Đến nội dung

Jewellery

Jewellery

Đăng ký: 18-03-2012
Offline Đăng nhập: 01-02-2014 - 21:18
-----

Trong chủ đề: Tìm các số nguyên dương $a,b,c$ sao cho $\frac{a^{2}+...

13-08-2012 - 12:24

Định nghĩa về kí hiệu Lengdre:
Cho số nguyên tố $p$ và số nguyên $a$. Khi đó, ta có:
+$\left( {\frac{{ a}}{p}} \right) = 1$ nếu $a \not \vdots p$ và $a$ là số chính phương $mod(p)$
+$\left( {\frac{{ a}}{p}} \right) = -1$ nếu $a \not \vdots p$ và $a$ không là số chính phương $mod(p)$
+$\left( {\frac{{ a}}{p}} \right) = 0$ nếu $a \vdots p$

ý m` là không có cách của bạn đâu,nếu 2a+b chia hết cho p thì làm quoái j` mà vô lí chứ,cũng giống như a mũ 2 + b mũ 2 có ước nguyên tố dạng thì 4p+3 thì a,b cùng chia hết cho SNT đó,làm j` có chuyện vô lí ở đâu,khi sử dụng kí hiêu lengdre ta đã ngầm hiểu tử số của nó không chia hết cho mẫu r` :lol:


Cái bổ để mà bạn uyenha nói thực ra ko cần dùng cho bài này ;)
Với lại, bạn Uyenha hiểu sai về kí hiệu Lengdre rồi đó :)
Giải theo cách dùng số chính phương $mod(p)$ như bạn Stranger411 là hoàn chỉnh rồi.

Đây là một bài toán điển hình cho việc lựa chọn số mũ lẽ trong giải toán thôi mà ;)

Trong chủ đề: Topic : Bất đẳng thức chứa biến ở mũ

22-06-2012 - 01:06

Bài 37: Cho $0<a,b<1$. Chứng minh $$(\frac{a}{b})^a+(\frac{b}{a})^b\geq 2$$

Trong chủ đề: Bất Đẳng Thức 2012

22-06-2012 - 00:58

Bài 28: Cho $a,b,c$ thực dương thỏa $a^2+b^2+c^2+(a+b+c)^2\le 4$. Chứng minh rằng: $$\frac{ab+1}{(a+b)^2}+\frac{bc+1}{(b+c)^2}+\frac{ac+1}{(a+c)^2}\geq 3$$
USAMO 2011

Trong chủ đề: Tản mạn BĐT

02-05-2012 - 20:42

Bài 173: (Sưu tầm )
Cho $a,b,c$ là 3 số thực khác nhau. Chứng minh rằng:
\[3m < a + b + c - \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca} < a + b + c + \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca} < 3M\]
Trong đó: $m = Min\{ a,b,c\} ;M = Max\{ a,b,c\} $

#418 em làm trùng ^_^ anh xóa hộ
Chả biết làm như thế này được không
Giả sử $a<b<c$
Ta quy về chứng minh BĐT sau
\[
3a < a + b + c - \sqrt {a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca} < 3b < a + b + c + \sqrt {a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca} < 3c
\]
Xét hàm số $f(x) = (x - a)(x - b)(x - c) \Rightarrow f(a) = f(b) = f© = 0$
Theo định lý Lagrage tồn tại $a < x_1 < b < x_2 < c$ sao cho $f(a) - f(b) = (a - b)f'(x_1 )$
\[
f© - f(b) = (c - b)f'(x_1 ) \Rightarrow f'(x_1 ) = f'(x_2 ) = 0
\]
\[
f'(x) = 3x^2 - 2(a + b + c)x + ab + bc + ca
\]
\[
\Rightarrow x_1 = \frac{{a + b + c - \sqrt {a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca} }}{3}
\]
\[
x_2 = \frac{{a + b + c + \sqrt {a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca} }}{3}
\]
Do đó từ $a < x_1 < b < x_2 < c$
Suy ra $$3a < a + b + c - \sqrt {a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca} < 3b < a + b + c + \sqrt {a^2+ b^2 + c^2 ab -bc -ca} < 3c$$
Suy ra điều phải chứng minh :icon10:.
@vietfrog: Lời giải bài 173 của bạn rất hay. :D. Ngoài ra bài làm ở #418 hoàn toàn đúng nên mình sẽ không xóa đâu :D.

Trong chủ đề: Tản mạn BĐT

02-05-2012 - 17:25

Bài 171.
Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $a+b+c=1$ . Chứng minh rằng :
$$a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a}\le \dfrac{1}{\sqrt{3}}$$

Áp dụng Bất đẳng thức Bu-nhi-a-Cop-ski ta có:
$$a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a}\leq \sqrt{(a+b+c)(ab+bc+ac)}=\sqrt{ab+bc+ac}$$
Mà $$(ab+bc+ac)\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}$$
Nên $$a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a} \leq \frac{1}{\sqrt{3}}$$
Điều phải chứng minh $\square$