỨC OLYMPIC TRUYỀN THỐNG 30-4 MÔN TOÁN 10 LẦN THỨ XX NĂM 2014

THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG - TPHCM

 

Bài 3 (3 điểm) Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh :

$$\dfrac{a}{\sqrt{7a^2+b^2+c^2}}+\dfrac{b}{\sqrt{a^2+7b^2+c^2}}+\dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2+7c^2}}\leq 1$$

 

File PDF: attachicon.gifde thi 30 thang 4 lop 10 2014.pdf

 

Lời giải:

Chuẩn hóa $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$.

 

Ta đưa về việc chứng minh BĐT sau:  $\sum \frac{a}{6a^{2}+3} \leq 1$ 

 

Chú ý rằng ta có BĐT sau: $\frac{x}{6x^{2}+3} \leq \frac{-1}{54}x^{2}+\frac{7}{54}$  $(*)$  với $x\in(0;\sqrt{3})$

 

Thật vậy $(*) \Leftrightarrow (x-1)^{2}(2x^{2}+4x-7)$ đúng với $x\in(0;\sqrt{3})$

 

Cho $x=a,b,c$ rồi cộng lại ta sẽ có ĐPCM

 

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$ 




#497751 $S= \frac{x}{y^3-1}-\frac{y}{x^3-1}+\frac{2(x-y)}{x^2y^2+...

Gửi bởi nk0kckungtjnh trong 07-05-2014 - 23:11

Cho 2 số thực x, y thỏa mãn:  

 $\left\{\begin{matrix} x+y=1 & & \\x.y \neq 0 & & \end{matrix}\right.$

Tính giá trị biểu thức:

$S= \frac{x}{y^3-1}-\frac{y}{x^3-1}+\frac{2(x-y)}{x^2y^2+3}$

Lời Giải:

 

$$S=\frac{x^{4}-y^{4}-(x+y)}{x^{3}y^{3}-x^{3}-y^{3}+1}+\frac{2(x-y)}{x^{2}y^{2}+3}$$

 

$$S=\frac{(x^{2}+y^{2})(x-y)-1}{(xy)^{3}-1+3xy-1}+\frac{2(x-y)}{x^{2}y^{2}+3}$$

 

$$S=\frac{(1-2xy)(x-y)-1+2(x-y)xy}{xy((xy)^{2}+3} =0 $$

 

Vậy $S=0$ 




#497706 $\sum \frac{a^{2}}{\sqrt{(1...

Gửi bởi nk0kckungtjnh trong 07-05-2014 - 21:13

Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn: $abc=8$. CMR: $\sum \frac{a^{2}}{\sqrt{(1+a^{3})(1+b^{3})}}\geqslant \frac{4}{3}$

Lời giải: 

 Chú ý rằng với điểm rơi $a=b=c=3$ thì theo BĐT $AM-GM$: 

 

Ta có: $\sqrt{a^{3}+1}=\sqrt{(a^{2}-a+1)(a+1)} \leq \frac{a^{2}+2}{2}$. Tương tự thì $\sqrt{b^{3}+1} \leq \frac{b^{2}+2}{2}$

 

$\Rightarrow \frac{a^{2}}{\sqrt{(a^{3}+1)(b^{3}+1)}}\geq \frac{4a^{2}}{(a^{2}+2)(b^{2}+2)}$

 

Do đó ta cần chứng minh $\sum \frac{4a^{2}}{(a^{2}+2)(b^{2}+2)}\geq \frac{4}{3}$

 

Ta sẽ chứng minh BĐT sau là đúng: $ xy+yz+xz+2(x+y+z) \geq \frac{1}{3}(x+2)(y+2)(z+2)$ $(*)$

 

Trong đó $x=a^{2};y=b^{2};z=c^{2} \Rightarrow xyz=64$

 

Mặt khác ta dễ dàng chứng minh $(*)$ bằng BĐT $AM-GM$ như sau:

 

$(*) \Leftrightarrow xy+yz+xz+2(x+y+z) \geq 3\sqrt[3]{(xyz)^{2}}+2.3\sqrt[3]{xyz}=72$ (đúng)

 

Cực trị đạt được tại tâm 




#496320 $a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq a\sqrt...

Gửi bởi nk0kckungtjnh trong 01-05-2014 - 10:35

Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn abc = 2. Chứng minh rằng:

$a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq a\sqrt{b+c}+b\sqrt{a+c}+c\sqrt{a+b}$

Lời giải khác: 

 Sử dụng $Cauchy - Schawrz$ cho vế phải, ta có:

 

$(a\sqrt{b+c}+b\sqrt{a+c}+c\sqrt{a+c})^{2}\leq 3[ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)]$ 

 

Mặt khác theo $AM - GM$ thì: $x^{3}+y^{3}=(x+y)(x^{2}+y^{2}-xy)\geq(x+y)xy$

 

Do đó: $(a\sqrt{b+c}+b\sqrt{a+c}+c\sqrt{a+c})^{2}\leq 6(a^{3}+b^{3}+c^{3})$

 

Ta chỉ cần chứng minh: $a^{3}+b^{3}+c^{3} \geq 6 $ 

 

Bất đẳng thức cuối đúng theo $ AM - GM $ 




#496307 $P=x^3+y^3+3(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}) $

Gửi bởi nk0kckungtjnh trong 01-05-2014 - 09:55

Lời Giải:

Từ giả thiết ta có: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{4}{3}$

 

Đặt $ \frac{1}{x} =a ; \frac{1}{y}=b  \Leftarrow a+b=\frac{4}{3} ; 0<a,b \leq 1$

 

$P=\frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{b^{3}}+3(a^{2}+b^{2})$

 

Dồn để khảo sát hàm $1$ biến $t=ab$

 

$P= \frac{(a+b)[(a+b)^{2}-3ab]}{(ab)^{3}}+3[(a+b)^{3}-2ab]$

 

 




#496304 $\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c...

Gửi bởi nk0kckungtjnh trong 01-05-2014 - 09:44

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn $\frac{1}{2}\leq a,b,c\leq 2$. Chứng minh 

$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq \frac{22}{15}$

 

Lời Giải: 

 Bất đẳng thức  cần chứng minh tương đương:

 

$\frac{1}{1+\frac{b}{a}}+\frac{1}{1+\frac{c}{b}}+\frac{1}{1+\frac{a}{c}} \geq \frac{22}{15} $                   $(1)$

 

Đặt $ \frac{b}{a} =x ; \frac{c}{b} =y ; \frac{a}{c}=z $  $\Rightarrow  xyz=1; \frac{1}{4}\leq x,y,z\leq 4 $

 

 $(1) \Leftrightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{22}{15}$ 

 

Giả sử $Min {x,y,z} =z \Rightarrow xy \geq 1$.

 

Chú ý rằng ta có bài toán phụ sau: Với $xy \geq1$ thì $\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \geq \frac{2}{1+\sqrt{xy}}$

 

( Chứng minh bằng biến đổi tương đương )

 

 Do đó ta chỉ cần chứng minh: $\frac{2}{1+\sqrt{xy}}+ \frac{1}{z} \geq \frac{22}{15}$

 

 Dồn về hàm 1 biến $a=\sqrt{z}$ ( Vì $\sqrt{xy}= \frac{1}{\sqrt{z}}$ ) ta chỉ cần chứng minh: 

 

$\frac{2a}{a+1}+\frac{1}{a^{2}+1}\geq \frac{22}{15}$  ( Bằng biến đổi tương dương ) 

 

 Bất đẳng thức được chứng minh xong 

 

P/s: Bài này rất hay và khó, giống cấu trúc đề thi đại học. Một số bài toán cũng ý tưởng và cách giải như trên:

 

Bài toán 1 ( VMO 2014 )Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

$$T=\frac{x^3y^4z^3}{(x^4+y^4)(xy+z^2)^3}+\frac{y^3z^4x^3}{(y^4+z^4)(yz+x^2)^3}+\frac{z^3x^4y^3}{(z^4+x^4)(zx+y^2)^3}$$

với $x,y,z$ là các số thực dương 

 

Bài toán 2: ( Việt Nam TST 2005) Cho các số dương $a,b,c$. Tìm $Min$  $S=(\frac{a}{a+b})^{3}+(\frac{b}{b+c})^{3}+(\frac{c}{c+a})^{3} $

 

Bài toán 2: ( HSG Toán 12 tỉnh Quảng Bình 2013 - 2014) 

 Cho các số dương $x,y,z$ có tích bằng $8$. Tìm $Min$ 

$S=\frac{1}{(x+1)^{3}}+\frac{2}{(y+2)^{3}}+\frac{3}{(z+64)^{3}} $ 




#495816 Min $M$=$\sqrt{x+\frac{1}{x^2...

Gửi bởi nk0kckungtjnh trong 28-04-2014 - 23:55

Cho $x+y+z \leq 1$ . Tìm GTNN của $M$=$\sqrt{x+\frac{1}{x^2}}$+$\sqrt{y+\frac{1}{y^2}}$+$\sqrt{z+\frac{1}{z^2}}$ ( $x;y;z$>$0$)

Lời giải khác: 

Sử dụng BĐT Mincopxki, ta có:

$M\geq \sqrt{(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})+(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^{2}}$

 

Xét: $(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})+(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^{2}$

 

$S=x+y+z+\frac{1}{162}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^{2}+\frac{161}{162}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^{2}$

 

Ta có: $\frac{1}{162}.(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^{2}\geq \frac{1)}{2.(x+y+z)^{2}}$

 

$\Rightarrow \frac{x+y+z}{2}+\frac{x+y+z}{2}+\frac{1}{162}.(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^{2}\geq \frac{1}{2.(x+y+z)^{2}}+\frac{x+y+z}{2}+\frac{x+y+z}{2}\geq \frac{3}{2}$    ( $By AM - GM$ )

 

Mà $ (\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^{2}\geq 3(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx})\geq (\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{zx}})^{2} $

 

$\Rightarrow \frac{160}{161}.(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^{2} \geq \frac{160}{161}(\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{zx}})^{2}$

 

Sử dụng tách điểm rơi thêm 1 lần nữa ta sẽ tìm đươc $Min M = 2\sqrt{21}$ ; Cực trị đạt được tại tâm

 

P/s: Cách này khá dài nhưng ý tưởng giải quyết thật rất tự nhiên..




#495811 Tài liệu thi HSG Lớp 9 + ôn thi lớp 10 ( chuyên ).

Gửi bởi nk0kckungtjnh trong 28-04-2014 - 23:29

Nhân đây thì mình cũng xin được cung cấp một số tài liệu từ Internet về BĐT cho các bạn gồm có:

1, 500 BĐT từ thầy Cao Minh Quang : File gửi kèm  500 BĐT Cao Minh Quang.pdf   644.8K   1622 Số lần tải
2, Các bài toán về cực trị:  File gửi kèm  Toan Cuc Tri.doc   227K   1086 Số lần tải

3, Một phương pháp khá lạ với THCS: Sử dụng nguyên lí Dirichle: File gửi kèm  BĐT.doc   378K   1198 Số lần tải

 

 

 

 




#495807 Chứng minh $P \geq 3.\frac{\sqrt{3}}...

Gửi bởi nk0kckungtjnh trong 28-04-2014 - 23:14

Cho $a^2+b^2+c^2=1$ ($a;b;c>0$)  . 
C/m $P=\frac{a^2}{b^2+c^2}$+$\frac{b^2}{a^2+c^2}$+$\frac{c^2}{a^2+b^2}$ $\geq$ $3$.$\frac{\sqrt{3}}{2}$

 

Sai đề 

Cho $a^{2}=b^{2}=c^{2}=\frac{1}{3}\Rightarrow P=\frac{3}{2}<\frac{3\sqrt{3}}{2}$

Đề đúng phải là: 
" Cho các số dương $a,b,c$ có $a^{2}+b^{2}+c^{2}$. Chứng minh rằng:
$P=\frac{a}{b^2+c^2}$+$\frac{b}{a^2+c^2}$+$\frac{c}{a^2+b^2}$ $\geq$ $3$.$\frac{\sqrt{3}}{2}$ "
Lời Giải: 
Bất Đẳng Thức cần chứng minh tương đương: 
$\frac{a}{1-a^{2}}+\frac{b}{1-b^{2}}+\frac{c}{1-c^{2}} \geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$
 
Xét hàm $f(x)=\frac{x}{1-x^{2}}=\frac{x^{2}}{x(1-x^{2})}$
 
Xét $S=x(1-x^{2})\Rightarrow 2S^{2}=2x^{2}.(1-x^{2})(1-x^{2})$. Áp dụng $BĐT$  $AM - GM $.
 
$2S^{2}\leq \frac{8}{27}\Rightarrow S\leq \frac{2}{3\sqrt{3}}$. Do đó $f(x)\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}.x^{2}$
 
Thay $x$ bởi $a,b,c$ rồi cộng 3 $BĐT$ lại, ta có $ĐPCM$           - - - - - Solution By Nhân Chính 
                      



#495802 $\boxed{\text{Chuyên Đề}}$ Bất đẳng thức - Cực trị

Gửi bởi nk0kckungtjnh trong 28-04-2014 - 22:58

Góp mấy bài toán:  :wub:  :wub:  :wub:

Bài 157: Cho các số thực $x,y,z$ có $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$. Tìm $Min$ $S=(xy+2xz+yz)^{2}-\frac{8}{(x+y+z)^{2}-xy-yz+2}$

 

Bài 158: Cho các số thực dương $x,y,z$ có tích bằng $8$. Tìm $Min$ $S=\frac{1}{(x+1)^{3}}+\frac{8}{(y+2)^{3}}+\frac{64}{(z+4)^{3}}$