beppkid

Bài 98: Cho tam giác ABC nội tiếp (O). M thuộc cung BC không chứa A. Hạ MH vuông góc BC; ME vuông góc AB; MF vuông góc AC. Lấy B' đối xứng M qua E; C' đối xứng M qua F; A' đối xứng M qua H.
a, CM: E, H, F thẳng hàng
b, CM: B', A', C' thẳng hàng
c, Gọi V là trực tâm của tam giác ABC.
CM: tứ giác AVBB', AVCC' nội tiếp. Từ đó c/m B'C' đi qua V.
d, Gọi I là giao của VM và EF. CM: I là trung điểm của VM

Nhờ các bạn giải thích tường tận giúp mình câu e) bài 92!

híc ko bít vẽ hình
bạn xem lại hộ mình với nếu chưa ai đưa bài toán về đường thằng Stai-nơ lên mình xin giải cụ thể cho

Hình bài 92 :

d, $\frac{BD}{MD}=\frac{CF}{MF} \Rightarrow \frac{AB}{MD}+\frac{AC}{MF}=\frac{AD}{MD}+\frac{AF}{MF}=\frac{EC}{ME}+\frac{BE}{ME}=\frac{BC}{ME}$
e, Lấy B' đối xứng M qua D ; C' đối xứng M qua F
B'C' là đường thẳng Stai-nơ của tam giác ABC nên B'C' đi qua trực tâm V và B'C' song song với DF
Gọi I là giao của EF với VM
Suy ra FI là đường trung bình của tam giác C'MV
nên I là trung điểm VM
P/s: có tam giác VMF kìa

1)
Cho 2 số thực $x\neq 0;y\neq 0$ thay đổi và thõa điều kiện : $(x+y).xy=x^{2}+y^{2}-xy$. Tím GTLN của $A=\frac{1}{x^{3}}+\frac{1}{y^{3}}$

đk $\Leftrightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}-\frac{1}{xy}$ (chia cả 2 vế cho $x^{2}y^{2}$)
$\Leftrightarrow (\frac{1}{x}+\frac{1}{y})^{2}=\frac{1}{x^{3}}+\frac{1}{y^{3}}$ (1)
Đặt $\frac{1}{x}=a; \frac{1}{y}=b$
(1) $\Leftrightarrow (a+b)^{2}=a^{3}+b^{3}
\Leftrightarrow a+b=a^{2}+b^{2}-ab
\geq \frac{(a+b)^{2}}{2}-\frac{(a+b)^{2}}{4}
=\frac{(a+b)^{2}}{4}
\Leftrightarrow a+b\leq 4$ $\Rightarrow \frac{1}{x^{3}}+\frac{1}{y^{3}}\leq 16$
max A=16 $\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}$

2)
Cho x, y, z thõa $1\leq x,y,z\leq 2$. Tìm GTLN của $B=(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$

bài 2 tớ thấy trên diễn đàn mọi người làm nhiều rồi. max B=10

Câu 2 vòng 2
a, n=1 tm
n=2 tm
n>2 thì hiệu có tận cùng là 34
mà ko có số chính phương nào tận cùng 34
suy ra không tm
Câu 1 vòng 2
b, $x=1$ tm
$x>1\Rightarrow 3x>2x+1>x+2$
$(x+2)^{5}=(3x)^{3}+(2x+1)^{3}(4x^{2}+4x)> (2x+1)^{3}(4x^{2}+4x+1)=(2x+1)^{5}$ (ko tm)
$x<1$ làm tương tự
Vậy $x=1$ là nghiệm duy nhất của pt.

Bài 4 :
Cho $ad-bc=1$.
CM: $\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+ac+bd \right )^{2}\geq 3$

có $(ad-bc)^{2}+(ac+bd)^{2}=(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})$
$\Rightarrow 1+(ac+bd)^{2}=(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})$
AD BĐT Cauchy:
$(a^{2}+b^{2})+(c^{2}+d^{2})\geq 2\sqrt{(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})}$
Xét $2\sqrt{(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})} +ac+bd=2\sqrt{1+(ac+bd)^{2}}+ac+bd\geq \sqrt{3}$
Đặt ac+bd=x
$\Rightarrow 3\leq (x+2\sqrt{1+x^{2}})^{2}
=x^{2}+4\sqrt{1+x^{2}}+4(1+x^{2})
=4x^{2}+4\sqrt{1+x^{2}}+(1+x^{2})+3
=(2x+\sqrt{1+x^{2}})^{2}+3$ (luôn đúng)
$\Rightarrow (a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+ac+bd)^{2}\geq 3$ (đpcm)

Bài 3 :
Cho $a,b> 0$ và $a^{3}+b^{3}=a-b$
CM: $a^{2}+b^{2}+\frac{1}{2}.ab< 1$

từ điều kiện $\Rightarrow$ a>b
$\Rightarrow$ $a^{3}-b^{3}< a^{3}+b^{3}=a-b$
$\Rightarrow (a-b)(a^{2}+b^{2}+ab)< a-b$
$\Rightarrow a^{2}+b^{2}+\frac{1}{2}ab < 1$ (đpcm)

Bài 28 :

c, Gọi QE giao (K) là D'
$\Rightarrow$ QF.QC=QD'.QE
mà QF.QC=QA.QB
$\Rightarrow$ QD'.QE=QA.QB $\Rightarrow$ tứ giác BD'EC nội tiếp
$\Rightarrow$ D' là giao của (K) và đường tròn ngoại tiếp tam giác BEC
$\Rightarrow$ D'$\equiv$ D $\Rightarrow$ Q thuộc DE $\Rightarrow$ đpcm.
d, giả thiết $\Rightarrow$ $\frac{AH}{BH}=\frac{9}{16}$
$\Rightarrow$ $CH^{2}=\frac{9}{16}BH^{2}\Rightarrow CH=\frac{3}{4}BH$
$\Rightarrow$ BH=16; AH=9 $\Rightarrow$ bán kính (O) = 12,5cm.

Đặt $cos^{2}a=a; cos^{2}b=b; cos^{2}c=c$
$\Rightarrow a+b+c\geq 2$
$a\geq (1-b)+(1-c)\geq 2\sqrt{(1-b)(1-c)}$
$b\geq (1-c)+(1-a)\geq 2\sqrt{(1-c)(1-a)}$
$c\geq (1-a)+(1-b)\geq 2\sqrt{(1-a)(1-b)}$
$\Rightarrow abc\geq 8(1-a)(1-b)(1-c)$
$\Rightarrow \frac{(1-a)(1-b)(1-c)}{abc}\leq \frac{1}{8}$
$\Rightarrow \frac{sin^{2}a\times sin^{2}b\times sin^{2}c}{cos^{2}a\times cos^{2}b\times cos^{2}c}\leq \frac{1}{8}$
$\Rightarrow$ đpcm. (công gõ nhá )

Nhân liên hợp ta được
BĐT $\Leftrightarrow \frac{-2\sqrt{ab}}{\sqrt{a+b}+\sqrt{a}+\sqrt{b}}< \frac{-2\sqrt{cd}}{\sqrt{c+d}+\sqrt{c}+\sqrt{d}}$

$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{a+b}+\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{ab}}< \frac{\sqrt{c+d}+\sqrt{c}+\sqrt{d}}{\sqrt{cd}}$

$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{a+b}}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{a}}<\frac{\sqrt{c+d}}{\sqrt{cd}}+\frac{1}{\sqrt{d}}+\frac{1}{\sqrt{c}}$

$\Leftrightarrow \sqrt{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}< \sqrt{\frac{1}{c}+\frac{1}{d}}$ (luôn đúng)

$\Rightarrow$ đpcm. ko bít có đúng ko?

Hạ CH vuông góc AB
tam giác ABC đồng dạng tam giác MIN theo tỉ số CI:CH
dt MIN=2 dt ABC suy ra CI:CH=$\sqrt{2}$
Vậy điểm I trên AB sao cho CI:CH=$\sqrt{2}$

Câu 2.

Tìm tất cả các số có ba chữ số sao cho tổng bình phương các chữ số của nó bằng $90$.

Cách này có vẻ ngắn hơn:
có$a^{2};b^{2};c^{2}\equiv 0;1(mod8)$
$90\equiv 2(mod8)$
$\Rightarrow$ bình phương 1 số phải chia hết cho 8
Giả sử $a^{2}\vdots 8 \Rightarrow a=0;4;8$
a=0 $\Rightarrow b=3; c=9$
a=4 $\Rightarrow b=5; c=7$
a=8 $\Rightarrow b=1; c=5$

Giải phương trình:
$\sqrt{x+\sqrt{x^{2}+1}} + \sqrt[4]{x-\sqrt{x^{2}-1}}= 2$

ĐKXĐ: $x\geqslant 1$
Với $x\geqslant 1$ $\Rightarrow \sqrt{x+\sqrt{x^{2}+1}}> 1$
$\Rightarrow \sqrt{x+\sqrt{x^{2}+1}}> \sqrt[4]{x+\sqrt{x^{2}-1}}$
Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số không âm:
$2> 2\times \sqrt[8]{(x-\sqrt{x^{2}-1})(x+\sqrt{x^{2}-1})}=2$
$\Rightarrow$ pt vô nghiệm

Cho
$$A=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{1}}{2+1}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2+3}+\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{3+4}+...\frac{\sqrt{25}-\sqrt{24}}{25+24}$$
Chứng minh rằng $A<0,4$

xét $\frac{a-b}{a^{2}+b^{2}}< \frac{a-b}{2ab}= \frac{1}{2b}-\frac{1}{2a}$
$\Rightarrow A< \frac{1}{2}\times (1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{24}}-\frac{1}{\sqrt{25}})= 0,4$
$\Rightarrow A< 0,4$

Chém bài 2:

Có $a+b+c=abc\leq (\frac{a+b+c}{3})^{3} \Rightarrow a+b+c\leq 3\sqrt{3}$
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương
$(a^{2}-1)(b^{2}-1)(c^{2}-1)
\leqslant (\frac{(a+b+c-3)(a+b+c+3)}{9})^{3}
\leq (\frac{(3\sqrt{3}-3)(3\sqrt{3}+3)}{9})^{3}
=8$
$"="\Leftrightarrow a=b=c=\sqrt{3}$