hungnp

Cm không tồn tại các số a,b,c thỏa

$$\left\{\begin{matrix} \left | a \right |< \left | b-c \right |& & & \\ \left | b \right |< \left | c-a \right |& & & \\ \left | c \right |< \left | a-b \right |& & & \end{matrix}\right.$$

Giả sử có ba số $a, b, c$ như vậy. Dễ thấy chúng phải khác nhau đôi một vì ta có $ \left | a-b \right |>\left |  c\right |\geq 0$ nên $a \neq b$. Tương tự cho các cặp số còn lại.

Không mất tính tổng quát ta có thể sắp thứ tự như sau: $a<b<c$.

Xét $a=0$ thì từ giả thiết ta có: $\left\{\begin{matrix} |b|<|c|\\ |c|<|-b|=|b|\end{matrix}\right.$ (vô lý)

Tương tự như vậy ta có $b\neq 0$ và $ c\neq 0$.

Xét $0<a<b<c$, bỏ dấu GTTĐ trong hệ ban đầu ta được: $$\left\{\begin{matrix} a<c-b\\ b<c-a\\ c<b-a \end{matrix}\right.$$

Từ đó suy ra $c-b<-a<a<c-b$ (vô lý)

Xét $a<0<b<c$, bỏ dấu GTTĐ trong hệ ban đầu ta được: $$\left\{\begin{matrix} -a<c-b\\ b<c-a\\ c<-a+b \end{matrix}\right.$$

Suy ra $-a+b<c<-a+b$ (vô lý)

Các trường hợp $a<b<0<c$ và $a<b<c<0$ ta làm tương tự.

Vậy không tồn tại ba số như trên.

giả sử tồn tại a,b,c thỏa mãn

$\left\{\begin{matrix} \left | a \right |< \left | b-c \right |& & & \\ \left | b \right |< \left | c-a \right |& & & \\ \left | c \right |< \left | a-b \right |& & & \end{matrix}\right. \Rightarrow \left | a-b \right |\leq \left | a \right |-\left | b \right |< \left | b-c \right |-\left | c-a \right |$

làm tương tự cộng vế ta có$\sum \left | a-b \right |< 0$(vô li) nên điều giả sử sai

Làm gì có BĐT như thế này: $\left | a-b \right |\leq \left | a \right |-\left | b \right |$.

Giải phương trình $2x+\frac{x-1}{x}=\sqrt{1-\frac{1}{x}}+3\sqrt{x-\frac{1}{x}}$

TXĐ của phương trình: $D=[-1;0) \cup [1;+\infty)$.

Nhận xét:

Phương trình này nếu dùng máy tính khảo sát thì thấy có hai nghiệm: $x_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=1,618033989$ và $x_2=-0.069247017$.

Bài làm của bạn PTKBLYT9C1213 không chặt chẽ như tôi đã nói ở trên và chỉ ra được một nghiệm $x_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.

Một ý tưởng của tôi:

Phương trình đề cho viết lại như sau:

$$2(x+1)-2+\left(1-\frac{1}{x}\right)-\sqrt{1-\frac{1}{x}}-3\sqrt{(x+1)\left(1-\frac{1}{x}\right)}=0$$

Đặt hai ẩn phụ: $u=\sqrt{1-\frac{1}{x}}$ và  $v=\sqrt{x+1}$

Phương trình đề cho trở thành:

$$2v^2-3u.v+(u^2-u-2)=0$$

Biệt thức: $\Delta =9u^2-8(u^2-u-2)=(u+4)^2$ là số chính phương.

Do đó ta suy ra: $\left[ \begin{array}{} v=u+1\\ v=\frac{1}{2}u-1\end{array}\right.$

Trường hợp 1: $v=u+1$ ta có phương trình:

$\sqrt{x+1}=\sqrt{1-\frac{1}{x}}+1$

$\Rightarrow 2\sqrt{1-\frac{1}{x}}=x+\frac{1}{x}-1$

$\Rightarrow 4\left(1-\frac{1}{x}\right)=x^2+\frac{1}{x^2}+3-2x-\frac{2}{x}$

$\Rightarrow \left(x-\frac{1}{x}\right)^2-2\left(x-\frac{1}{x}\right)+1=0$

$\Rightarrow x-\frac{1}{x}=1$

$\Rightarrow x=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$

Thử lại thấy $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ thoả phương trình đề cho.

Trường hợp 2: $u=2v+2$ ta có phương trình:

$\sqrt{1-\frac{1}{x}}=2\sqrt{x+1}+2$

$\Rightarrow 1-\frac{1}{x}=4x+8\sqrt{x+1}+8$

$\Rightarrow 8\sqrt{x+1}=-7-\frac{1}{x}-4x$

$\Rightarrow 16x^2+\frac{1}{x^2}-8x+\frac{14}{x}-7=0$

$\Rightarrow 16x^4-8x^3-7x^2+14x+1=0$

Tôi không giải quyết được phương trình bậc bốn này, các cao thủ hãy thảo luận thêm.

Giải các phương trình sau:

$\sqrt{3x-2}+\sqrt{x-1}=4x-9+2.\sqrt{3x^{2}-5x+2}$

Tóm tắt hướng giẳi:

Đặt $t=\sqrt{3x-2}+\sqrt{x-1}$ thì $4x+2.\sqrt{3x^{2}-5x+2}=t^2+3$

Thế vào phương trình ta được: $t^2-t-6=0$

Giải ra $t$ rồi ra $x$.

Hình như cách này hơi lạ:

Hệ pt $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\log _2(4-2^x)=\sqrt{2-y^2} & & \\ \log_2(4-2^y)=\sqrt{2-x^2} & & \end{matrix}\right.$

Thay lại vào hệ ta được: $\left\{\begin{matrix}2^x+2^{\log_2(4-2^x)}=4 & & \\ 2^y+2^{\log_2(4-2^y)}=4 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2^x+2^{2-x}=4 & & \\ 2^y+2^{2-y}=4 & & \end{matrix}\right.$ $ \Leftrightarrow 2^x=2^y=2\Leftrightarrow x=y=1$ (thỏa điều kiện)

Vậy (1;1) là nghiệm duy nhất của hệ.

 

P/s: cách này sai ở đâu ?

Sai ở bước này: $$\left\{\begin{matrix}2^x+2^{\log_2(4-2^x)}=4 & & \\ 2^y+2^{\log_2(4-2^y)}=4 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2^x+2^{2-x}=4 & & \\ 2^y+2^{2-y}=4 & & \end{matrix}\right.$$

Vì $2^{\log_2(4-2^x)}=4-2^x$ chứ không bằng $2^{2-x}$.