Tran Hoai Nghia

Em xin phép được góp một mở rộng khác cho bài toán ạ: 

Bài toán mở rộng 2: Theo bài trước , với 1 trang tập học sinh có kích thước $a \times b$ ô ly ( a và b là số nguyên dương), hỏi có bao nhiêu cách khác nhau để lấp đầy trang tập đó với n hình chữ nhật ( biết rằng đây là hình chữ nhật chứ không phải hình vuông) ?

Mở rộng căng quá em, 1 trang tập học sinh $a\times b$ em cho là vô hạn, vậy phải có vô hạn cách rồi? À mà bạn chanhquocnghiem có nói kí hiệu hình chữ nhật là $a\times b$ với $a\leq b$ ( a là chiều rộng, b là chiều dài), có cần cái điều kiện $a\leq b$ không vậy?
Anh nghĩ nên có kích thước trang sách cụ thể nó hay hơn 

Bài toán mở rộng: Theo bài trước , với 1 trang tập học sinh có kích thước $16\times 21$ ô ly, hỏi có bao nhiêu cách để lấp đầy trang tập đó với n hình chữ nhật ( mà trong đó mỗi hình chữ nhật được cấu tạo từ 7 hình chữ nhật giống y hệt nhau), với n ($n\geq 1,n\in \mathbb{N}$) là số hình chữ nhật, mà trong đó phải là các hình chữ nhật khác loại nhau ( ví dụ, để lấp đầy trang sách đó bằng 4 hình chữ nhật thì 4 hình đó phải là 4 hình khác nhau)?

Các loại hình chữ nhật thỏa mãn điều kiện đề bài phải có diện tích chia hết cho $7$, tức là ít nhất có một trong hai cạnh (chiều dài và chiều rộng) có độ dài chia hết cho $7$.

Ký hiệu các hình chữ nhật là $a\times b$, với $a$ là chiều rộng, $b$ là chiều dài ($a,b\in\mathbb{N},0< a\leqslant 14,0< b\leqslant 21$ và $a\leqslant b$).

Gọi $A$ là tập hợp các loại hình chữ nhật có chiều rộng chia hết cho $7\rightarrow \left | A \right |=23$ (với $a=7$ có $15$ loại, với $a=14$ có $8$ loại)

Gọi $B$ là tập hợp các loại hình chữ nhật có chiều dài chia hết cho $7\rightarrow \left | B \right |=35$ (với $b=7$ có $7$ loại, với $b=14$ có $14$ loại, với $b=21$ có $14$ loại)

Gọi $C=A\cap B\rightarrow \left | C \right |=5$ ($7\times 7$ ; $7\times 14$ ; $7\times 21$ ; $14\times 14$ và $14\times 21$)
Số loại hình chữ nhật thỏa mãn điều kiện đề bài có thể vẽ được là $\left | A \right |+\left | B \right |-\left | A\cap B \right |=23+35-5=53$ (loại)
 

Với $\left | A \right |=21+21$ ( trùng 7x14 ở cả hai dòng) nên còn $\left | A \right |=21+20$ ( loại 1 dòng 7x14)
$\left\{\begin{matrix} 7\times 1\rightarrow 7\times 21\\ 14\times 1\rightarrow 14\times 21 \end{matrix}\right.$
$\left | B \right |=16+16+16$ ( trùng 7x14 ở hai dòng trên, nhưng 2 dòng trên cũng chỉ là "con" của $\left | A \right |$)
$\left\{\begin{matrix} 1\times 7\rightarrow 16\times 7\\ 1\times 14\rightarrow 16\times 14\\ 1\times 21\rightarrow 16\times 21 \end{matrix}\right.$ 
Vì 2 dòng trên là con của $A$ nên ta có thể viết:
$B=\left \{ 1\times 21\rightarrow 16\times 21 \right \} \Rightarrow \left | B \right |=16$
$\left | C \right |= 2$ (7x21; 14x21)
KQ:21+20+16-2= 55 loại ( KẾT QUẢ CHÍNH THỨC)
Bài của bạn chắc sai ở chỗ xác định tập $\left | C \right |$.Phải là $C=A\cap B\rightarrow \left | C \right |=4 $ $(7\times 7 ; 7\times 14; 14\times 7 ;  14\times 14)$.Tập C có 4 loại mới đúng, vì ở b=21 thì bạn đã loại trừ sẵn 2 loại 7x21 và 14x21 rồi.  ( Nhận xét bị nhầm lẫn)
 

ĐỀ BÀI: Trong 1 trang tập học sinh có kích thước 21x16 ô ly. Hỏi có thể vẽ được bao nhiêu loại hình chữ nhật khác nhau được cấu thành bởi 7 hình chữ nhật giống hệt nhau? Biết rằng, mỗi hình chữ nhật nhỏ đó được cấu thành bằng các ô ly trong tập học sinh đã cho.


Giải thích thêm cho đề bài: Như trong hình ta thấy là 1 hình chữ nhật được vẽ trong trang tập học sinh, học sinh cần tìm các hình chữ nhật khác hình chữ nhật đó và lưu ý là khác nhau có thể vẽ được trong trang tập đó. Xin mời các toán thủ nghiên cứu  .Hoàn toàn có thể coi hình vuông là hình chữ nhật.

Bài toán mở rộng: Theo bài trước , với 1 trang tập học sinh có kích thước $16\times 21$ ô ly, hỏi có bao nhiêu cách để lấp đầy trang tập đó với n hình chữ nhật ( mà trong đó mỗi hình chữ nhật được cấu tạo từ 7 hình chữ nhật giống y hệt nhau), với n ($n\geq 1,n\in \mathbb{N}$) là số hình chữ nhật, mà trong đó phải là các hình chữ nhật khác loại nhau ( ví dụ, để lấp đầy trang sách đó bằng 4 hình chữ nhật thì 4 hình đó phải là 4 hình khác nhau)? 

Anh trình cao thì anh làm cách khác xem sao. Em chỉ bt cách đó thôi, e ko còn cách nào khác   

Cách của anh đó là:

Giả sử cả 3 phương trình đều vô nghiệm, ta có:
$\Delta _{1} = b^{2}-4ac<0\Leftrightarrow b^{2}<4ac\Leftrightarrow 4\frac{a}{\left | b \right |}.\frac{c}{\left | b \right |}<0\\ \Delta _{1} = c^{2}-4ab<0\Leftrightarrow c^{2}<4ab\Leftrightarrow 4\frac{a}{\left | c \right |}.\frac{b}{\left | c \right |}<0\\ \Delta _{1} = a^{2}-4bc<0\Leftrightarrow a^{2}<4bc\Leftrightarrow 4\frac{b}{\left | a \right |}.\frac{c}{\left | a \right |}<0$
ta sẽ xét các trường hợp delta của 3 phương trình. Vì mỗi trường hợp như nhau nên sẽ chọn trường hợp $\Delta _{1}<0$
$\Delta _{1}<0\Leftrightarrow 4\frac{a}{\left |b \right |}.\frac{c}{\left |b \right |}<0\Rightarrow$ a,c TRÁI DẤU.
NẾU c<0 ( trường hợp a<0 cũng vậy), suy ra a>0.(*)
$\Delta _{2}<0\Leftrightarrow 4\frac{b}{\left |a \right |}.\frac{c}{\left |a \right |}<0\Rightarrow b>0$

tương tự với $\Delta _{3}<0\Rightarrow a<0$ (**)

Rõ ràng (*) mâu thuẫn với (**) nên suy ra ĐPCM.  
QUA BÀI TOÁN ANH NGHĨ VỚI BẤT CỨ BÀI TOÁN NÀO, GIẢI ĐƯỢC GIỐNG NHƯ TRONG SÁCH THÌ NÊN CỐ GẮNG CẢI TIẾN HOẶC TÌM LỜI GIẢI KHÁC ĐỘC ĐÁO HƠN, RẤT CÓ LỢI CHO TƯ DUY NÓI CHUNG VÀ ĐI THI HSG NÓI RIÊNG.  
 

Nếu có gì sai mong a giúp đỡ:

Ta có : x^2 + 2ax +4b^2 =0 (1)

x^2 - 2bx +4a^2 = 0 (2)

x^2-4ax + b^2 = 0 (3)

x^2 + 4bx +a^2 = 0 (4)

=> Delta (1) = 4a^2 - 16b^2

Delta (2) = 4b^2 - 16a^2 

Delta (3) = 16a^2 - 4b^2

Delta (4) = 16b^2 -4a^2

=>

+) Delta (1) + Delta (4) = 0

=> Ít nhất 1 trong 2 phương trình có nghiệm (*)

+) Delta (2) + Delta (3) = 0

=> Ít nhất 1 trong 2 pt có nghiệm (**)

Từ (*) và (**) => đpcm

HAY LẮM EM, 1 CÁCH GIẢI SÚC TÍCH.

Cách của anh ( anh nghĩ ra trùng với cách chung nhưng lập luận hơi khác  ) đó là: ta có:

$\sum \Delta'=\Delta \tfrac{'}{1}+\Delta \tfrac{'}{2}+\Delta \tfrac{'}{3}+\Delta \tfrac{'}{4}=0(5)$
Và 
$\left\{\begin{matrix} \Delta \tfrac{'}{1}=-\Delta \tfrac{'}{4}\\ \Delta \tfrac{'}{2}=-\Delta \tfrac{'}{3} \end{matrix}\right.$ (6)
Nếu tất cả vô nghiệm thì mẫu thuẫn với (5).

Nếu có 1 phương trình có nghiệm ( đúng hơn là có 2 nghiệm phân biệt) thì mâu thuẫn với (6)
Vậy suy ra ĐPCM.   
Nói chung cũng tựa tựa với em , khác chỗ lập luận.  
 

Cho bốn phương trình ẩn x sau:

$\\x^{2}+2ax+4b^{2}=0\\x^{2}-2bx+4a^{2}=0\\x^{2}-4ax+b^{2}=0\\x^{2}+4bx+a^{2}=0$

Chứng minh rằng có ít nhất 2 phương trình có nghiệm.

THẤY BÀI NÀY SUY LUẬN KHÁ HAY NÊN ĐĂNG CHO CÁC EM THỬ SỨC 

Ta có: $\Delta^{'} _{1}+\Delta^{'} _{2}+\Delta^{'} _{3}=(b^2+ac)+(c^2+ab)+(a^2+bc)=\frac{(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2}{2}\geqslant 0$

Suy ra: 1 trong 3 đen ta phẩy phải có 1 đen ta phẩy $\geqslant 0$ (Giả sử ko có đen ta phẩy nào $\geqslant 0$ thì vô lý )

      Nên ít nhất 1 trong 3 pt bậc 2 trên có nghiệm

Đây vẫn là 1 cách giải quen thuộc thôi. Anh cần 1 lời giải khác mang tính sáng tạo hơn 

Xin chào các anh chị.

Nhờ các anh chị giải giúp em câu b của bài toán rút gọn này như file đính kèm nhé:

 

Cảm ơn anh chị.

Của em đây: $\left ( \sqrt{x} -\frac{3x+1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+3)}\right )\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-1}$(1)
Em có thể thấy được $\sqrt{x}+3$ rút gọn được, em có thể phá ngoặc cũng được, anh giải theo cách giữ ngoặc:
$\\(1)=\frac{x(\sqrt{x}+3)-(3x+1)}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+3)}.\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-1}\\ =\frac{x\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)}$

Em xem $\sqrt{x}=a$:
$\frac{a^{3}-1}{a(a-1)}=\frac{(a-1)(a^{2}+a+1)}{a(a-1)}=\frac{a^{2}+a+1}{a}=a+1+\frac{1}{a}=\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}+1$

Chứng minh rằng ít nhất một trong các phương trình bậc hai sau đây có nghiệm:

                            $\\ax^{2}+2bx+c=0(1)\\ bx^{2}+2cx+a=0(2)\\ cx^{2}+2ax+b=0(3)$

Mình xin sửa lại chút là :

$3x^{2}-2(a+b+c)x+ab+bc+ca=0=>\Delta '=(a+b+c)^{2}-3(ab+bc+ca) $

$\Leftrightarrow \frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{2} > 0$ do a,b,c là các số thực phân biệt.

P/s: Cần cm pt có nghiệm khác a,b,c ko nhỉ?

Cách khác:
$\Delta ^{'}= a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-ac-bc$
Theo bđt bunyacopski, với a,b,c là các số thực tùy ý, ta có:
$(a^{2}+b^{2}+c^{2})(1^{2}+1^{2}+1^{2})\geqslant \left ( a+b+c \right )^{2}\\ \Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\geqslant ab+bc+ac\Rightarrow \Delta ^{'}\geqslant 0$

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c, nhưng điều kiện bài toán là 3 số phân biệt nên suy ra ĐPCM.

KHÔNG CẦN NHÉ BẠN VÌ ĐK KHÔNG LIÊN QUAN ĐẾN ĐIỀU CHỨNG MINH.
Chỉ là 1 cách giải khác nho nhỏ.

Do a,b,c là các số thực phân biệt

Bạn sai bước khai triển nhé, đúng như bạn trên mới được.Sai bước đấy bạn sẽ không có điểm.

$\Delta '=(a+b+c)^{2}-3(ab+bc+ca)$

=$(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}> 0$

Sai chỗ này.

Cho f(x)=$x^{2}+ax+b$. CMR với mọi số a,b thì ít nhất trong 3 số f(0),f(1),f(-1) có 1 số lớn hơn hoặc bằng $\frac{1}{2}$

Giả sử $f(0),f(1),f(-1)$ đều nhỏ hơn $\frac{1}{2}$, ta có:

$\left\{\begin{matrix} f(0)=b<  \frac{1}{2}\\ f(1) = a+b+1< \frac{1}{2} \\ f(-1)= 1-a+b< \frac{1}{2} \end{matrix}\right.$

Xét $f(1)= 1+a+b< \frac{1}{2}\Leftrightarrow a+b< \frac{-1}{2}$ 

Để $f(1)< \frac{1}{2}$ thì $a+b<a+\frac{1}{2}<\frac{-1}{2}\Leftrightarrow a<-1$

Đến $f(-1)$ thì rõ ràng $f(-1)>\frac{1}{2}$.

$\Rightarrow$ ĐPCM

Chẳng thấy nó liên quan gì đến Viet cả bạn?? (

Thực ra mình nhầm, tưởng đang trong TOPIC THPT, nếu bạn đã học đạo hàm và tính đồng biến, nghịch biến của hàm số, mình xin chứng minh khẳng định:

Với D là tập xác định chung của hai hàm số $f(x)$,$g(x)$, cả 2 liên tục trên D và có một hàm nghịch biến, hàm còn lại đồng biến thì phương trình $f(x)=g(x)$ có nghiệm duy nhất.

Chứng minh: 

Giả sử $f(x)=g(x)$ có 2 nghiệm phân biệt và $f(x)$ đồng biến, $g(x)$ nghịch biến, ta có $h(x) = f(x)-g(x)$ đồng biến ($-g(x)$ đồng biến).Vậy $h(x)=0$ chỉ có 1 nghiệm duy nhất $\Rightarrow f(x)=g(x)$ có nghiệm duy nhất.
Còn nghiệm nó là gì thì thường các bài toán như vậy nghiệm dễ thấy.
 

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x}+2\sqrt{x+3}=7-\sqrt{x^2+3}\\\sqrt{x+y}+\sqrt{7-y}=y^2-6y+13 \end{matrix}\right.$

$PT (1) \Leftrightarrow (\sqrt{x^2+3}-2)+(\sqrt{x}-1)+(2\sqrt{x+3}-4)=0\Leftrightarrow (x-1)(\frac{x+1}{\sqrt{x^2+3}}+\frac{1}{\sqrt{x+1}}+\frac{2}{\sqrt{x+3}+2})=0$

Do $[...]>0\Rightarrow x=1$

Thế vào ta có: $\sqrt{y+1}+\sqrt{7-y}=y^2-6y+13$

Ta có: $VT\leq 4, VP\geq 4$

Dấu "=" xảy ra $y=3$

Vậy $x=1, y=3$

Bổ sung 1 lời giải đối với phương trình $\sqrt{x}+2\sqrt{x+3}=7-\sqrt{x^2+3}$:

Với D là tập xác định chung của hai hàm số $f(x)$ và $g(x)$, cả 2 liên tục trên D và có một hàm nghịch biến, hàm còn lại đồng biến thì phương trình $f(x)=g(x)$ có nghiệm duy nhất:

$f(x)= \sqrt{x}+2\sqrt{x+3}$ dễ thấy hàm số đồng biến trên TXĐ của nó ( phải trình bày cụ thể)

$g(x)= 7-\sqrt{x^2+3}$ nghịch biến. ( trình bày cụ thể)

Do đó phương trình $f(x)= g(x)$ có nghiệm $x=1$.

Còn lại giải theo bạn.