Tìm các số nguyên dương $a$, $b$ sao cho $a^2+b^2+ab$ là số chính phương?
- mnguyen99 yêu thích
Gửi bởi hungnp trong 06-09-2013 - 22:37
Giải phương trình $2x+\frac{x-1}{x}=\sqrt{1-\frac{1}{x}}+3\sqrt{x-\frac{1}{x}}$
TXĐ của phương trình: $D=[-1;0) \cup [1;+\infty)$.
Nhận xét:
Phương trình này nếu dùng máy tính khảo sát thì thấy có hai nghiệm: $x_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=1,618033989$ và $x_2=-0.069247017$.
Bài làm của bạn PTKBLYT9C1213 không chặt chẽ như tôi đã nói ở trên và chỉ ra được một nghiệm $x_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.
Một ý tưởng của tôi:
Phương trình đề cho viết lại như sau:
$$2(x+1)-2+\left(1-\frac{1}{x}\right)-\sqrt{1-\frac{1}{x}}-3\sqrt{(x+1)\left(1-\frac{1}{x}\right)}=0$$
Đặt hai ẩn phụ: $u=\sqrt{1-\frac{1}{x}}$ và $v=\sqrt{x+1}$
Phương trình đề cho trở thành:
$$2v^2-3u.v+(u^2-u-2)=0$$
Biệt thức: $\Delta =9u^2-8(u^2-u-2)=(u+4)^2$ là số chính phương.
Do đó ta suy ra: $\left[ \begin{array}{} v=u+1\\ v=\frac{1}{2}u-1\end{array}\right.$
Trường hợp 1: $v=u+1$ ta có phương trình:
$\sqrt{x+1}=\sqrt{1-\frac{1}{x}}+1$
$\Rightarrow 2\sqrt{1-\frac{1}{x}}=x+\frac{1}{x}-1$
$\Rightarrow 4\left(1-\frac{1}{x}\right)=x^2+\frac{1}{x^2}+3-2x-\frac{2}{x}$
$\Rightarrow \left(x-\frac{1}{x}\right)^2-2\left(x-\frac{1}{x}\right)+1=0$
$\Rightarrow x-\frac{1}{x}=1$
$\Rightarrow x=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$
Thử lại thấy $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ thoả phương trình đề cho.
Trường hợp 2: $u=2v+2$ ta có phương trình:
$\sqrt{1-\frac{1}{x}}=2\sqrt{x+1}+2$
$\Rightarrow 1-\frac{1}{x}=4x+8\sqrt{x+1}+8$
$\Rightarrow 8\sqrt{x+1}=-7-\frac{1}{x}-4x$
$\Rightarrow 16x^2+\frac{1}{x^2}-8x+\frac{14}{x}-7=0$
$\Rightarrow 16x^4-8x^3-7x^2+14x+1=0$
Tôi không giải quyết được phương trình bậc bốn này, các cao thủ hãy thảo luận thêm.
Gửi bởi hungnp trong 06-09-2013 - 19:34
Giải các phương trình sau:
$\sqrt{3x-2}+\sqrt{x-1}=4x-9+2.\sqrt{3x^{2}-5x+2}$
Tóm tắt hướng giẳi:
Đặt $t=\sqrt{3x-2}+\sqrt{x-1}$ thì $4x+2.\sqrt{3x^{2}-5x+2}=t^2+3$
Thế vào phương trình ta được: $t^2-t-6=0$
Giải ra $t$ rồi ra $x$.
Gửi bởi hungnp trong 06-09-2013 - 19:20
Hình như cách này hơi lạ:
Hệ pt $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\log _2(4-2^x)=\sqrt{2-y^2} & & \\ \log_2(4-2^y)=\sqrt{2-x^2} & & \end{matrix}\right.$
Thay lại vào hệ ta được: $\left\{\begin{matrix}2^x+2^{\log_2(4-2^x)}=4 & & \\ 2^y+2^{\log_2(4-2^y)}=4 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2^x+2^{2-x}=4 & & \\ 2^y+2^{2-y}=4 & & \end{matrix}\right.$ $ \Leftrightarrow 2^x=2^y=2\Leftrightarrow x=y=1$ (thỏa điều kiện)
Vậy (1;1) là nghiệm duy nhất của hệ.
P/s: cách này sai ở đâu ?
Sai ở bước này: $$\left\{\begin{matrix}2^x+2^{\log_2(4-2^x)}=4 & & \\ 2^y+2^{\log_2(4-2^y)}=4 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2^x+2^{2-x}=4 & & \\ 2^y+2^{2-y}=4 & & \end{matrix}\right.$$
Vì $2^{\log_2(4-2^x)}=4-2^x$ chứ không bằng $2^{2-x}$.
Gửi bởi hungnp trong 03-09-2013 - 17:33
Mặc dù bạn river... đã hướng dẫn cách làm ở trên nhưng tôi cũng trình bày chi tiết lời giải vì tôi thấy đề bài này khá hay.
ĐK: $x\geq 0$. Từ pt(1) ta suy ra $x=0$ không là nghiệm của hệ phương trình vậy nên $x$ phải dương. Từ pt(2) suy ra:
$$y=\frac{x+\sqrt{x^2+1}}{x^2\left(2+2\sqrt{4y^2+1}\right)}$$
nên $y$ cũng phải dương.
Chia 2 vế của pt(2) cho $x^2$ ta được:
$$2y\left(1+\sqrt{1+(2y)^2}\right)=\frac{1}{x}\left(1+\sqrt{1+\left(\frac{1}{x}\right)^2}\right)$$
$$\Leftrightarrow f(2y)=f(\frac{1}{x})$$
với $f(t)=t\left(1+\sqrt{1+t^2}\right)$ và $t>0$
Đạo hàm: $ f'(t)=1+\sqrt{1+t^2}+\frac{t^2}{\sqrt{1+t^2}}>0$ với mọi $t>0$. Hàm số $f(t)$ đồng biến trên khoảng $(0;+\infty)$. Do đó ta có $2y=\frac{1}{x}$ hay $y=\frac{1}{2x}$
Pt(1) trở thành: $(x^2+1)(x+2\sqrt{x})=6$ (3)
Nhẩm thấy $x=1$ là nghiệm của pt(3). Việc chứng minh đây là nghiệm duy nhất thì không khó.
Vậy hệ pt đề cho có một nghiệm là $\left(1;\frac{1}{2}\right)$.
Gửi bởi hungnp trong 02-09-2013 - 17:09
Gửi bởi hungnp trong 02-09-2013 - 14:09
Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix}\sqrt{x+1}+\sqrt{y-1}=4\\ \sqrt{x+6}+\sqrt{y+4}=6 \end{matrix}\right.$
Mình đề nghị một cách giải nữa!
ĐK: $x\geq -1$ và $y\geq 1$
Hệ phương trình đề cho tương đương: $\left\{\begin{matrix}\sqrt{x+6}+\sqrt{x+1}+\sqrt{y+4}+\sqrt{y-1}=10\\ \sqrt{x+6}-\sqrt{x+1}+\sqrt{y+4}-\sqrt{y-1}=2 \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\sqrt{x+6}+\sqrt{x+1}+\sqrt{y+4}+\sqrt{y-1}=10\\ \frac{5}{\sqrt{x+6}+\sqrt{x+1}}+\frac{5}{\sqrt{y+4}+\sqrt{y-1}}=2\end{matrix}\right.$
Đặt $u=\sqrt{x+6}+\sqrt{x+1}$ và $v=\sqrt{y+4}+\sqrt{y-1}$ thì ta được: $\left\{\begin{matrix}u+v=10\\ \frac{5}{u}+\frac{5}{v}=2 \end{matrix}\right.$
Giải hệ ta được $u=v=5$
Giải ra được $x=3$ và $y=5$
Gửi bởi hungnp trong 02-09-2013 - 11:58
Câu 1 (2,0 điểm). Tìm GTLN, GTNN của:
$$A = sin^3x+cos^3x-sinxcosx+sinx+cosx$$
Ta có $ f(x)=\left(\sin x+\cos x\right)\left(1-\sin x\cos x\right)-\sin x\cos x+(\sin x+\cos x)$
Đặt ẩn phụ $t=\sin x+\cos x$ thì ta có $-\sqrt{2}\leq t\leq \sqrt{2}$ và $\sin x\cos x=\frac{t^2-1}{2}$
Hàm số trở thành: $g(t)=t\left(1-\frac{t^2-1}{2}\right)-\frac{t^2-1}{2}+t=-\frac{1}{2}t^3-\frac{1}{2}t^2+\frac{5}{2}t+\frac{1}{2}$
Đạo hàm: $g'(t)=-\frac{3}{2}t^2-t+\frac{5}{2}$
$g'(t)=0\Leftrightarrow -\frac{3}{2}t^2-t+\frac{5}{2}=0\Leftrightarrow t=1$ hoặc $t=-\frac{5}{3}\notin [-\sqrt{2};\sqrt{2}]$
Ta có:
$g(\sqrt{2})=\frac{-1+3\sqrt{2}}{2}$
$g(-\sqrt{2})=-\frac{1+3\sqrt{2}}{2}$
$g(1)=2$
Vậy:
$\max_{\mathbb{R}}f(x)=\max_{[-\sqrt{2};\sqrt{2}]}g(t)=2$
$\min_{\mathbb{R}}f(x)=\min_{[-\sqrt{2};\sqrt{2}]}g(t)=-\frac{1+3\sqrt{2}}{2}$
Gửi bởi hungnp trong 31-08-2013 - 17:19
Gửi bởi hungnp trong 20-08-2013 - 22:28
Giải phương trình $8x(x+\sqrt{x^{2}-3x+2})-1=12x+7(\sqrt{x-1}+\sqrt{x-2})$
Dễ thấy ĐK là $x\geq 2$.
Đặt $t=\sqrt{x-1}+\sqrt{x-2}$. Vì đạo hàm $t'=\frac{1}{2\sqrt{x-1}}+\frac{1}{2\sqrt{x-2}}>0$ với mọi$x>2$ nên $t$ là hàm số đồng biến trên $[2;+\infty)$. Vậy $t\geq 1$
Ta có $t^2=2x-3+2\sqrt{x^2-3x+2}\Rightarrow x+\sqrt{x^2-3x+2}=\frac{t^2+3}{2}$
Phương trình đề cho trở thành:
$$ 4x(t^2+3)-1=12x+7t\Leftrightarrow 4xt^2-7t-1=0\Leftrightarrow x=\frac{7t+1}{4t^2}=f(t)$$
Đạo hàm của $f(t)$ là: $f'(t)=\frac{-28t^2-8t}{16t^4}=\frac{-7t-2}{4t^3}<0$ với mọi $t\geq 1$. Do đó $\text{VP}=f(t)\leq f(1)=2$
Mà $\text{VT}=x\geq 2$
Vậy phương trình chỉ thoả khi $\text{VT}=\text{VP}=2\Leftrightarrow x=2$
Gửi bởi hungnp trong 20-08-2013 - 14:00
Tìm $m$ để phương trình sau có nghiệm thực :
$\sqrt{1-x}+\sqrt{4+x}+\sqrt{x^{2}+3x+\frac{9}{4}}=m$
NHẬN XÉT: $(1-x)(4+x)=-x^2-3x+4$
ĐK: $\left\{\begin{matrix} 1-x\geq 0\\ 4+x\geq 0\\ x^2+3x+\frac{9}{4}\geq 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow -4\leq x\leq -\frac{3}{2}$
Đặt $t=\sqrt{1-x}+\sqrt{4+x}\Rightarrow \frac{t^2-5}{2}=\sqrt{-x^2-3x+4}$
$\Rightarrow \sqrt{x^2+3x+\frac{9}{4}}=\sqrt{\frac{25}{4}-\frac{t^4-10t^2+25}{4}}=t\sqrt{10-t^2}$
Xem $t$ là hàm theo $x$, ta tìm miền giá trị của $t$ khi $x\in [-4;-\frac{3}{2}]$
Đạo hàm: $t'=\frac{1}{2\sqrt{4+x}}-\frac{1}{2\sqrt{1-x}}$
$t'=0\Leftrightarrow \sqrt{4+x}=\sqrt{1-x}\Leftrightarrow x=-\frac{3}{2}$
Vẽ BBT của $t$ ta suy ra $t\in [\sqrt{5};\sqrt{10}]$
PT đề cho trở thành: $t+t\sqrt{10-t^2}=m$
Đặt $f(t)=t+t\sqrt{10-t^2}$ với $t\in [\sqrt{5};\sqrt{10}]$
Đạo hàm: $f'(t)=1+\sqrt{10-t^2}-\frac{t^2}{\sqrt{10-t^2}}=\frac{\sqrt{10-t^2}+10-2t^2}{\sqrt{10-t^2}}$
Giải phương trình: $f'(t)=0\Leftrightarrow \sqrt{10-t^2}=2t^2-10\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
2t^2-10\geq 0\\
10-t^2=(2t^2-10)^2
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
t^2\geq 5\\
4t^4-39t^2+90=0
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow t^2=6\Leftrightarrow t=\sqrt{6} $
BBT của $f(t)$
$$\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline t & \; & \sqrt{5} & \; & \sqrt{6} & \; & \sqrt{10} &\; \\ \hline f'(t) \; & & & + & 0 & - & & \\ \hline & \; & \; & \; & 3\sqrt{6} & \; & \; & \; \\ f(t) & \; & \; & \nearrow & \; & \searrow & \; & \\ & \; & 5+\sqrt{5} & \; & \; & \; & \sqrt{10} & \\ \hline \end{array}$$
Vậy pt có nghiệm khi: $\sqrt{10}\leq m\leq 3\sqrt{6}$
Gửi bởi hungnp trong 19-08-2013 - 23:59
Giải phương trình: $$1+\frac{2}{3}\sqrt{x-x^2}=\sqrt{x}+\sqrt{1-x}$$
ĐK: $0\leq x\leq 1$
Đặt $t=\sqrt{x}+\sqrt{1-x}$, ĐK: $t\geq 0$. Khi đó $\sqrt{x-x^2}=\frac{t^2-1}{2}$
PT trở thành:
$$1+\frac{1}{3}(t^2-1)=t\Leftrightarrow t^2-3t+2=0\Leftrightarrow \left [ \begin{matrix} t=1\\ t=2 \end{matrix}\right. $$
Với $t=1$ ta có $\sqrt{x-x^2}=0\Leftrightarrow \left [ \begin{matrix} x=0\\ x=1 \end{matrix}\right.$
Với $t=2$ ta có $\sqrt{x-x^2}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow -x^2+x-\frac{9}{4}=0$ (vô nghiệm)
Gửi bởi hungnp trong 19-08-2013 - 23:09
MỞ RỘNG: Tìm giá trị của tham số $m$ để phương trình sau đây có nghiệm thưc?
$$3\left(\sqrt{2x+1}+\sqrt{x}-2x+m\right)-4\sqrt{2x^2+x}=0$$
ĐÁP SỐ: $m\geqslant 1$
Gửi bởi hungnp trong 19-08-2013 - 17:03
Phương trình đề cho viết lại như sau:
$$ 3\left(\sqrt{2x+1}+\sqrt{x}\right)-2\left(3x+2\sqrt{2x^2+x}\right)+33=0$$
Đặt $ t=\sqrt{2x+1}+\sqrt{x}$, ĐK: $t\geqslant 0$. Khi đó ta có $3x+2\sqrt{2x^2+x}=t^2-1$.
Phương trình đề cho trở thành:
$3t -2(t^2-1)+33=0\Leftrightarrow 2t^2-3t-35=0\Leftrightarrow t=5$ hoặc $t=-\frac{7}{2}$
Loại $t=-\frac{7}{2}$
Với $t=5$ thì ta có:
$ \sqrt{2x+1}+\sqrt{x}=5$
$\Leftrightarrow 2\sqrt{2x^2+x}=24-3x$
$\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} 24-3x\geqslant 0\\ 4(2x^2+x)=(24-3x)^2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\leqslant 8\\ x^2-148x+576=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=4$
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học