phuongnamz10A2

do xyz=1 nên $(xyz)^{2}=1$

ta có 

áp dụng bđt schwars :

$\sum \frac{2}{x^{3}(y+z)}= \sum \frac{2(xyz)^{2}}{x(y+z)}

 

Mình không hiểu đoạn này vì 2 vế không = nhau $\frac{2(xyz)^2}{x(y+z)} = \frac{2}{x(y+z)} $

Cách khác tuy cũng chẳng hay gì!
ĐK:....
$4x^3+x-(x+1)\sqrt{2x+1}=0$
$\Leftrightarrow (4x^2-2x-1)(x+\frac{x+1}{2x+\sqrt{x+1}})=0$
....

Giải đến đây thì phải làm nốt đi chứ cậu

chào bạn. Đúng lúc đang thảo luận về pp hàm số. Mình có 1 số vấn đề muốn hỏi. Hiện giờ có 1 ý kiến dựa vào $f(x)\leq m \forall x\Leftrightarrow Max f(x)\leq m$ để CM BDT sau: Cho x,y,z>0 x+y+z=3

P=$\frac{x^{2}}{1+y^{2}}+\frac{y^{2}}{1+z^{2}}+\frac{z^{2}}{1+x^{2}}\geq \frac{3}{2}$

Bài giải

Sử dụng BDT cauchy schwarz ta có P $\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{3+x^{2}+y^{2}+z^{2}}$=f(x,y,z)  $\forall$ x,y,z>0

Mà f(x,y,z)$\leq \frac{(x+y+z)^{2}}{3+\frac{(x+y+z)^{2}}{3}}$=3/2 $\forall$ x,y,z>0

vì $P\geq f(x,y,z)\Leftrightarrow P\geq Max f(x,y,z)=3/2 hay P\geq 3/2 (đpcm)$

Bạn xem bài chứng minh này đúng không. Nếu sai mong bạn nói rõ chỗ sai dùm. 

Bất đẳng thức của bạn ngược dấu rồi. $f(x,y,z) \le P$ và $f(x,y,z) \le \frac{3}{2}$ thì chưa thể kết luận được

Minh xem rui, thiếu nghiệm nào vậy bạn???

$x=-2$ nữa

 

2/ pt $\Leftrightarrow $ $\sqrt[3]{2-8x^{3}}$ = $\frac{2x}{4x-1}$

 

$\Leftrightarrow $ $\frac{1-8x^{3}}{\sqrt[3]{(2-8x^{3})^{2}}+\sqrt[3]{2-8x^{3}}+1}$ = $\frac{-2x+1}{4x-1}$

 

Làm như bạn thì ai chẳng làm đc vấn đề là TH còn lại xử lí sao?

Cho x, y không ân thỏa mãn : $\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+2y}=4$. Tìm GTLN của:

$P=\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+2}$

Giải phương trình: $(4x-1)(\sqrt{x+3}+\sqrt[3]{3x+5})=4x+8$ 

                                                     (Đề thi chọn HSG trường mình)

Bạn thay vào ta sẽ có PT:

$\sqrt[3]{x^4-x^2}-4x^2+3x+4=0\Leftrightarrow \sqrt[3]{x-\frac{1}{x}}-4(x-\frac{1}{x})+3=0... (x\neq 0)$

Đặt: $t^3=x-\frac{1}{x}\to 4t^3-t-3=0$

PT bậc 3 thì áp dụng công thức Cardano là ra.

=). $4t^3-t-3=(t-1)(4t^2+4t+3)$

Ta có:

$\sqrt{5x^2-4x-6}=3\sqrt{x}+\sqrt{x^2-x-2}$

$\Leftrightarrow 5x^2-4x-6=x^2-x-2+9x+6\sqrt{x(x^2-x-2)}$

$\Leftrightarrow 5x^2-4x-6=x^2+8x-6+6\sqrt{x(x^2-x-2)}$

$\Leftrightarrow 4x^2-12x-4=6\sqrt{x(x-2)(x+1)}$

$\Leftrightarrow 2x^2-6x-2=3\sqrt{x(x-2)(x+1)}$

$\Leftrightarrow 2(x^2-2x)-2(x+1)=3\sqrt{(x^2-2x)(x+1)}$

$\Leftrightarrow (2\sqrt{x^2-2x}+\sqrt{x+1})(\sqrt{x^2-2x}-2\sqrt{x+1})=0$

Nhiều bạn cứ ngại nhưng thực ta bình phương 2 lần là ra.

$\sqrt{ax+b}=c(dx+e)^{2}+\alpha x+\beta  với  \left\{\begin{matrix} d=ac+\alpha \\ e=bd+\beta \end{matrix}\right.$

 

Mình được hướng dẫn là: Đặt $dy+e=\sqrt{ax+b}$, khi đó phương trình được chuyển thành hệ:

$\left\{\begin{matrix}
dy+e=\sqrt{ax+b}\\
dy+e=c(dx+e)^{2}+\alpha x+\beta y
\end{matrix}\right.$

Sau đó giải hệ => kết quả

Nhưng mình không biết làm cách nào để tìm được $c,d,e$ nhanh nhất và rất lúng túng ở khâu này. Nhờ các bạn giúp mình với ví dụ này:

$\sqrt{2x+15}=32x^{2}+32x-20$

VD> Bạn đặt $\sqrt{2x+15}=dy+e$ thì $d^2y^2+2dey-2x+e^2-15=0$

Kết hợp với PT đầu ta có:                   $32x^2+32x-dy-20-e=0$

Đến đây ta cần tạo ra hệ Đối xứng hoặc nửa đối xứng . Muốn vậy ta chọn sao cho hệ số của $x^2, x..$. ở hai PT bằng nhau

Nếu hệ số của $x^2$ ở PT 2 không là số chính phương thì  phải chọn hệ số thỏa mãn hệ thức sau:

$\frac{d^2}{32}=\frac{2de-2}{32-d}=\frac{e^2-15}{-20-e}$

Hướng này cũng có thể giúp bạn phần nào việc tìm hệ số trên.

ĐK. $x \ge \frac{-1}{6}$ (do $VT >0$)

$x^2+3-(6x+1)\sqrt{x^2+3}+(9x^2+3x-2)=0$

Coi đây là PT bậc 2 ẩn $\sqrt{x^2+3}$

$\Delta = 9$

$\Leftrightarrow [\sqrt{x^2+3}-(3x+2)][\sqrt{x^2+3}-(3x-1)]=0$

  TH1. $\sqrt{x^2+3}=3x+2$

$\Leftrightarrow8x^2+12x+1=0 $

$\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}(-3+\sqrt{7})$ hoặc $x=\frac{1}{4}(-3-\sqrt{7})$ (loại)

  TH2. $\sqrt{x^2+3}=3x-1$

$\Leftrightarrow 4x^2-3x-1=0$

$\Leftrightarrow x=1$ hoặc $x=\frac{-1}{4}$ (loại)

KL PT có 2 nghiệm $x=1$ hoặc $x=\frac{1}{4}(-3+\sqrt{7})$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có $\sqrt{(a^2+b+c)(1+b+c)}\geq a+b+c$

Suy ra $\sum \frac{a}{\sqrt{a^2+b+c}}\leq \sum \frac{a\sqrt{b+c+1}}{a+b+c}$

Lại áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có $(\sum a\sqrt{b+c+1})^2=(\sum \sqrt{a}.\sqrt{a(b+c+1)})^2\leq (a+b+c)(\sum a(b+c+1))=(a+b+c)[2(ab+bc+ca)+a+b+c]\leq (a+b+c)(a+b+c+\frac{2}{3}(a+b+c)^2)$

Suy ra $P\leq \sqrt{1+\frac{2}{3}(a+b+c)}\leq \sqrt{1+2}=\sqrt{3}$

Đề bài tìn GTNN. Bài làm tìm GTLN?

Nhờ bạn mà tớ lại có thêm 1 cách đặt ẩn phụ mới.

Bạn có thể nói qua về phương pháp đặt ẩn phụ được không?

Đặt $x=\frac{t}{6}+\frac{2}{t}-1$

Phương trình đã cho trở thành : 

                                                         $\frac{t^6-216t^3+1728}{216t^3}=0$

Từ đó ta tìm được : $t=\sqrt[3]{108 \pm 12\sqrt{69}}$

Thử lại ta thấy $x=\frac{t}{6}+\frac{2}{t}-1$ với cả 2 giá trị $t$ đều thỏa mãn

Vậy pt đã cho có nghiệm 

$x=\frac{\sqrt[3]{108-\sqrt{9936}}}{6}+\frac{2}{\sqrt[3]{108-\sqrt{9936}}}-1=\frac{\sqrt[3]{108+\sqrt{9936}}}{6}+\frac{2}{\sqrt[3]{108+\sqrt{9936}}}-1$

Cách của mình là t đặt $x=y-1$ đề khử bỏ bậc 2 : > $y^3-y-1=0$

rồi đặt $y=k(t+\frac{1}{t})$ thay y vào pt trên rồi đồng nhất hệ số ta đc $k=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Thay lại ta đc PT mới là $\frac{t^3}{3\sqrt{3}}+\frac{1}{3\sqrt{3}t^3}-1=0$

Sơ lược cách làm của mình là như vậy. Còn cậu?

bạn ơi bạn có thể cho biết làm sao bạn tách như vậy được  không???

Nói về cách tách, ta làm thế này:

Tách ra thành

$\sqrt{4x^2+x+6}+a\sqrt{x+1}=4x-2+b\sqrt{x+1}$    với $(b-a=7)$

Khi liên hợp thì ta đc 2 phân thức có tử số là

$4x^2+x(1-a^2)+6-a^2  (VT)$  và $16x^2+x(-16-b^2)+3-b^2  (VP)$

Ta thấy hệ số của $x^2$ ở VP gấp 4 lần VT ta cần có nhân tử chung nên $4.VT=VP$

vậy nên $4(6-a^2)=3-b^2$.

         và $b-a=7$

Từ đó đoán đc $a,b$.

_____________

Còn phần Continue...

Phần trong ngoặc :

$\Leftrightarrow 2x-1-2\sqrt{x+1}=2(\sqrt{4x^2+x+6}+3\sqrt{x+1})$

$\Leftrightarrow 4\sqrt{4x^2+x+6}=4x-2-16\sqrt{x+1}$

Đến đây bạn kết hợp PT ban đầu dễ có:

$3\sqrt{4x^2+x+6}=-23\sqrt{x+1}$ (PT vô nghiệm)

Vậy PT có nghiệm duy nhất $x=1-\frac{\sqrt{7}}{2}$