mango

Cho a,b,c >0.  CMR:

$\frac{a^3}{(b+c)^2}+\frac{b^3}{(a+c)^2}+\frac{c^3}{(b+a)^2}\geq \frac{a+b+c}{4}$

Tại sao $\sum \frac{1}{2(ab+b+1)}=\frac{1}{2}$

Ta CM như sau:

$\frac{1}{ab+b+1}=\frac{c}{1+bc+c}$  ( cùng nhân c, và abc =1)

$\frac{1}{ac+a+1}=\frac{bc}{c+1+bc}$  ( cùng nhân bc)

Như vậy:

$\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{ac+a+1}+\frac{1}{bc+c+1}=\frac{c+bc+1}{bc+c+1}=1$

Cho a,b,c>0 thỏa mãn: $a+b+c\leq \sqrt{3}$. CMR:

$\frac{a}{\sqrt{a^2+1}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+1}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+1}}\leq \frac{3}{2}$

 

 

Cho a,b,c >0 . CMR:

$\frac{b}{a+2b}+\frac{c}{b+2c}+\frac{a}{c+2a}\leq 1$

Câu 5: Cho $a,b,c$ là các số dương thoả mãn $abc=1$. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{a^2+2b^2+3}+\frac{1}{b^2+2c^2+3}+\frac{1}{c^2+2a^2+3}\le \frac{1}{2}$

Ta có:

$a^2+2b^2+3=(a^2+b^2)+(b^2+1)+2\geq 2(ab+b+1)$ 

nên 

$\sum \frac{1}{a^2+2b^2+3}\leq \sum \frac{1}{2(ab+b+1)}= \frac{1}{2}$

Dấu = xảy ra khi a=b=c =1

Giải HPT:

$\left\{\begin{matrix} x+y-\sqrt{xy}=1\\ \sqrt{x^2+3}+\sqrt{y^2+3}=4 \end{matrix}\right.$

Cho các số thực a,b,x,y  thỏa mãn: $ax-by=\sqrt{3}$. Tìm GTNN của A.

$A=a^2+b^2+x^2+y^2+bx+ay$

Cho a,b,c dương thỏa;  $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=1$. Tìm giá trị lớn nhất của P.

$P=\frac{1}{\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}}+\frac{1}{\sqrt{5b^2+2bc+2c^2}}+\frac{1}{\sqrt{5a^2+2ac+2c^2}}$

Cho x,y >0, thỏa mãn: $x-y> 2\sqrt{2}$  và $xy=4$.       CMR:

$\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}> 1$

Cho a,b,c dương thỏa mãn a+b+c =1. CMR:

$\frac{a+b}{\sqrt{ab+c}}+\frac{b+c}{\sqrt{bc+a}}+\frac{c+a}{\sqrt{ca+b}}\geq 3$

Cho a,b,c d­ương CMR:

$\frac{2a}{b+c}+\frac{2b}{a+c}+\frac{2c}{a+b}\geq 3+\frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{(a+b+c)^2}$

Cho tam giác ABC có chu vi bằng 4 , a,b,c là độ dài các cạnh:  CMR:
$27(a^2+b^2+c^2+abc)\geq 208$

Cho x,y là số thực dương. CMR:
$\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}\geq \frac{1}{1+xy}$

Cho a,b,c dương có: a+b+c=1. CMR;
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq 4(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b})+5$

Giải các HPT sau:
1. $\left\{\begin{matrix}
\sqrt{x}+\sqrt{y}=9\\
\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}=5
\end{matrix}\right.$

2. $\left\{\begin{matrix}
\sqrt{x-1}-y(1-2\sqrt{x-1})=5\\
y^2+y\sqrt{x-1}+x=8
\end{matrix}\right.$