leemin

bài 5: bảng B nha
Theo cô si, ta có:

$a+b+c\geq \sqrt{a(b+c)}\Rightarrow \frac{1}{a+b+c}\leq \frac{1}{\sqrt{a(b+c)}}$

$\Rightarrow \frac{2}{a+b+c}\leq \frac{a}{\sqrt{a(b+c)}}\Rightarrow\frac{2a}{a+b+c}\leq \sqrt{\frac{a^{2}}{a(b+c)}}\Rightarrow \frac{2a}{a+b+c}\leq \sqrt{\frac{a}{b+c}}$
tương tự

$\Rightarrow \frac{2b}{a+b+c}\leq \sqrt{\frac{b}{a+c}}$

$\Rightarrow \frac{2c}{a+b+c}\leq \sqrt{\frac{c}{a+b}}$

$\Rightarrow \sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}} \geq \frac{2a}{a+b+c}+\frac{2b}{a+b+c}+\frac{2c}{a+b+c}$

có $\frac{2a}{a+b+c}+\frac{2b}{a+b+c}+\frac{2c}{a+b+c}\geq 2$

$\Rightarrow \sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\geq 2$

Do dấu "=" không thể xảy ra nên

$\Rightarrow \sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}> 2$

$VT=\frac{a^4}{ab}+\frac{b^4}{bc}+\frac{c^4}{ac}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{ab+bc+ac}$
Ta sẽ chứng minh $\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{ab+bc+ac}\geq a^2+b^2+c^2$
TƯơng đương với $a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac$
Điều này dễ dàng chứng minh.

Dùng cô si nè:
$\frac{a^{3}}{b}+ab\geq 2\sqrt{\frac{a^{3}}{b}.ab} \Rightarrow \frac{a^{3}}{b}+ab\geq 2a^{2} (do a,b,c >0)$
tương tự như vậy $\frac{b^{3}}{c}+bc\geq 2b^{2} ; \frac{c^{3}}{a}+ac\geq 2c^{2}$
suy ra
$\frac{a^{3}}{b}+\frac{b^{3}}{c}+\frac{c^{3}}{a}\geq 2a^{2} +2b^{2}+2c^{2}-(ab+bc+ac)$
có
$2(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 2ab+2bc+2ac\Rightarrow -2(a^{2}+b^{2}+c^{2})\leq -(2ab+2bc+2ac)$
do đó$\frac{a^{3}}{b}+\frac{b^{3}}{c}+\frac{c^{3}}{a}\geq 2(a^2+b^2+c^2)-(a^{2}+b^{2}+c^{2})\Rightarrow \frac{a^{3}}{b}+\frac{b^{3}}{c}+\frac{c^{3}}{a}\geq a^2+b^2+c^2$
Dấu"=" ở cô si đó

đề năm nay dễ quá, có câu cuối bài hình mình ko làm đc, các bạn làm hộ với