nk0kckungtjnh

Cho $a,b,c$ là các cạnh của một tam giác.Chứng minh rằng:
$a^2b^2c^2 \ge (a^2+b^2-c^2)(b^2+c^2-a^2)(c^2+a^2-b^2)$
----
Bài này quen quen

$\Rightarrow (a^2+b^2-c^2)(b^2+c^2-a^2)\leq \frac{4b^{4}}{4}=b^{4}$
$(b^2+c^2-a^2)(c^2+a^2-b^2)\leq \frac{4c^{4}}{4}=c^{4}$
$(a^2+b^2-c^2)(c^2+a^2-b^2)\leq \frac{4a^{4}}{4}=a^{4}$
Vậy: $(VP)^{2}\leq a^{4}b^{4}c^{4}$
ĐPCM

Ai giúp em bài này nhé

Cho hình thang $ABCD$ ($AB//CD; AB<CD$). Gọi$ E, F$ là các trung điểm của các đường chéo$ BD$ và$ AC$. $G $là giao điểm của đường thẳng qua$ E$ vuông góc với$ AD$ và đường thẳng qua $F$ vuông góc với $BC$. Chứng minh: $GD$=$GC$

Gọi M là trung điểm của DC,
Ta có $EM//BC$ nên $GN$ vuông góc $EM$
Tương tự. $EG$ vuông góc $FM$
Nên $G$ là trực tâm tam giác $EMF$. Nên $GM$ vuộng $EF$. Mặt khác $EF//DC$ nên $GM$ vuông $DC$
Có ĐPCM

**Cho em hỏi là khi chứng minh BĐT, dùng phương pháp quy nạp thì chỉ thực hiện khi biến số thuộc N phải không ạ??
Em có bộ tài liệu hữu ích về BĐT đây

b)DK $x,y \in \mathbb{N}$ và $x,y <10$
Ta có $\overline{xy}+xy=(x+y)^2$
$\Longleftrightarrow 10x+y+xy=x^2+y^2+2xy$
$\Longleftrightarrow x^2+y^2+xy-10x-y=0$
Giải phương trình nghiệm nguyên,ta thu được $(x;y)$ là $(1;\pm 3);(0;1);(0;0);(6;-8);(6;3)$
Từ điều kiện suy ra được các cặp $(x;y)$ thỏa mãn là $(1;3);(6;3)$
______
Bài 2b)Theo mình nghĩ thì $\overline{xy}$ là số có 2 chưa số nên $x$ phải khác $0$

Mình Giải như sau, mong các bạn xem xét:
$\overline{xy}+xy=(x+y)^2$ nên $10x+y=x^{2}+y^{2}+2xy$
$\Rightarrow (10-x)x=y(y-1)$> Ta có $(10-x)x \leq \frac{100}{4}=25$
$y(y-1)\leq 25 \Rightarrow 0\leq y\leq 5$. Từ đó lập bảng để giải

ực! còn bài nào không?

b/ Cho:
$a+b+c=x+y+z=\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0$. Chứng minh: $ax^{2}+by^{2}+cz^{2}$

Câu 2: Cho $\Delta ACB$ vuông cân tại B, trên tia đối $BA$ lấy $D$ sao cho $BD=2BA$. Đường thẳng vuông góc với $DC$ tại D cắt đường vuông góc với $AC$ tại $A$ ở $I$. Chứng minh: $\Delta BID$ cân .
Câu 5:​ Cho tam giác $ABC$, $E$ là trung điểm $BC$ sao cho $\angle EAB=15$, $\angle EAC=30$. Tính $\angle C$ ( $=105$ để các bạn dễ vẽ hình)
Câu 6 Cho tam giác vuông $ ABC$( tại $A$), $M$ trên $BC$, từ $M$ kẻ $ME,MF$ lần lượt vuông góc $AB,AC$.
a/ Chứng minh $AEMF$ là $HCN$
b/ Với điều kiện nào của $M$ thì tứ giác trên là hình vuông.
c/ Giả sử $AM$ vuông góc $BC$. Gọi I là trung điểm $AM$. Từ $M$ kẻ đường vuông góc $CI$ cắt $AB$ ở $K$. Chứng minh: $AB=AK$
Câu 7: a/ Cho: $\frac{xy+1}{y}+\frac{xy+1}{x}+\frac{xz+1}{x}$
Tính $xyz$
b/ Cho:$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}=1$. Chứng minh:
$A=\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{a+c}+\frac{c^{2}}{a+b}=0$

Đề Luyện Thi Số 4

Câu 1 a/ Cho $a,b,c$ là 3 cạnh của 1 tam giác. chứng minh rằng:
$\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c} \geq 3$
b/ Cho:
$a+b+c=x+y+z=\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0$. Tính: $ax^{2}+by^{2}+cz^{2}$
Câu 2: Cho $\Delta ACB$ vuông cân tại B, trên tia đối $BA$ lấy $D$ sao cho $BD=2BA$. Đường thẳng vuông góc với $DC$ tại D cắt đường vuông góc với $AC$ tại $A$ ở $I$. Chứng minh: $\Delta BID$ cân .
Câu 3: a/Cho $x,y>0$ và $x+y=1$
Tìm GTNN của: $A=\frac{2}{xy}+\frac{3}{x^{2}+y^{2}}$
b/ Cho $\overline{xy}+xy=(x+y)^{2}$. Tìm x,y ( đẳng thức có nghĩa)
Câu 4: ​ Chứng minh bài toán gốc sau:
Tính $A= \frac{1}{(a-b)(a-c)}+\frac{1}{(b-a)(b-c)}+\frac{1}{(c-a)(c-b)}$
ÁP DỤNG, TÍNH:
$B=\frac{1}{a^{2}+2bc}+\frac{1}{b^{2}+2ac}+\frac{1}{c^{2}+2ba}$
Biết $ab+bc+ac=0$
Câu 5:​ Cho tam giác $ABC$, $E$ là trung điểm $BC$ sao cho $\angle EAB=15$, $\angle EAC=30$. Tính $\angle C$ ( $=105$ để các bạn dễ vẽ hình)
Câu 6 Cho tam giác vuông $ ABC$( tại $A$), $M$ trên $BC$, từ $M$ kẻ $ME,MF$ lần lượt vuông góc $AB,AC$.
a/ Chứng minh $AEMF$ là $HCN$
b/ Với điều kiện nào của $M$ thì tứ giác trên là hình vuông.
c/ Giả sử $AM$ vuông góc $BC$. Gọi I là trung điểm $AM$. Từ $M$ kẻ đường vuông góc $CI$ cắt $AB$ ở $K$. Chứng minh: $AB=AK$
Câu 7: a/ Cho:$\frac{xy+1}{y}= \frac{xy+1}{z} =\frac{xz+1}{x}$
Tính $xyz$
b/ Cho:$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}=1$. Chứng minh:
$A=\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{a+c}+\frac{c^{2}}{a+b}=0$

Bài 1:
a)$\oplus$Vì $x+y+z=2012$
$\Longrightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}$
$\Longleftrightarrow (\frac{1}{x}+\frac{1}{y})+(\frac{1}{c}-\frac{1}{a+b+c}=0$
$\Longleftrightarrow \frac{x+y}{xy}+\frac{x+y}{z(x+y+z)}=0$
$\Longleftrightarrow (x+y)(\frac{1}{xy}+\frac{1}{z(x+y+z)}=0$
$\Longleftrightarrow (x+y)(\frac{xy+z(x+y+z)}{xyz(x+y+z)}$
$\Longleftrightarrow (x+y)[z(x+z)+y(x+z)]$(Vì $\frac{1}{xyz(x+y+z)}$ luôn khác không )
$\Longleftrightarrow (x+y)(y+z)(x+z)=0$
$\oplus$Vậy $x+y=0$hoặc $y+z=0$ hoặc $x+z=0$
$\Longrightarrow $$x=2012$hoặc $y=2012$ hoặc $z=2012$
$$Q.e.D$$

Tổng Quát:

Cho $3$ số $x,y,z$ khác $0$ thỏa mãn $x+y+z=a$ và $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{a}.$
Chứng minh một trong ba số $x,y,z$ phải có một số bằng $a$

Bây Giờ mình sẽ post giải

BÀI TẬP LUYỆN THI SỐ 1

b/ Cho tam giác ABC nhọn. Trực tâm H, 1 đường thẳng qua H cắt AB, AC tại M và N. Gọi O là trung điểm của BC. Chứng minh:

• Nếu HM=HN thì HO vuông góc với MN .
  
• Nếu HO vuông góc với MN thì HM=HN .

Câu 6: (1,5 đ) Cho 2 đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại O sao cho góc AOC=60 độ. Chứng minh rằng: AC+BD lớn hơn hoặc bằng AB
Câu 7: (1,5 đ) Cho hình vuông EFGH. Một góc vuông xEy quay quanh đỉnh E có cạnh Ex cắt FG và GH theo thứ tự tại M và N, còn cạnh Ey cắt các đường FG và GH theo thứ tự tạ P và Q. Gọi I và K theo thứ tự là trung điểm của PN và QM. Chứng minh rằng bốn điểm F, H, K, I thẳng hàng
Câu 9: (2 đ): Cho tam giác ABC có góc B=45 độ, góc C=120 độ. Trên tia đối BC lấy I sao cho BI=2BC.
a/ Tính góc AIB
b/ Hãy làm bài đảo bài toán trên ( Cho tam giác ABC có góc B=45 độ, góc C=120 độ. Trên tia đối BC lấy I sao cho góc AIB = 75 độ. Chứng minh: BI=2BC )

b/ Cho tam giác ABC nhọn. Trực tâm H, 1 đường thẳng qua H cắt AB, AC tại M và N. Gọi O là trung điểm của BC. Chứng minh:

• Nếu HM=HN thì HO vuông góc với MN .
  
• Nếu HO vuông góc với MN thì HM=HN .

Giải:

1. Nếu HM=HN thì HO vuông góc với MN .
Gọi $E$ đối xứng $C$ qua $H$. Dễ thấy $ENCM$ là hình bình hành.
Nên $EM//NC$. Mà $NC$ vuông góc $ BH$ nên $EM$ vuông góc $BH$.
Nên $M$ là trực tâm $EBH$ Nên $HM$ vuông góc $BE$.
Mặt khác $HO$ là đường trung bình $ ECB$ Nên $HO//BE$ . Suy ra ĐPCM
2. Nếu HO vuông góc với MN thì HM=HN
(Chứng minh tương tự)
Câu 6: (1,5 đ) Cho 2 đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại O sao cho góc AOC=60 độ. Chứng minh rằng: AC+BD lớn hơn hoặc bằng AB

Giải:

Vẽ tam giác đều $CAI$. ( Trên 1/2 mặt fẳng bờ $AC$ chứa $B$)
$\Delta CDI=\Delta BAI$ (c.g.c)
Nên BI=ID và $\angle CDI=\angle ABI$. Mặt khác $\angle DOI=\angle BOC$ (đối đỉnh)
Suy ra: $\angle BOD=\angle BID$ Nên tam giác BID đều ... Suy ra ĐPCM

Câu 9: (2 đ): Cho tam giác ABC có góc B=45 độ, góc C=120 độ. Trên tia đối BC lấy I sao cho BI=2BC.
a/ Tính góc AIB
b/ Hãy làm bài đảo bài toán trên ( Cho tam giác ABC có góc B=45 độ, góc C=120 độ. Trên tia đối BC lấy I sao cho góc AIB = 75 độ. Chứng minh: BI=2BC )

Giải:

a/ Hướng dẫn: Từ C I kẻ IO vuông góc AC .
$ OE= EI=CE=BC=OC$ Nên $\Delta BOE$ vuông tại $O$ và góc $OBE=30$ độ
Nên $\Delta AOB$ cân tại O suy ra $OA=OB=OI$ ( tự chứng minh)
Nên $\Delta OAI$ vuông cân tại O. Nên góc cần tính = 45+30=75 độ
b/ Cũng hình trên
Ta sẽ chứng minh bằng fản chứng:
Ta có: $OE=EC=EI=OC$
Giả sử: $OC>BC$ Thì $ B2>P1$. Mà $ B2+P1=60$
Nên $B2>30$; $P1<30$ suy ra $ B1<15$ (1)
Nên trong tam giác AOB thì $OA<OB$
Mặt khác $OA=OI$ Nên $OI<OB$ Mà $I1=30$ nên $B2<30$ ( Trái với (1) )
Nên không có $OC>BC$
Giả sử $ OC<BC$ Chứng minh tương tự
Nên có $OB=OC=CE=EI$
ĐPCM
Câu 7: (1,5 đ) Cho hình vuông EFGH. Một góc vuông xEy quay quanh đỉnh E có cạnh Ex cắt FG và GH theo thứ tự tại M và N, còn cạnh Ey cắt các đường FG và GH theo thứ tự tạ P và Q. Gọi I và K theo thứ tự là trung điểm của PN và QM. Chứng minh rằng bốn điểm F, H, K, I thẳng hàng

Hướng Dẫn Giải

Trước hết, các bạn thử chứng minh các tam giác: $EMQ, ENP$ vuông cân tại E.
Do đó, $EK=1/2MQ=GK$ Và: $EI=1/2PN=FI$
Nên chúng thuộc trung trực $EG$. Mà $F,H$ cũng vậy. Nên có ĐPCM

Bài luyện thi 2

Câu 4:Độ dài hai cạnh của tam giác bằng $6cm$ và $4cm$.Nửa tổng các chiều cao tương ứng với hai cạnh ấy bằng chièu cao ứng với cạnh thứ 3.Tính độ dài cạnh thứ 3

Ta có: $\frac{LN+IM}{2}=HK$, $HI=4; HN=6$
Gọi cạnh thứ 3 là $x$
Diện tích tam giác ABC là:
$6IM=4LN=x.HK=x \frac{LN+IM}{2}$
Suy ra: $12IM=8LN=x(LN+IM)$ (1)
Nên $\frac{IM}{LN}= \frac{4}{3}$ Nên $IM= \frac{4}{3} LN$
Thay Vào (1) ta có: $8LN=x.\frac{7}{3} LN$ Nên $x= \frac{24}{7}$

Bài luyện thi 2

Câu 5:Cho hình vuông $ABCD$.Trên cạnh $BC$ lấy điểm $F$,trên cạnh $CD$ lấy điểm E sao cho góc EAF có số đo là 45 độ.Chứng minh rằng chu vi tam giác $CEF$ bằng nửa chu vi của hình vuông $ABCD$

Giải

Trên tia đối DC lấy G sao cho DG=BF
Dễ dàng chứng minh được $\Delta ABE=\Delta ADG$ ( 2 cạnh góc vuông)
Nên $\angle GAE=90$. Mặt khác $\angle EAF=45$ nên AF là phân giác $\angle GAE$
$\Delta GAF=\Delta EAF$ (c.g.c)
Suy ra: $EF=GD+DF$ Suy ra chu vi tam giác $CEF$ là:$ DG+DF + CE+CF=BC+DC$
Suy ra ĐPCM

Bài luyện thi 2

Câu 4:Độ dài hai cạnh của tam giác bằng $6cm$ và $4cm$.Nửa tổng các chiều cao tương ứng với hai cạnh ấy bằng chièu cao ứng với cạnh thứ 3.Tính độ dài cạnh thứ 3

Giả sử tam giác đó là $HIN$, trong đó: $HI=4$, $HN=6$ ; $\frac{LN+IM}{2}=HK$
Đặt $IN=x$
Diện tích tam giác $HIN$ được tính theo các công thức là:
$ 4LN=6IM=x. HK=x. \frac{LN+IM}{2}$
$ \Rightarrow 8LN=12IM=x(LN+IM)$ (1)
$ \Rightarrow \frac{IM}{LN}= \frac{4}{3}$ Nên $IM=\frac{4}{3}.LN$
Thay vào (1), được: $8LN=\frac{7}{3}.LN$
$ \Rightarrow x=\frac{24}{7}$

Câu 2 dễ nhất
$$(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\ge 9$$

bạn thử giải cụ thể coi

BÀI TẬP LUYỆN THI SỐ 1

Câu 1: (2 đ)

a) Tìm x,y,z thỏa mãn:

9x² + y² + 2z² – 18x + 4z - 6y + 20 = 0.

b) Cho $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$
và $\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0$ .
Tính :$\frac{a^{2}}{x^{2}}+\frac{b^{2}}{y^{2}}+\frac{c^{2}}{z^{2}}$
Câu 2: (3đ) a. Cho 3 số dương a, b, c có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ $\geq 9$
b. Cho a, b dương và a²⁰⁰⁰ + b²⁰⁰⁰ = a²⁰⁰¹ + b²⁰⁰¹ = a²⁰⁰² + b²⁰⁰²

Tinh: a²⁰¹¹ + b²⁰¹¹

Câu 4: (1,5 đ) a/ Cho tam giác ABC, đường cao AH vẽ phân giác Hx của góc AHB và phân giác Hy của góc góc AHC. Kẻ AD vuông góc Hx, AE vuông góc với Hy . Chứng minh ADHE là hình vuông.
b/ Cho tam giác ABC nhọn. Trực tâm H, 1 đường thẳng qua H cắt AB, AC tại M và N. Gọi O là trung điểm của BC. Chứng minh:

• Nếu HM=HN thì HO vuông góc với MN .
  
• Nếu HO vuông góc với MN thì HM=HN .

Câu 5: (1đ) a.Tìm các số nguyên a,b để A(x) = $x^{4}-3x^{3}+ax+b$ chia hết cho: $x^{2}-3x+4$
b. Tìm x thỏa mãn:

x² + 2x + 3 = (x² + x + 1) (x⁴ + x² + 4)

Câu 6: (1,5 đ) Cho 2 đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại O sao cho góc AOC=60 độ. Chứng minh rằng: AC+BD lớn hơn hoặc bằng AB
Câu 7: (1,5 đ) Cho hình vuông EFGH. Một góc vuông xEy quay quanh đỉnh E có cạnh Ex cắt FG và GH theo thứ tự tại M và N, còn cạnh Ey cắt các đường FG và GH theo thứ tự tạ P và Q. Gọi I và K theo thứ tự là trung điểm của PN và QM. Chứng minh rằng bốn điểm F, H, K, I thẳng hàng
Câu 8: (1,5 đ): Tìm x,y:
a, 6x⁵ +15x⁴ + 20x³ +15x² + 6x +1=0
b, Cho $x^{2}-2xy+2y^{2}-2x+6y+5=0$.Tính $\frac{3x^{2}y-1}{4xy}$
Câu 9: (2 đ): Cho tam giác ABC có góc B=45 độ, góc C=120 độ. Trên tia đối BC lấy I sao cho BI=2BC.
a/ Tính góc AIB
b/ Hãy làm bài đảo bài toán trên ( Cho tam giác ABC có góc B=45 độ, góc C=120 độ. Trên tia đối BC lấy I sao cho góc AIB = 75 độ. Chứng minh: BI=2BC )

Cho mình hỏi bài này đề là $f(x)=(x^{n}-1)(x^{n+1}-1)$ hay là $f(x)=(x^{n}-1)(x^{n-1}-1)$.

Bài này đề là $f(x)=(x^{n}-1)(x^{n+1}-1)$

****Lời nói đầu:
Minh lập ra topic này nhằm giúp các bạn tìm hiểu sâu hơn về đa thức, dạng tổng quát các cách giải. Mong các bạn đóng góp tích cực . Bộ chuyên đề này gồm 4 dạng, hôm nay mình sẽ post lên 3 dạng và một số bài tập.
I/ Dạng Phép Chia Hết
**** Phương pháp giải
1.Phương pháp 1: Phân tích $f(x)$ thành nhân tử có nhân tử chia hết cho $g(x)$
Ví dụ: Cho: $f(x)=x^{8n}+x^{4n}+1$
$g(x)=x^{2n}+x^{n}+1$
Chứng minh rằng $f(x)$ chia hết cho g(x)

Giải

$f(x)=x^{2n}(x^{6n}-1)+x^{n}(x^{3n}-1)+x^{2n}+1+x^{n}$
$f(x)=x^{2n}(x^{4n}+1+x^{2n})(x^{2n}-1)+x^{n} (x^{2n}+x^{n}+1)+x^{2n}+x^{n}+1$
$f(x)=(x^{2n}+x^{n}+1)Q(x)$
ĐPCM
2. Phương pháp 2:Phân tích $f(x)$ thành tổng các đa thức, mỗi đa thức đều chia hết cho $g(x)$
Ví dụ: Cho $f(x)=x^{3n+1}+x^{3n+2}+1$
$g(x)=x^{2}+x+1$
Chứng minh rằng $f(x)$ chia hết cho g(x)

Giải:

$f(x)=x^{2}(x^{3n}-1)+x(x^{3n}-1)+x^{2}+x+1$
$f(x)= (x^{2}+x+1).K(x)$
ĐPCM

3.Phương pháp 3: Dùng phép biến đổi tương đương
Chứng minh $f(x)+ g(x)$ chia hết cho $g(x)$ hoặc $f(x) - g(x)$ chia hết cho $g(x)$
Ví dụ: Cho: $f(x)=x^{99}+x^{88}+x^{77}+...+x^{11}+1$
$g(x)=x^{9}+x^{8}+...+x^{11}+1$
Chứng minh rằng $f(x)$ chia hết cho g(x)

Giải:

$g(x)(x-1)=x^{10}-1$ (Khai triển lũy thừa)
nên $x^{10}-1$ chia hết cho $g(x)$
Xét $Q(x)=f(x)-g(x)$
$Q(x)=x^{99}-x^{9}+x^{88}-x^{8}+...+x^{11}-x+1-1$
$Q(x)=x^{9}(x^{90}-1$+x^{8}(x^{80}-1$+...+ x(x^{10}-1$
Suy ra: Q(x) chia hết cho $g(x)$.... Dẫn đến ĐPCM

4.Phương pháp 4: Chứng minh mọi nghiệm của $g(x)$ là của $f(x)$
***Lưu ý:
1. Số nghiệm của 1 đa thức không vượt quá số bậc của đa thức đó
2.Khi x=a là 1 nghiệm thì đa thức đó được viết dưới dạng:$f(x)=(x-a).Q(x)$. Tương tự với nhiều nghiệm
3. Khi sử dụng phương pháp này thì nghiệm của $g(x)$ đúng bằng bậc của nó
Ví dụ: Cho $f(x)=$(x^{2}+x-1)^{10}+$$(x^{2}-x+1)^{10}-2$
$g(x)=x^{2}-x$
Chứng minh rằng $f(x)$ chia hết cho g(x)

Giải:

Nghiệm của $g(x) là $x=0$ và $x=1$
Xét $f(0)=0$ và $f(1)=0 Nên f(x) chứa $x$và $x-1$
Nên $f(x)=x(x-1)Q(x)$

ĐPCM

II/ Tìm dư trong phép chia $f(x)$ cho $g(x)$
Trước hết, để thực hiện được theo các phương pháp thì phải xác định bậc của R(x) dựa vào g(x). Bậc của g(x) được xác định như sau: Lấy bậc của $g(x)-1$
***Phương pháp giải
1.Phương pháp 1: Phân tích f(x) thành tổng các đa thức: $f(x)=h(x)+k(x)+q(x)+...+R(x). Trong đó: $h(x)+k(x)+q(x)+...$ chia hết cho g(x) nên R(x) là dư
Ví dụ: ( Phần bài tập)
2. Phương pháp 2: Đặt phép chia
*** Tuy nhiên phương pháp này áp dụng khi số bậc nhỏ
3. Phương pháp 3
Thực hiện các bước:
1. Viết đa thức như sau: $f(x)=g(x).Q(x)+R(x)$ $\forall x$ ( 1).
2. Tìm nghiệm của g(x)
3. Thay nghiệm của g(x) vào f(x) ở (1), Đó chính là dư
Ví dụ: Cho $f(x)=x+x^{3}+x^{9}+x^{27}+x^{243}
$g(x)=x-1$.
Tìm dư trong phép chia $f(x)$ cho $g(x)$
Giải:
Dễ thấy nghiệm của $g(x)$ là 1
Nên dư trong phép chia $f(x)$ cho $g(x)$. là $ $R(x)=f(1)=5$
ĐPCM

III/ Tìm điều kiện của tham số để $f(x)$ chia hết cho $g(x)$
1. phương pháp 1: Phân tích f(x) thành $h(x)+k(x)+q(x)+...+R(x).Trong đó $h(x)+k(x)+q(x)+...$ chia hết cho $g(x)$ Nên R(x)=0
Ví dụ Xác định a,b sao cho $f(x)$ Chia hết cho $g(x)$
$f(x)=10x^{2}-7x+a$
$g(x)=2x-3$

Giải:

$f(x)=5x(2x-3)+4(2x-3)+12+a$.
Suy ra: $a+12=0$. a=-12
ĐPCM

2. phương pháp 2: Đặt phép chia buộc dư cuối phải bằng 0.
3. phương pháp 3: Đồng nhất hệ số
Phương pháp này tương tự như "hệ số bất định" trong phân tích đa thức thành nhân tử.
Ví dụ: Xác định a,b sao cho $f(x)$ Chia hết cho $g(x)$
$f(x)=10x^{2}-7x+a$
$g(x)=2x-3$

Giải

$f(x)=(2x-3)(5x+b)=10x^{2}+x(2b-15)-3b$
Suy ra : $2b-15=-7$. nên b= 4
$a=-3b=-12$
Nhận xét: Mình đã viết $f(x)$ chứa $g(x)$. Sau đó do $2x-3$ bậc nhất nên đa thức sau đó cũng vậy. Mà hệ số ở $f(x)$ là $10$, Ở $g(x)$ là $2$ nên đa thức sau nó phải có hệ số là $5$. Bậc nhất nên có dạng: $5x+b$
IV/ Tìm đa thức
*****Phương pháp giải
1. Đa thức được viết dưới dạng:
$f(x)=g(x)_{1}$Q(x)+R(x)$ mọi $x $
$f(x)=g(x)_{2}$Q(x)+R(x)$ mọi $x$
$f(x)=g(x)_{3}$Q(x)+R(x)$ mọi $x$
.....................................................Ta xét các nghiệm của $g(x)_{1}$; $g(x)_{2}$;....sau đó thay vào $f(x)$
Tuy nhiên, như đã nói ở trên, ta phải xác định được bậc của đa thức dư.
Ví dụ: Tìm đa thức $f(x)$, biết khi chia $f(x)$ cho $x-2$ dư $5$, $x-3$ dư $7$
và chia cho $x^{2}-5x+6$ được thương là $1-x^{2}$ và còn dư
Giải:
Theo bài ra, ta có:
$f(x)=(x-2).Q(x)+5$ nên $f(2)=5$ (1)
$f(x)=(x-3).K(x)+7$ nên $f(3)=7$ (2)
$f(x)=(x^{2}-5x+6).(1-x^{2})+ax+b$ (3)
( Do đa thức chia bậc 2 nên đa thức dư bậc nhất)
Thay (1),(2) vào (3).
Ta có:$f(2)=2a+b=5$
$f(3)=3a+b=7$
Suy ra: $a=2$,$b=1$
Suy ra: $f(x)=(x^{2}-5x+6).(1-x^{2})+2x+1$
ĐPCM

IV/ Bài tập tổng hợp
Bài 1: Tìm a.b.c để $f(x)$ chia hết cho$g(x)$
$f(x)=ax^{19}+bx^{194}+cx^{1994}$
$g(x)=x^{2}+x+1$
Bài 2: Tìm a.b.c để $f(x)$ chia hết cho$g(x)$
$f(x)=2x^{4}+ax^{2}+bx+c$
$g(x)=x-2$
Bài 3: Tìm dư trong phép chia $f(x)$ cho g(x):
$f(x)=(x+1)(x+2)(x+3)(x+5)(x+7)+2003
$g(x)=x^{2{+8x+12$
Bài 4: Chứng minh $f(x)$ chia hết cho $g(x)$
$f(x)=x^{95}+x^{94}+...+x+1$
$g(x)=x^{31}+x^{30}+....+x+1$
Bài 5: Chứng minh $f(x)$ chia hết cho $g(x)$
$f(x)=(x+y)^{6}+(x-y)^{6}$
$g(x)=x^{2}+y^{2}$
Bài 6: Chứng minh $f(x)$ chia hết cho $g(x)$
$f(x)=(x^{n}-1)(x^{n=1}-1)$
$g(x)=(x+1)(x-1)^{2}$
.Bài 7: Tìm dư trong phép chia $f(x)$ cho g(x):
$f(x)=x^{50}+x^{49}+...+x+1$
$g(x)=x^{2}-1$a

Tìm đa thức bậc $3$ $f(x)$ biết $f(x)$ chia cho $x-10;x-20;x-30$ đều được số dư là $6$ và $f(-11)=-133449$

Theo đề ra:
$f(10)=6$
$f(20)=6$
$f(30)=6$
$f(x)=$$ax^{3}+bx^{2}+cx+d$
Nên: $f(10)=1000a+100b+10c+d=6$
$f(20)=8000a+400b+20c+d=6$
$f(30)=9000a+900b+30c+d=6$
$f(-11)=-1331a+121b-11c+d=-133449$
Lấy $f(30)-f(20)-f(10)= 9000a-9000a+900b-400b-100b+30c-10c-20c+d-2d=6-12$
Suy ra: $400b-d=-6$
Ta có: $f(20)-2.f(10)=6000a+200b-d=-6$
Suy ra: $400b-d=600a+200b-d=-6$
Suy ra: $200b=600a$ Suy ra: b=3a
Ta có: $f(20)-f(10)=7000a+300b+10c=0$
Suy ra: $ 16000a+10c=0$ Nên $c=-1600a$
$f(20)-f(11)=9331a+279b+31c=133455$
Suy ra: $9331a+837a-49600a=133455$
Suy ra: $-39432a=133455$
Suy ra: $a=-1435/424$
$b=-4305/424$
$c=287000/53$
$d=.......$