LakcOngtU

đề nghị ban tổ chức và điều hành diễn  đàn trả lời câu hỏi của bạn thinhrost1 đi ạ.Để những người khác rút kinh nghiệm và biết cách sự lý khi xẩy ra các trường hợp tương tự.Xin cảm ơn!

$Cho x, y, z  là  các  số  thực  dương  thay  đổi  thỏa  mãn  x + y + z = 2. Tìm  giá  trị  nhỏ  nhất  của

 P = x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xyz.$

Xin được góp vui bằng cách đi tìm vẻ đẹp tiềm ẩn của đạo hàm

Cách 2 : Không mất tính tổng quát,ta giả sử $ x \geq y \geq z $.Khi đó ta có : $ 0 < z \leq \frac{2}{3}$

Ta có : $ P = x^2 +y^2 +z^2 +2xyz $

                $=4 -2(xy +yz +zx) +2xyz $

                $= -2xy(1-z) -2z(x +y) +4 $

                $\geq -2 (\frac{x +y}{2})^2(1 -z) -2z(x +y) +4 $

                $= -\frac{(2 -z)^2}{2}(1-z) -2z(2-z) +4 $

                $=\frac{1}{2}z^3 -\frac{1}{2}z^2 +2 =f(z) $

Xét hàm số $ f(z) =\frac{1}{2}z^3 -\frac{1}{2}z^2 +2 , z \in (0;\frac{2}{3}] $

              Có :$f'(z) =\frac{3}{2}z^2 -z ; f'(z) =0 \Leftrightarrow z =\frac{2}{3}$

Lập bảng biến thiên của $f(z)$.

Từ bảng biến thiên ta có $P \geq f(z)$ $\geq f(\frac{2}{3})$ $= \frac{52}{27}$

Vậy :$MinP =\frac{52}{27}$.Dấu bằng xẩy ra 

                                            $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix} z =\frac{2}{3}\\ x =y \\x +y +z =2 \end{matrix}\right.$

                                            $\Leftrightarrow$ $x =y =z = \frac{2}{3} $

Cho $x,y,z$ là $3$ số thực không âm thỏa mãn : $x +y +z =6$

Tìm Max của biểu thức : $ A = (x^2 +3(y-z)^2)(y^2 +3(z-x)^2)(z^2 +3(x-y)^2) $

Bài 1:Cho $a,b,c,d$ là các số dương.Tìm GTNN của biểu thức
$ A=\frac{(a+b)(a+b+c)(a+b+c+d)^2}{abcd}$
Bài 2:Cho $a,b$ là các số dương thỏa mãn $a^9+b^9=2$.Tìm GTNN của biểu thức $B=\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a}$

Cho $x,y,z$ là các số thực không âm thỏa mãn $x+y+z=1$.Chứng minh rằng: $x^{n}y+y^{n}z+z^{n}x \le \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}}$

Có lẽ nào bài này đã cho sai đề !
Theo như cách của mình thì: $A_{max}=\frac{1091584\sqrt{13}-3934208}{729}$
Khi và chỉ khi:
$(a,b)=\left (1+\frac{\sqrt{-21+6\sqrt{13}}}{3},1-\frac{\sqrt{-21+6\sqrt{13}}}{3} \right )$ và hoán vị...

Số này quá to nên thật khó để kiếm được một cách chứng minh bằng AM-GM được.

Trước hết mình cảm ơn mọi người đã giải giúp mình
Câu này mình lấy trong quyển 'sử dụng AM-GM để chứng minh bất đẳng thức' của anh VÕ QUỐC BÁ CẨN,mình đảm bảo đề bài là chính xác 100%
P/S:bạn nthoangcute xem lại lời giải nha!bài này $max_A=2$

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị © và đường thẳng $y=m$:
$x^4-5x^2+4=m \Leftrightarrow x^4-5x^2+4-m=0$(1)
Đặt $x^2=t(t\ge 0)$.Khi đó phương trình (1) trở thành:$t^2-5t+4-m=0$(2)
Đồ thị © chắn trên đường thẳng $y=m$ ba đoạn thẳng
$\Leftrightarrow$đồ thị © cắt đường thẳng $y=m$ tại bốn điểm phân biệt
$\Leftrightarrow$(1) có bốn nghiệm phân biệt$\Leftrightarrow$(2) có hai nghiệm dương phân biệt
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\Delta=4m+9>0 \\ S=5>0 \\ P=4-m>0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \frac{-9}{4}<m< 4$(*)
Gọi $t_1<t_2$ là hai nghiệm của (2).Khi đó,(1) có bốn nghiệm phân biệt sắp xếp theo thứ tự lớn dần là $x_1=-\sqrt{t_2} ,x_2=-\sqrt{t_1} ,x_3=\sqrt{t_1} ,x_4=\sqrt{t_2}$
Ba đoạn thẳng mà đồ thị © chắn trên đường thẳng $y=m$ có độ dài bằng nhau
$\Leftrightarrow$ các hoành độ giao điểm của đồ thị © và đường thẳng $y=m$ là $x_1,x_2,x_3,x_4$ lập thành cấp số cộng
$\Leftrightarrow x_2-x_1=x_3-x_2=x_4-x_3 \Leftrightarrow t_2=9t_1$
$\Leftrightarrow \frac{5+\sqrt{4m+9}}{2}=9\frac{5-\sqrt{4m+9}}{2}$
$\Leftrightarrow \sqrt{4m+9}=4 \Leftrightarrow m=\frac{7}{4}$ (thỏa mãn (*))
Kết luận:$ycbt$ được thỏa mãn $\Leftrightarrow m=\frac{7}{4}$

Đồ thị © có tiệm cận đứng là đường thẳng x=1 và tiệm cận ngang là đường thẳng y=2.Giao điểm của hai tiệm cận là I(1;2)
Gọi $M(x_0;\frac{2x_0-3}{x_0-1}) \in ©$
Tiếp tuyến $\Delta$ của đồ thị © tại M có phương trình
y=$\frac{1}{(x_0-1)^2}(x-x_0)+\frac{2x_0-3}{x_0-1}$
Giao điểm của $\Delta$ với hai tiệm cận của đồ thị © là $A(1;\frac{2x_0-4}{x_0-1}) và B(2x_0-1;2)$
ta có:IA=$\left | \frac{2x_0-4}{x_0-1}-2 \right | =\frac{2}{\left | x_0-1 \right |}$
IB=$2\left | x_0-1 \right |$
Do đó diện tích $\triangle IAB$ là: S=$\frac{1}{2}IAIB=2$
Gọi $p$ là nửa chu vi $\triangle IAB$.Khi đó bán kính đường tròn nội tiếp $\triangle IAB$ là $r=\frac{S}{p}$=$\frac{2}{p}$
$r$ lớn nhất khi $p$ nhỏ nhất
mặt khác,ta có :$2p=IA+IB+AB=IA+IB+\sqrt {IA^2+IB^2} \ge 2\sqrt {IAIB} +\sqrt {2IAIB} =4+2\sqrt {2}$
Suy ra: $p_{min} =2+\sqrt {2}$,dấu bằng xẩy ra $\Leftrightarrow IA=IB \Leftrightarrow \frac{2}{\left | x_0-1 \right |}=2\left |x_0-1 \right | \Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x_0=0 \\ x_0=2\end{matrix}\right.\\ \\$
với $x_0=0$,phương trình tiếp tuyến cần tìm là $\Delta_1$:y=x+3
với $x_0=2$,phương trình tiếp tuyến cần tìm là $\Delta_2$:y=x-1

y=$\frac{2x-3}{x-2}$©.Cho M thuộc ©,tiếp tuyến của © tại M cắt 2 tiệm cận tại A,B.Gọi I là giao điểm của 2 tiệm cận.Tìm M để đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích bé nhất.

gọi $M(x_0;\frac{2x_0-3}{x_0-2}) \in© $
phương trình tiếp tuyến $\Delta$ của đồ thị © tại M có phương trình
y=$\frac{-1}{(x_0-2)^2}(x-x_0)+ \frac{2x_0-3}{x_0-2}$
tọa độ giao điểm A,B của $\Delta$ với hai tiệm cận là $A(2;\frac{2x_0 -2}{x_0 -2})$ và $B(2x_0 -2;2)$
Ta thấy :$\frac{x_A + x_B}{2} = \frac{2+2x_0 -2}{2}=x_0 =x_M$,$\frac{y_A +y_B}{2}=\frac{2x_0 -3}{x_0 -2}=y_M$
Suy ra,M là trung điểm của AB
mặt khác,$\triangle IAB $ vuông tại I nên đường tròn ngoại tiếp $\triangle IAB$ có diện tích là:
S=$\pi.IM^2=\pi[(x_0 -2)^2+(\frac{2x_0 -3}{x_0 -2} -2)^2]=\pi[(x_0 -2)^2+\frac{1}{(x_0 -2)^2}]\ge 2\pi$
Dấu "=" xẩy ra $\Leftrightarrow (x_0 -2)^2=\frac{1}{(x_0 -2)^2}$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x_0=1\\x_0=3 \end{matrix}\right.\\ \\$
Do đó,có hai điểm M cần tìm là:$M_1(1;1) và M_2(3;3)$

Mình xin chem bài này:
$y'=\frac{-4}{(3-2x)^{2}}$
Gọi kệ số góc của tiếp tuyến là $k$ ta có:
$tan 45^{o}=\left | \frac{3-k}{1+3k} \right |=1$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} k=\frac{1}{2} & \\ k=-2 & \end{bmatrix}$
TH1:Với $k=\frac{1}{2}\Leftrightarrow y'=\frac{1}{2}$
TH2:Với$k=-2\Leftrightarrow y'=-2$
Bạn giải pt trên ta thu đc $x_{0}$ sau đó tìm $y_{0}$ rồi viết đc phương trình tiếp tuyến!

bạn tính y' sai rồi kìa
cách của bạn hình như làm theo cách của chương trình cũ nhỉ
làm theo chương trình cải cách đi bạn

Gọi M($x_o$;$\frac{5-4{x_o}}{3-2{x_o}}$)$ \in ©$
tiếp tuyến ($\Delta$) của đồ thị © tại điểm M có phương trình
y=${\frac{-2}{(3-2{x_o})^2}}(x-{x_o}) + \frac{5-4{x_o}}{3-2{x_o}}$
$\Leftrightarrow 2x+(3-2{x_o})^2y-8{x_o}^2+20{x_o}-15=0$
Đặt:(d):y=3x-1
Đường thẳng ($\Delta$) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(2;(3-2{x_o})^2)$
Đường thẳng (d) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}=(3;-1)$
Góc giữa 2 đường thẳng ($\Delta$) va (d) bằng $45^0$
$ \Leftrightarrow \cos 45^0=\cos (\overrightarrow{n_1};\overrightarrow{n_2})$
$ \Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt 2}=\frac{\left | 2.3+(-1).(3-2{x_o})^2 \right |}{\sqrt {10}.\sqrt {4+(3-2{x_o})^4}}$
$ \Leftrightarrow (3-2{x_o})^4+3.(3-2{x_o})^2-4=0$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} (3-2{x_o})^2=1 \\ (3-2{x_o})^2=-4(loại) \end{matrix}\right.\\ \\$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} 3-2{x_o}=1 \\ 3-2{x_o}=-1\end{matrix}\right.\\ \\$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x_o=1 \\ x_o=2\end{matrix}\right.\\ \\$
với $x_o$=1,phương trình tiếp tuyến cần tìm là ($\Delta_1$):y=-2x+3
với $x_o$=2,phương trình tiếp tuyến cần tìm là ($\Delta_2$):y=-2x+7