Tìm kiếm
Nam
Cho a,b,c dương. CMR:
$\sqrt{a^2+ab+b^2}+\sqrt{b^2+bc+c^2}+\sqrt{c^2+ca+a^2}> \frac{2ab}{a+b}+\frac{2bc}{b+c}+\frac{2ca}{c+a}$
mango
#371879 CMR: $\sqrt{a^2+ab+b^2}+\sqrt{b^2+bc+c^2}+...
Gửi bởi
trong 23-11-2012 - 20:28
#371135 CMR: $\sqrt{x^2+(y+1)^2}+\sqrt{(x+1)^2+y^2...
Gửi bởi
trong 20-11-2012 - 22:18
Áp dụng BĐT $Minkowski$,ta có:
$\sqrt{x^2+(y+1)^2}+\sqrt{(x+1)^2+y^2}\geq \sqrt{(x+y)^2+(x+y+2)^2}= \sqrt{2(x^2+y^2)+4xy+4x+4y+4}$
Vậy ta chỉ cần chứng minh $4xy+4x+4y+4\geq 0$
$\Leftrightarrow 4(x+1)(y+1)\geq 0$
Nhưng BĐT này lại luôn đúng do $\Leftrightarrow x;y\in \left [ -1;0 \right ]$
Vậy bài toán được chứng minh.Dấu $"="$ xảy ra khi $x=y=-1$
bạn thiếu TH dấu bằng xảy ra
x=0,y=-1
hoặc x=-1; y=0
- Math Is Love yêu thích
#371028 CMR: $a+b+\frac{(a-1)(b-1)}{ab+1}\geq 1+...
Gửi bởi
trong 20-11-2012 - 20:10
Cho a,b thuộc [0;1]. CMR:
$a+b+\frac{(a-1)(b-1)}{ab+1}\geq 1+\frac{a^2b+ab^2}{2(ab+1)}$
(thpt YD2)
$a+b+\frac{(a-1)(b-1)}{ab+1}\geq 1+\frac{a^2b+ab^2}{2(ab+1)}$
(thpt YD2)
- WhjteShadow yêu thích
#370914 CMR: $\sqrt{x^2+(y+1)^2}+\sqrt{(x+1)^2+y^2...
Gửi bởi
trong 20-11-2012 - 13:26
Cho 2 số x,y đều thuộc [-1;0]. CMR:
$\sqrt{x^2+(y+1)^2}+\sqrt{(x+1)^2+y^2}\geq \sqrt{2(x^2+y^2)}$
(THPT YD2 )
$\sqrt{x^2+(y+1)^2}+\sqrt{(x+1)^2+y^2}\geq \sqrt{2(x^2+y^2)}$
(THPT YD2 )
- hxthanh yêu thích
#370613 $\frac{ab}{1+c^2}+\frac{bc}...
Gửi bởi
trong 19-11-2012 - 11:48
Cho a,b,c dương thoả mãn a+b+c=3.
CM: $\frac{ab}{1+c^2}+\frac{bc}{1+a^2}+\frac{ac}{1+b^2}\geq \frac{3}{2}$
Bất đẳng thức trên sai;
khi a=2,9 ; b=0,09; c=0,01
VT = 0,2898 < VP
hay a=2,5 ; b=c=0,25 cũng sai
ko biết mình có ấn máy nhầm ko
- quoctruong1202 và WhjteShadow thích
#369270 Cho $xyz(x+y+z)=1$. CMR: $(x+y)(x+z)\geq 2$
Gửi bởi
trong 13-11-2012 - 21:15
#369150 $(b+c+d-a)(a+c+d-b)(a+b+d-c)(a+b+c-d)=16$. CMR: $ab+cd\ge...
Gửi bởi
trong 13-11-2012 - 11:27
Cho a,b,c,d là độ dài 4 cạnh của 1 tứ giác nội tiếp; thỏa mãn:
$(b+c+d-a)(a+c+d-b)(a+b+d-c)(a+b+c-d)=16$.
CMR:
$ab+cd\geq 2$
$(b+c+d-a)(a+c+d-b)(a+b+d-c)(a+b+c-d)=16$.
CMR:
$ab+cd\geq 2$
- WhjteShadow và tramyvodoi thích
#368834 Cho a,b,c thuộc [0;1]. CMR: $\sqrt{a^2+c^2+ac-2c-a+1}+...
Gửi bởi
trong 11-11-2012 - 21:00
Cho a,b,c thuộc [0;1]. CMR:
$\sqrt{a^2+c^2+ac-2c-a+1}+\sqrt{b^2+a^2+ab-2a-b+1}+\sqrt{c^2+b^2+bc-2b-c+1}\leq 3$
$\sqrt{a^2+c^2+ac-2c-a+1}+\sqrt{b^2+a^2+ab-2a-b+1}+\sqrt{c^2+b^2+bc-2b-c+1}\leq 3$
- ducthinh26032011, BoBoiBoy và tramyvodoi thích
#368159 Cho a,b không âm, a + b = 1. Tìm min của A; $A= \sqrt{a+2...
Gửi bởi
trong 09-11-2012 - 18:36
#331206 $\frac{2b+3c+16}{1+6a}+\frac{6a+3c+16}{1+2b}+\frac{2b+6a+...
Gửi bởi
trong 02-07-2012 - 16:40
Cho a,b,c>0 thỏa: 6a+2b+3c=11. CMR
$\frac{2b+3c+16}{1+6a}+\frac{6a+3c+16}{1+2b}+\frac{2b+6a+16}{1+3c}\geq 15$
(câu V-chuyên Bắc Giang 2013)
$\frac{2b+3c+16}{1+6a}+\frac{6a+3c+16}{1+2b}+\frac{2b+6a+16}{1+3c}\geq 15$
(câu V-chuyên Bắc Giang 2013)
- C a c t u s yêu thích
#324614 $\left\{\begin{matrix} x^2+xy+y^2=3 & \\ y^...
Gửi bởi
trong 13-06-2012 - 05:58
Cho x,y dương thỏa: $\left\{\begin{matrix} x^2+xy+y^2=3 & \\ y^2+yz+z^2=16& \end{matrix}\right.$.
Tìm max của P=$xy+yz+zx$
Tìm max của P=$xy+yz+zx$
- cool hunter, nthoangcute, WhjteShadow và 2 người khác yêu thích
#324380 Đề thi vào lớp 10, môn Toán
Gửi bởi
trong 12-06-2012 - 12:57
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN BẮC GIANG
Năm 2010-2011 ; Thời gian 150 phút
Câu 1: (4,0 điểm): Cho biểu thức:
$T = \frac{2x-\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}} + \frac{x\sqrt{x}-1}{x-\sqrt{x}} - \frac{x\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}}$
1. Rút gọn T.
2. Tìm tất cả các giá trị của x nguyên để T nguyên.
Câu 2: (4,0 điểm) Gọi $x_{1}, x_{2}$ là các nghiệm nguyên của phương trình bậc hai $x^{2} - 5x + 2 = 0$
1. Tính giá trị của biểu thức $H = \left|3x_{1}-x_{2} \right| + \left|3x_{2}-x_{1} \right|$
2. Cho $S = \left(5-2\sqrt{17} \right)^{2010} + \left(5+2\sqrt{17} \right)^{2010}$. Chứng minh rằng S là số nguyên.
Câu 3: (2,0 điểm) Xác định tất cả các giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm:
\begin{cases} & \sqrt{(x+1)^{2}+y^{2}} + \sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}}= 2 \\ & 3\sqrt{1-y^{2}}+ 2 \left|x \right|= 4-m\end{cases}
Câu 4: (5,0 điểm) Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R, (R là một độ dài cho trước). Hai điểm M, N chạy trên nửa đường tròn (O) sao cho M thuộc cung AN và độ dài dây MN bằng R.
1. Tính tổng các khoảng cách d từ hai điểm A, B đến đường thẳng (MN).
2. Gọi E là giao điểm của dây AN và BM. Tính bán kính của đường tròn ($O_{1}$) ngoại tiếp tam giác EMN theo R.
3. Đường thẳng (AM) cắt đường tròn ($O_{1}$) tại điểm thứ hai k, ($K \neq M$). Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác KAB khi M, N thay đổi trên nửa đường tròn (O) nhưng vẫn thỏa mãn giả thiết của bài toán.
Câu 5: (2,0 điểm) Cho $f(x) = x^{2} +bx +c$. Chứng minh rằng nếu $f(x)> 0$với $x \epsilon R$ thì f(x) có thể phân tích thành tổng các bình phương của 2 nhị thức bậc nhất (tức là chứng minh tồn tại các số thực:$m_{1}, m_{2}, n_{1}, n_{2} với m_{1} \neq 0, m_{2}\neq 0$ sao cho $f(x) = (m_{1}x+n_{1})^{2} + (m_{2}x+n_{2})^{2})$.
Câu 6: (3,0 điểm). Biết rằng với hai số thực không âm a, b bất kì ta luôn có $a+b\geq 2\sqrt{ab}$, dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b. Chứng minh rằng:
1. Với 3 số thực không âm a, b, c bất kì ta luôn có:
$a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}$,
dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
2. Với 3 số thực dương x, y, z bất kì ra luôn có:
$\frac{1}{x+y+z+1} - \frac{1}{(x+1)(y+1)(z+1)} \leq \frac{1}{8}$
khi nào xảy ra dấu đẳng thức?
Năm 2010-2011 ; Thời gian 150 phút
Câu 1: (4,0 điểm): Cho biểu thức:
$T = \frac{2x-\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}} + \frac{x\sqrt{x}-1}{x-\sqrt{x}} - \frac{x\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}}$
1. Rút gọn T.
2. Tìm tất cả các giá trị của x nguyên để T nguyên.
Câu 2: (4,0 điểm) Gọi $x_{1}, x_{2}$ là các nghiệm nguyên của phương trình bậc hai $x^{2} - 5x + 2 = 0$
1. Tính giá trị của biểu thức $H = \left|3x_{1}-x_{2} \right| + \left|3x_{2}-x_{1} \right|$
2. Cho $S = \left(5-2\sqrt{17} \right)^{2010} + \left(5+2\sqrt{17} \right)^{2010}$. Chứng minh rằng S là số nguyên.
Câu 3: (2,0 điểm) Xác định tất cả các giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm:
\begin{cases} & \sqrt{(x+1)^{2}+y^{2}} + \sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}}= 2 \\ & 3\sqrt{1-y^{2}}+ 2 \left|x \right|= 4-m\end{cases}
Câu 4: (5,0 điểm) Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R, (R là một độ dài cho trước). Hai điểm M, N chạy trên nửa đường tròn (O) sao cho M thuộc cung AN và độ dài dây MN bằng R.
1. Tính tổng các khoảng cách d từ hai điểm A, B đến đường thẳng (MN).
2. Gọi E là giao điểm của dây AN và BM. Tính bán kính của đường tròn ($O_{1}$) ngoại tiếp tam giác EMN theo R.
3. Đường thẳng (AM) cắt đường tròn ($O_{1}$) tại điểm thứ hai k, ($K \neq M$). Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác KAB khi M, N thay đổi trên nửa đường tròn (O) nhưng vẫn thỏa mãn giả thiết của bài toán.
Câu 5: (2,0 điểm) Cho $f(x) = x^{2} +bx +c$. Chứng minh rằng nếu $f(x)> 0$với $x \epsilon R$ thì f(x) có thể phân tích thành tổng các bình phương của 2 nhị thức bậc nhất (tức là chứng minh tồn tại các số thực:$m_{1}, m_{2}, n_{1}, n_{2} với m_{1} \neq 0, m_{2}\neq 0$ sao cho $f(x) = (m_{1}x+n_{1})^{2} + (m_{2}x+n_{2})^{2})$.
Câu 6: (3,0 điểm). Biết rằng với hai số thực không âm a, b bất kì ta luôn có $a+b\geq 2\sqrt{ab}$, dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b. Chứng minh rằng:
1. Với 3 số thực không âm a, b, c bất kì ta luôn có:
$a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}$,
dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
2. Với 3 số thực dương x, y, z bất kì ra luôn có:
$\frac{1}{x+y+z+1} - \frac{1}{(x+1)(y+1)(z+1)} \leq \frac{1}{8}$
khi nào xảy ra dấu đẳng thức?
- perfectstrong, vuhoangminh97, MIM và 4 người khác yêu thích
#322682 Giải PT: $\sqrt{4x-1}+\sqrt{4x^2-1}=1$
Gửi bởi
trong 05-06-2012 - 17:33
Giải PT: $\sqrt{4x-1}+\sqrt{4x^2-1}=1$
- cool hunter yêu thích
#321728 Giải Hệ PT: $\left\{\begin{matrix} 2a^2+b^2-a-b=1 &...
Gửi bởi
trong 02-06-2012 - 12:09
Giải Hệ PT:
$\left\{\begin{matrix} 2a^2+b^2-a-b=1 & \\ 3a^2+b^2=4 & \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 2a^2+b^2-a-b=1 & \\ 3a^2+b^2=4 & \end{matrix}\right.$
- hamdvk yêu thích
#318717 \[\sum {\frac{{ab}}{{a + 2{a^2} + {a^3} + 2{b^4} + 2{c^8} + 10...
Gửi bởi
trong 23-05-2012 - 13:32
Cho a,b,c >0. CMR:
$\frac{ab}{a+2a^2+a^3+2b^4+2c^8+10}+\frac{bc}{b+2b^2+b^3+2c^4+2a^8+10}+\frac{ca}{c+2c^2+c^3+2a^4+2b^8+10}< \frac{1}{4}$
$\frac{ab}{a+2a^2+a^3+2b^4+2c^8+10}+\frac{bc}{b+2b^2+b^3+2c^4+2a^8+10}+\frac{ca}{c+2c^2+c^3+2a^4+2b^8+10}< \frac{1}{4}$
- cool hunter và Dung Dang Do thích
