hell angel 97

T/g:Trần Xuân Đăng (THPT chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định)
Phạm Thịnh (THPT song ngữ Vũng Tàu)
Trong kì thi IMO 42 có bài toán chứng minh BĐT do Hàn Quốc đề nghị như sau:
Bài toán 1:Chứng minh rằng:
$\sum^{a,b,c} \dfrac{a}{\sqrt{a^2+8bc}} \ge 1$ (1)
với mọi số thực dương a,b,c
Cách giải 1:Đặt vế trái của BĐT(1) là T,áp dụng BĐT bunyakovsky 2 lần ta được
$(a+b+c)^2 \le \sum^{a,b,c} \dfrac{a}{\sqrt{a^2+8bc}} . \sum^{a,b,c} a\sqrt{a^2+8bc}$
$=T.\sum^{a,b,c}\sqrt{a}\sqrt{a^3+8abc}\le T.\sqrt{(a+b+c)(a^3+b^3+c^3+24abc)}$
$\le T.\sqrt{(a+b+c)(a+b+c)^3}=T(a+b+c)^2$

Từ đó suy ra $T \ge 1$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c
Cách giải 2:Đặt $ x=\dfrac{bc}{a^2} , y=\dfrac{ca}{b^2} , z=\dfrac{ab}{c^2}$ thì x,y,z>0 và xyz=1.
Ta chuyển việc chứng minh BĐT(1) về bài toán 2 sau
Bài toán 2:Chứng minh rằng
$\sum^{x,y,z}\dfrac{1}{\sqrt{1+ 8z}} \ge 1$(2)
trong đó x,y,z là các số thực dương thoả mãn xyz=1
Lời giải:Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
$$xyz \ge 3\sqrt[3]{xyz}=3$$
$$xy+yz+zx \ge 3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}=3$$
Từ đó suy ra
$(1+8x)(1+8y)(1+8z)=1+512xyz+8(x+y+z)+64(xy+yz+xz) \ge 729=3^6$(3)
Áp dụng BĐT Cauchy ta có
$ \sqrt{1+8x}+\sqrt{1+8y}+\sqrt{1+8z} \ge 3\sqrt[6]{(1+8x)(1+8y)(1+8z)} \ge 9$(4)
Ta biến đổi BĐT (2) như sau:
$(2)\Leftrightarrow 8(x+y+z)+2\sqrt{(1+8x)(1+8y)(1+8z)}.(\sqrt{1+8x}+\sqrt{1+8y}+\sqrt{1+8z}) \ge 510$(5)
Thay thế (3)(4) vào vế trái của (5) ta thấy (5) đúng nên BĐT (2) đúng
Đẳng thức xảy ra ở (2) khi và chỉ khi x=y=z=1

_________________
MOD: Bài này nên gửi ở box OLYMPIAD