beppkid

Cho a, b, c thỏa mãn:
0<a,b,c<1; a+b+c=2
CMR:
$\frac{(1-a)(1-b)(1-c)}{abc}<\frac{1}{8}$

SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
NAM ĐỊNH NĂM HỌC 2011-2012
Môn: Toán
(Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề)
Câu 1:
1) Cho các số thực a, b, c khác nhau từng đôi một vào thỏa mãn điều kiện:
$a^{2}-b=b^{2}-c=c^{2}-a$
Chứng minh rằng: $(a+b+1)(b+c+1)(c+a+1)=-1$
2) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn: $ab+bc+ca=1$
Chứng minh rằng: $\frac{(b+c)\sqrt{a^{2}+1}}{\sqrt{b^{2}+1}\times \sqrt{c^{2}+1}}=1$

Câu 2:

1) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} \sqrt{y^{2}-3x} +\sqrt{x^{2}+8y}=5& & \\ x(x-3)+y(y+8)=13& & \end{matrix}\right.$
2) Giải phương trình: $\sqrt{x-1}+\sqrt{3-x}=3x^{2}-4x-2$
Câu 3: Tìm tất cả các bộ ba số nguyên không âm (x;y;z) thỏa mãn đẳng thức:
$2012^{x}+2013^{y}=2014^{z}$
Câu 4: Cho đường tròn (O), AB là đường kính của (O). Điểm Q thuộc đoạn thẳng OB (Q khác O; Q khác B). Đường thẳng đi qua Q, vuông góc với AB cắt đường tròn (O) tại hai điểm C và D khác nhau (điểm D nằm trong nửa mặt phẳng bờ PS chứa B). Gọi G là giao điểm của các đường thẳng CD và AP. Gọi E là giao điểm của các đường thẳng CD và PS. Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng AQ.
1) Chứng minh rằng tam giác PDE đồng dạng với tam giác PSD
2) Chứng minh rằng EP=EQ=EG
3) Chứng minh đường thẳng KG vuông góc với đường thẳng CD
Câu 5: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện:
$a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$
Chứng minh rằng: $\frac{1}{\sqrt{1+8a^{3}}}+\frac{1}{\sqrt{1+8b^{3}}}+\frac{1}{\sqrt{1+8c^{3}}}\geq 1$