Đến nội dung

nk0kckungtjnh

nk0kckungtjnh

Đăng ký: 10-03-2012
Offline Đăng nhập: 04-04-2019 - 22:40
****-

#715687 Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn

Gửi bởi nk0kckungtjnh trong 18-09-2018 - 13:00

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=10$ và $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=4$

Chứng minh rằng: 

$\frac{\sqrt{a}}{a+3}+\frac{\sqrt{b}}{b+3}+\frac{\sqrt{c}}{c+3}=\frac{6}{\sqrt{(a+3)(b+3)(c+3)}}$

Đặt: $\sqrt{a}=x$ ; $\sqrt{b}=y$ ; $\sqrt{c}=z$

 

Thế thì: $x+y+z=4$ và $x^{2}+y^{2}+z^{2}=10$

$==> (x+y+z)^{2}=16$

Từ đó: $xy+yz+zx=3$ 

 

Thế số 3 này vào dưới mẫu: $x^{2}+3=x^{2}+xy+yz+zx=(x+z)(x+y)$

 

Làm tương tự cho $y^{2}+3$ và $z^{2}+3$

 

Thế vào vế bên trái rồi quy đồng mẫu là xong phim




#498243 Tìm tất cả các số nguyên x,y thỏa mãn $5(2x^{2}y+2x+2xy^{...

Gửi bởi nk0kckungtjnh trong 10-05-2014 - 18:05

$pt\Leftrightarrow 5[2xy(x+y)+2(x+y)-y]=49(xy+1)\Leftrightarrow 10(x+y)(xy+1)-49(xy+1)=5y\Leftrightarrow (xy+1)(10x+10y-49)=5y\Rightarrow 5y\vdots (10x+10y-49)\Rightarrow 5y\geq 10x+10y-49\Leftrightarrow 10x+5y\leq 49\Leftrightarrow 2x+y\leq 9$ mà $x,y\in \mathbb{Z^+}\Rightarrow 2x+y\geq 3$
Mặt khác, $2x$ chẵn nên ta có 16 trường hợp (tự làm nha)
Kết luận: pt có $3$ nghiệm nguyên dương là $(x,y)\in \left \{ (1;4);(4;1);(2;3) \right \}$

Ôi $16$ trường hợp  :closedeyes:   :icon6:  :wub: . Với cả $x,y$ chỉ nguyên thôi chứ không nguyên dương nhé bạn.

Lời giải: 

$PT \Leftrightarrow \frac{5}{49}=\frac{xy+1}{2x^{2}y+2x+2xy^{2}+y}$ 

 

$\Leftrightarrow \frac{1}{9+\frac{1}{1+\frac{1}{4}}} = \frac{1}{2x+y+\frac{1}{\frac{1}{y}+\frac{1}{xy^{2}}}}$ 

 

Đến đây thì mình nghi ngại là đề sai 

 

Tìm tất cả các số nguyên x,y thỏa mãn $5(2x^{2}y+2x+2xy^{2}+y)-49=49xy$




#498241 Tuyển tập 200 bài toán rời rạc và đại số tổ hợp trong các đề thi Olympic toán

Gửi bởi nk0kckungtjnh trong 10-05-2014 - 17:45

quyển này có đáp án không anh

 

Rất tiếc là chưa có bạn à. Có lời khuyên nho nhỏ là bạn hãy nên mua 1 quyển về tu luyện nhé ! hì hì 

 

anh cho em cái link khác đi thật sự em đang rất cần

 

Đây nhé bạn. Tải về ở đây 




#498172 Chứng minh tứ giác nội tiếp

Gửi bởi nk0kckungtjnh trong 10-05-2014 - 08:36

Nhờ thầy cô và các bạn giải giúp câu c bài hình sau ạ:

cho tam giác nhọn ABC (AC>AB), vẽ (O,BC), đường tròn này cắt AB,AC lần lượt tại E và D. Gọi H là giao điểm cả BD và CE, AH cắt BC tại F và (O) tại I.

a, cm: AH vông góc với BC

b, CM: AEDH, AEFC nội tiếp

c, Cm: tứ giác DEFO nội tiếp

 

cảm ơn mọi người đã đọc bài!

 

Trước hết bạn sửa đề đi. Vẽ đường tròn tâm $O$ đường kính $BC$ 

 

Lời giải câu c: 

( Hìn vẽ ) cod6soE.jpg

 

Ta cần chứng minh $\angle EOF=\angle EDF$ 

 

Mặt khác: $\angle EOF=180-2\angle ABC=180-2\angle ADE$

 

Mà: $ \angle EDF = 180 - \angle ADE - \angle FDC$ 

 

Vì vậy ta chỉ cần chứng minh $\angle FDC = \angle ADE$ 

 

Điều này là đúng vì $\angle ADE = \angle ABC$ ( Do tứ giác $BEDC$ nội tiếp ) và $\angle FDC = \angle ABC$ ( Do tứ giác $ADFB$ nội tiếp ) 

 

Từ đó có ĐPCM 




#497760 Tìm Min của $\frac{b^2+b}{b-2013}$

Gửi bởi nk0kckungtjnh trong 07-05-2014 - 23:41

Mình mới tìm được một bài toán hay nên chia sẻ cho các bạn giải thử

Cho $b\in \mathbb{R}$ và $b\neq 0$, tìm giá trị nhỏ nhất của

$P=\frac{b^2+b}{b-2013}$

Lời giải: 

Ta có: $ b^{2}+b(1-P)+2013P=0$

Xét $Delta$ $b$ rồi sử dụng điều kiện có nghiệm của $PT$ bậc $2$




#497754 Đề thi chính thức Olympic 30-4 toán 10 lần thứ XX năm 2014

Gửi bởi nk0kckungtjnh trong 07-05-2014 - 23:26

 

ĐỀ THI CHÍNH THỨC OLYMPIC TRUYỀN THỐNG 30-4 MÔN TOÁN 10 LẦN THỨ XX NĂM 2014

THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG - TPHCM

 

Bài 3 (3 điểm) Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh :

$$\dfrac{a}{\sqrt{7a^2+b^2+c^2}}+\dfrac{b}{\sqrt{a^2+7b^2+c^2}}+\dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2+7c^2}}\leq 1$$

 

File PDF: attachicon.gifde thi 30 thang 4 lop 10 2014.pdf

 

Lời giải:

Chuẩn hóa $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$.

 

Ta đưa về việc chứng minh BĐT sau:  $\sum \frac{a}{6a^{2}+3} \leq 1$ 

 

Chú ý rằng ta có BĐT sau: $\frac{x}{6x^{2}+3} \leq \frac{-1}{54}x^{2}+\frac{7}{54}$  $(*)$  với $x\in(0;\sqrt{3})$

 

Thật vậy $(*) \Leftrightarrow (x-1)^{2}(2x^{2}+4x-7)$ đúng với $x\in(0;\sqrt{3})$

 

Cho $x=a,b,c$ rồi cộng lại ta sẽ có ĐPCM

 

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$ 




#497751 $S= \frac{x}{y^3-1}-\frac{y}{x^3-1}+\frac{2(x-y)}{x^2y^2+...

Gửi bởi nk0kckungtjnh trong 07-05-2014 - 23:11

Cho 2 số thực x, y thỏa mãn:  

 $\left\{\begin{matrix} x+y=1 & & \\x.y \neq 0 & & \end{matrix}\right.$

Tính giá trị biểu thức:

$S= \frac{x}{y^3-1}-\frac{y}{x^3-1}+\frac{2(x-y)}{x^2y^2+3}$

Lời Giải:

 

$$S=\frac{x^{4}-y^{4}-(x+y)}{x^{3}y^{3}-x^{3}-y^{3}+1}+\frac{2(x-y)}{x^{2}y^{2}+3}$$

 

$$S=\frac{(x^{2}+y^{2})(x-y)-1}{(xy)^{3}-1+3xy-1}+\frac{2(x-y)}{x^{2}y^{2}+3}$$

 

$$S=\frac{(1-2xy)(x-y)-1+2(x-y)xy}{xy((xy)^{2}+3} =0 $$

 

Vậy $S=0$ 




#497706 $\sum \frac{a^{2}}{\sqrt{(1...

Gửi bởi nk0kckungtjnh trong 07-05-2014 - 21:13

Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn: $abc=8$. CMR: $\sum \frac{a^{2}}{\sqrt{(1+a^{3})(1+b^{3})}}\geqslant \frac{4}{3}$

Lời giải: 

 Chú ý rằng với điểm rơi $a=b=c=3$ thì theo BĐT $AM-GM$: 

 

Ta có: $\sqrt{a^{3}+1}=\sqrt{(a^{2}-a+1)(a+1)} \leq \frac{a^{2}+2}{2}$. Tương tự thì $\sqrt{b^{3}+1} \leq \frac{b^{2}+2}{2}$

 

$\Rightarrow \frac{a^{2}}{\sqrt{(a^{3}+1)(b^{3}+1)}}\geq \frac{4a^{2}}{(a^{2}+2)(b^{2}+2)}$

 

Do đó ta cần chứng minh $\sum \frac{4a^{2}}{(a^{2}+2)(b^{2}+2)}\geq \frac{4}{3}$

 

Ta sẽ chứng minh BĐT sau là đúng: $ xy+yz+xz+2(x+y+z) \geq \frac{1}{3}(x+2)(y+2)(z+2)$ $(*)$

 

Trong đó $x=a^{2};y=b^{2};z=c^{2} \Rightarrow xyz=64$

 

Mặt khác ta dễ dàng chứng minh $(*)$ bằng BĐT $AM-GM$ như sau:

 

$(*) \Leftrightarrow xy+yz+xz+2(x+y+z) \geq 3\sqrt[3]{(xyz)^{2}}+2.3\sqrt[3]{xyz}=72$ (đúng)

 

Cực trị đạt được tại tâm 




#496320 $a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq a\sqrt...

Gửi bởi nk0kckungtjnh trong 01-05-2014 - 10:35

Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn abc = 2. Chứng minh rằng:

$a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq a\sqrt{b+c}+b\sqrt{a+c}+c\sqrt{a+b}$

Lời giải khác: 

 Sử dụng $Cauchy - Schawrz$ cho vế phải, ta có:

 

$(a\sqrt{b+c}+b\sqrt{a+c}+c\sqrt{a+c})^{2}\leq 3[ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)]$ 

 

Mặt khác theo $AM - GM$ thì: $x^{3}+y^{3}=(x+y)(x^{2}+y^{2}-xy)\geq(x+y)xy$

 

Do đó: $(a\sqrt{b+c}+b\sqrt{a+c}+c\sqrt{a+c})^{2}\leq 6(a^{3}+b^{3}+c^{3})$

 

Ta chỉ cần chứng minh: $a^{3}+b^{3}+c^{3} \geq 6 $ 

 

Bất đẳng thức cuối đúng theo $ AM - GM $ 




#496307 $P=x^3+y^3+3(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}) $

Gửi bởi nk0kckungtjnh trong 01-05-2014 - 09:55

Lời Giải:

Từ giả thiết ta có: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{4}{3}$

 

Đặt $ \frac{1}{x} =a ; \frac{1}{y}=b  \Leftarrow a+b=\frac{4}{3} ; 0<a,b \leq 1$

 

$P=\frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{b^{3}}+3(a^{2}+b^{2})$

 

Dồn để khảo sát hàm $1$ biến $t=ab$

 

$P= \frac{(a+b)[(a+b)^{2}-3ab]}{(ab)^{3}}+3[(a+b)^{3}-2ab]$

 

 




#496304 $\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c...

Gửi bởi nk0kckungtjnh trong 01-05-2014 - 09:44

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn $\frac{1}{2}\leq a,b,c\leq 2$. Chứng minh 

$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq \frac{22}{15}$

 

Lời Giải: 

 Bất đẳng thức  cần chứng minh tương đương:

 

$\frac{1}{1+\frac{b}{a}}+\frac{1}{1+\frac{c}{b}}+\frac{1}{1+\frac{a}{c}} \geq \frac{22}{15} $                   $(1)$

 

Đặt $ \frac{b}{a} =x ; \frac{c}{b} =y ; \frac{a}{c}=z $  $\Rightarrow  xyz=1; \frac{1}{4}\leq x,y,z\leq 4 $

 

 $(1) \Leftrightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{22}{15}$ 

 

Giả sử $Min {x,y,z} =z \Rightarrow xy \geq 1$.

 

Chú ý rằng ta có bài toán phụ sau: Với $xy \geq1$ thì $\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \geq \frac{2}{1+\sqrt{xy}}$

 

( Chứng minh bằng biến đổi tương đương )

 

 Do đó ta chỉ cần chứng minh: $\frac{2}{1+\sqrt{xy}}+ \frac{1}{z} \geq \frac{22}{15}$

 

 Dồn về hàm 1 biến $a=\sqrt{z}$ ( Vì $\sqrt{xy}= \frac{1}{\sqrt{z}}$ ) ta chỉ cần chứng minh: 

 

$\frac{2a}{a+1}+\frac{1}{a^{2}+1}\geq \frac{22}{15}$  ( Bằng biến đổi tương dương ) 

 

 Bất đẳng thức được chứng minh xong 

 

P/s: Bài này rất hay và khó, giống cấu trúc đề thi đại học. Một số bài toán cũng ý tưởng và cách giải như trên:

 

Bài toán 1 ( VMO 2014 )Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

$$T=\frac{x^3y^4z^3}{(x^4+y^4)(xy+z^2)^3}+\frac{y^3z^4x^3}{(y^4+z^4)(yz+x^2)^3}+\frac{z^3x^4y^3}{(z^4+x^4)(zx+y^2)^3}$$

với $x,y,z$ là các số thực dương 

 

Bài toán 2: ( Việt Nam TST 2005) Cho các số dương $a,b,c$. Tìm $Min$  $S=(\frac{a}{a+b})^{3}+(\frac{b}{b+c})^{3}+(\frac{c}{c+a})^{3} $

 

Bài toán 2: ( HSG Toán 12 tỉnh Quảng Bình 2013 - 2014) 

 Cho các số dương $x,y,z$ có tích bằng $8$. Tìm $Min$ 

$S=\frac{1}{(x+1)^{3}}+\frac{2}{(y+2)^{3}}+\frac{3}{(z+64)^{3}} $ 




#495816 Min $M$=$\sqrt{x+\frac{1}{x^2...

Gửi bởi nk0kckungtjnh trong 28-04-2014 - 23:55

Cho $x+y+z \leq 1$ . Tìm GTNN của $M$=$\sqrt{x+\frac{1}{x^2}}$+$\sqrt{y+\frac{1}{y^2}}$+$\sqrt{z+\frac{1}{z^2}}$ ( $x;y;z$>$0$)

Lời giải khác: 

Sử dụng BĐT Mincopxki, ta có:

$M\geq \sqrt{(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})+(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^{2}}$

 

Xét: $(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})+(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^{2}$

 

$S=x+y+z+\frac{1}{162}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^{2}+\frac{161}{162}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^{2}$

 

Ta có: $\frac{1}{162}.(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^{2}\geq \frac{1)}{2.(x+y+z)^{2}}$

 

$\Rightarrow \frac{x+y+z}{2}+\frac{x+y+z}{2}+\frac{1}{162}.(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^{2}\geq \frac{1}{2.(x+y+z)^{2}}+\frac{x+y+z}{2}+\frac{x+y+z}{2}\geq \frac{3}{2}$    ( $By AM - GM$ )

 

Mà $ (\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^{2}\geq 3(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx})\geq (\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{zx}})^{2} $

 

$\Rightarrow \frac{160}{161}.(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^{2} \geq \frac{160}{161}(\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{zx}})^{2}$

 

Sử dụng tách điểm rơi thêm 1 lần nữa ta sẽ tìm đươc $Min M = 2\sqrt{21}$ ; Cực trị đạt được tại tâm

 

P/s: Cách này khá dài nhưng ý tưởng giải quyết thật rất tự nhiên..




#495811 Tài liệu thi HSG Lớp 9 + ôn thi lớp 10 ( chuyên ).

Gửi bởi nk0kckungtjnh trong 28-04-2014 - 23:29

Nhân đây thì mình cũng xin được cung cấp một số tài liệu từ Internet về BĐT cho các bạn gồm có:

1, 500 BĐT từ thầy Cao Minh Quang : File gửi kèm  500 BĐT Cao Minh Quang.pdf   644.8K   1926 Số lần tải
2, Các bài toán về cực trị:  File gửi kèm  Toan Cuc Tri.doc   227K   1372 Số lần tải

3, Một phương pháp khá lạ với THCS: Sử dụng nguyên lí Dirichle: File gửi kèm  BĐT.doc   378K   1495 Số lần tải

 

 

 

 




#495807 Chứng minh $P \geq 3.\frac{\sqrt{3}}...

Gửi bởi nk0kckungtjnh trong 28-04-2014 - 23:14

Cho $a^2+b^2+c^2=1$ ($a;b;c>0$)  . 
C/m $P=\frac{a^2}{b^2+c^2}$+$\frac{b^2}{a^2+c^2}$+$\frac{c^2}{a^2+b^2}$ $\geq$ $3$.$\frac{\sqrt{3}}{2}$

 

Sai đề 

Cho $a^{2}=b^{2}=c^{2}=\frac{1}{3}\Rightarrow P=\frac{3}{2}<\frac{3\sqrt{3}}{2}$

Đề đúng phải là: 
" Cho các số dương $a,b,c$ có $a^{2}+b^{2}+c^{2}$. Chứng minh rằng:
$P=\frac{a}{b^2+c^2}$+$\frac{b}{a^2+c^2}$+$\frac{c}{a^2+b^2}$ $\geq$ $3$.$\frac{\sqrt{3}}{2}$ "
Lời Giải: 
Bất Đẳng Thức cần chứng minh tương đương: 
$\frac{a}{1-a^{2}}+\frac{b}{1-b^{2}}+\frac{c}{1-c^{2}} \geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$
 
Xét hàm $f(x)=\frac{x}{1-x^{2}}=\frac{x^{2}}{x(1-x^{2})}$
 
Xét $S=x(1-x^{2})\Rightarrow 2S^{2}=2x^{2}.(1-x^{2})(1-x^{2})$. Áp dụng $BĐT$  $AM - GM $.
 
$2S^{2}\leq \frac{8}{27}\Rightarrow S\leq \frac{2}{3\sqrt{3}}$. Do đó $f(x)\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}.x^{2}$
 
Thay $x$ bởi $a,b,c$ rồi cộng 3 $BĐT$ lại, ta có $ĐPCM$           - - - - - Solution By Nhân Chính 
                      



#495802 $\boxed{\text{Chuyên Đề}}$ Bất đẳng thức - Cực trị

Gửi bởi nk0kckungtjnh trong 28-04-2014 - 22:58

Góp mấy bài toán:  :wub:  :wub:  :wub:

Bài 157: Cho các số thực $x,y,z$ có $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$. Tìm $Min$ $S=(xy+2xz+yz)^{2}-\frac{8}{(x+y+z)^{2}-xy-yz+2}$

 

Bài 158: Cho các số thực dương $x,y,z$ có tích bằng $8$. Tìm $Min$ $S=\frac{1}{(x+1)^{3}}+\frac{8}{(y+2)^{3}}+\frac{64}{(z+4)^{3}}$