mango

Cho x,y,z>0 thỏa: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=15$
CMR: $\frac{1}{2x+7y+6z}+\frac{1}{9x+5y+z}+\frac{1}{4x+3y+8z}\leq 1$

Cho 3 số a,b,c>0 thỏa: $\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}=\sqrt{2011}$.
CMR:
$\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{b+a}\geq \frac{1}{2}\sqrt{\frac{2011}{2}}$

Tìm các giá trị a,b để PT : $\frac{x^2-2ax+b}{bx^2-2ax+1}=m$ có 2 nghiệm phân biệt với mọi tham số m.

$(x-1)y^2+x+y=3 $
=> $(x-1)(y^2+1)=2-y$ (1)

và $(y-2)x^2+y = x+1$
=> $(y-2)(x^2+1)=x-1$ (2)
Từ (1)(2) nhận xét
+ nếu x-1> 0 => (2-y)>0
=> y-2 < 0
=> x-1 <0 ( vô lí)
+ nếu x-1 <0 tương tự (vô lí)

=> x=1 , y=2
------------------

HỌC GÕ $\LaTeX$ BẠN NHÉ!

BÀi BĐT

Có $a^2+1=a^2+\frac{1}{9}+\frac{8}{9}\geq 2.\sqrt{a^2.\frac{1}{9}}+\frac{8}{9} = \frac{6a+8}{9}$
nên $\frac{a}{a^2+1}\leq \frac{9a}{6a+8}= \frac{3}{2}-\frac{6}{3a+4}$
tương tự $\frac{b}{b^2+1}\leq \frac{3}{2}-\frac{6}{3b+4}$ ;
$\frac{c}{c^2+1}\leq \frac{3}{2}-\frac{6}{3c+4}$
Cộng vế 3 BĐT trên được
$\frac{a}{a^2+1}+\frac{b}{b^2+1}+\frac{c}{c^2+1}\leq \frac{9}{2}-6.(\frac{1}{3a+4}+\frac{1}{3b+4}+\frac{1}{3c+4})$
Lại có $(3(a+b+c)+12)(\frac{1}{3a+4}+\frac{1}{3b+4}+\frac{1}{3c+4})\geq 9$
Suy ra
$(\frac{1}{3a+4}+\frac{1}{3b+4}+\frac{1}{3c+4})\geq \frac{3}{5}$
nên $\frac{a}{a^2+1}+\frac{b}{b^2+1}+\frac{c}{c^2+1}\leq \frac{9}{2}-\frac{6.3}{5} =\frac{9}{10}$
=> đpcm

Cho x,y,z >0 thỏa mãn x+y+z =3. CMR:
$\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}+\frac{y}{y+\sqrt{3y+xz}}+\frac{z}{z+\sqrt{3z+xy}} \leq 1$

Với a,b,c>0 CMR:

$\frac{1}{2a+3b+c}+\frac{1}{4a+b+5c}+\frac{1}{2a+b+3c} > \frac{1}{2a+2b+2c} + \frac{1}{3a+b+4c}+ \frac{1}{3a+2b+3c}$

bài này hay hay

Cho $\Delta ABC$ có AB<AC . Đường cao BE, CF ,trực tâm H. trung tuyến AM. Có EF cắt BC tại K . CMR : $KH\perp AM$

Cho $x,y \geq 0$.
$x^{2} + y^{3} \geq x^{3} + y^{4}$

CMR
$x^{3} + y^{3} \leqslant 2$