phantomladyvskaitokid

trước hết ta c/m $\Delta ABC$ có 2 điểm E, F trên BC t/m $\widehat{BAE}=\widehat{CAF}$ thì $\frac{BE.BF}{CE.CF}=\frac{AB^2}{AC^2}$





C/m

Kẻ $EI \perp AB, FK \perp AC$

$\Delta IAE \sim \Delta KAF(gg)\Rightarrow \frac{EI}{FK}=\frac{AE}{AF}$

do đó $\frac{BE}{CF}=\frac{S_{\Delta ABE}}{S_{\Delta ACF}}=\frac{AB.EI}{AC.FK}=\frac{AB.AE}{AC.AF}$

tương tự $\frac{BF}{CE}=\frac{S_{\Delta ABF}}{S_{\Delta ACE}}=\frac{AB.AF}{AC.AE}$

suy ra $\frac{BE.BF}{CF.CE}=\frac{AB.AE.AB.AF}{AC.AF.AC.AE}=\frac{AB^2}{AC^2}$

quay trở lại bài toán


trên AD lấy E' sao cho $\widehat{BCF}=\widehat{ACE'}$

a/d bt trên ta đc

$\frac{DF.DE}{AF.EA}=\frac{BD^2}{BA^2}$

$\frac{DF.DE'}{FA.E'A}=\frac{CD^2}{CA^2}$

mà theo tính chất đường phân giác trong của 1 tam giác

$\frac{BD}{BA}=\frac{DC}{CA}$

do đó $\frac{DF.DE}{AF.EA}=\frac{DF.DE'}{AF.E'A}$

$\Rightarrow \frac{DE}{EA}=\frac{DE'}{E'A}$

E và E' cùng chia trong đoạn ED theo 1 tỉ số suy ra $E\equiv E'$

hay $\widehat{ACE}=\widehat{ BCF}$

D-B=17.7h
E=10
F=0
S=60.3

mở rộng

Tìm số nguyên dương p sao cho $5^p+12^p= a^2 (a\in Z^+)$

G:

tương tự như trên ta c/m đc p phải chẵn. đặt $p=2h(h\in Z^+)$

$\Rightarrow (12^h)^2+(5^h)^2=a^2$

($(12^h, 5^h, a)$ là 1 bộ 3 số nguyên thuỷ pitago nên ta có $\left\{\begin{matrix} 12^h=2dn & & \\ 5^h=d^2-n^2 & & \end{matrix}\right.( d, n \in Z^+; d>n)$

$12^h=2dn \Rightarrow 2n$ ko chia hết cho 5 $ \Rightarrow$ d+n & d-n ko cùng số dư khi chia cho 5

mà $(d-n)(d+n)=5^h; d-n<d+n$ nên $d-n=1$

suy ra $12^h=2n(n+1)$

$\Leftrightarrow n(n+1)=2^{2h-1}.3^h$

mặt khác dễ thấy $(n, n+1)=1$ nên

$\left\{\begin{matrix} n=3^h & & \\ n+1=2^{2h-1} & & \end{matrix}\right.$

hoặc $\left\{\begin{matrix} n+1=3^h & & \\ n=2^{2h-1} & & \end{matrix}\right.$

TH1: $2^{2h-1}-1=3^h$

$2\equiv -1(mod3)\Rightarrow 2^{2h-1}\equiv -1(mod3)\Rightarrow 3^h \equiv 1 (mod3)\Rightarrow h=0$ (L)

TH2: $2^{2h-1}=3^h-1$

* $h=1 \Rightarrow k=2$ (t/m bt)

* $h>1 \Rightarrow 2^{2h-1}\vdots 4\Rightarrow (3^h-1)\vdots 4 \Rightarrow h\vdots 2$

đặt $h=2k(k\in Z^+)$ $\Rightarrow (3^k-1)(3^k+1)=2^{4k-1}$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 3^k-1=2^x & & \\ 3^k+1=2^y & & \end{matrix}\right.( x, y\in Z^+, x<y)$

$\Rightarrow 2^y-2^x=2$

$\Leftrightarrow 2^x(2^{y-x}-1)=2$

đến đây là ra x=1, y=2 => k=1=> h=2 (thử lại k t/m)

vậy p=2

Vì p là số nguyên tố nên:

* Với p=2 thì $5^p+12^p=169$ là số chính phương (t/m)

* Với $p\neq 2$ thì $p=2k+1(k\in Z^+)$

khi đó $5^p=5^{2k+1}=5.25^k$

mà $25\equiv 1(mod3)\Rightarrow 25^k\equiv 1(mod3)$

$5\equiv 2(mod3)$

suy ra $5^p\equiv 2(mod3)$

$\Rightarrow 5^p+12^p\equiv 2(mod3)$

$\Rightarrow 5^p+12^p$ ko là số chính phương (loại)

Vậy p=2

D-B=0.8h
E=9
F=1*10=10
S=84.2

Thế nếu đổi lại đề $A\geq \frac{3}{\sqrt{2}}$ thì có được không ạ

thử 1 vài trường hợp thấy sai