leemin

bài 5: bảng B nha
Theo cô si, ta có:

$a+b+c\geq \sqrt{a(b+c)}\Rightarrow \frac{1}{a+b+c}\leq \frac{1}{\sqrt{a(b+c)}}$

$\Rightarrow \frac{2}{a+b+c}\leq \frac{a}{\sqrt{a(b+c)}}\Rightarrow\frac{2a}{a+b+c}\leq \sqrt{\frac{a^{2}}{a(b+c)}}\Rightarrow \frac{2a}{a+b+c}\leq \sqrt{\frac{a}{b+c}}$
tương tự

$\Rightarrow \frac{2b}{a+b+c}\leq \sqrt{\frac{b}{a+c}}$

$\Rightarrow \frac{2c}{a+b+c}\leq \sqrt{\frac{c}{a+b}}$

$\Rightarrow \sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}} \geq \frac{2a}{a+b+c}+\frac{2b}{a+b+c}+\frac{2c}{a+b+c}$

có $\frac{2a}{a+b+c}+\frac{2b}{a+b+c}+\frac{2c}{a+b+c}\geq 2$

$\Rightarrow \sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\geq 2$

Do dấu "=" không thể xảy ra nên

$\Rightarrow \sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}> 2$

$VT=\frac{a^4}{ab}+\frac{b^4}{bc}+\frac{c^4}{ac}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{ab+bc+ac}$
Ta sẽ chứng minh $\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{ab+bc+ac}\geq a^2+b^2+c^2$
TƯơng đương với $a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac$
Điều này dễ dàng chứng minh.

Dùng cô si nè:
$\frac{a^{3}}{b}+ab\geq 2\sqrt{\frac{a^{3}}{b}.ab} \Rightarrow \frac{a^{3}}{b}+ab\geq 2a^{2} (do a,b,c >0)$
tương tự như vậy $\frac{b^{3}}{c}+bc\geq 2b^{2} ; \frac{c^{3}}{a}+ac\geq 2c^{2}$
suy ra
$\frac{a^{3}}{b}+\frac{b^{3}}{c}+\frac{c^{3}}{a}\geq 2a^{2} +2b^{2}+2c^{2}-(ab+bc+ac)$
có
$2(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 2ab+2bc+2ac\Rightarrow -2(a^{2}+b^{2}+c^{2})\leq -(2ab+2bc+2ac)$
do đó$\frac{a^{3}}{b}+\frac{b^{3}}{c}+\frac{c^{3}}{a}\geq 2(a^2+b^2+c^2)-(a^{2}+b^{2}+c^{2})\Rightarrow \frac{a^{3}}{b}+\frac{b^{3}}{c}+\frac{c^{3}}{a}\geq a^2+b^2+c^2$
Dấu"=" ở cô si đó

đề năm nay dễ quá, có câu cuối bài hình mình ko làm đc, các bạn làm hộ với

Câu 1 (2đ): cho x=$1 + \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}$ , chứng minh rằng P=$x^{3}-3x^{2}-3x+3$ là một số chính phương.
Câu 2 (6đ):

• Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^{2}+4y^{2}=5 & \\ 4xy+x+2y=7 & \end{matrix}\right.$
• Giải phương trình

$\frac{2x-1}{x^{2}}+\frac{y-1}{y^{2}}+\frac{6z-9}{z^{2}}=\frac{9}{4}$
Câu 3 (3đ) Tìm tham số m để tập nghiệm phương trình sau có đúng một phần tử:
$\frac{m^{2}x^{2}-(2m+5)x+1}{x-1}=0$
Câu 4 (7đ)
Cho (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Trên tia đối của tia AB lấy M khác A. Qua M kẻ tiếp tuyến MC, MD với đường tròn (O') ( C,D là các tiếp điểm, C nằm ngoài (O)). Đường thẳng AC cắt (O) tai P khác A, đường thẳng AD cắt (O) tại Q khác A. Đường thẳng CD cắt PQ tại K. Chứng minh:

• Tam giác BCD đồng dạng với tam giác BPQ
• Đường tròn ngoại tiếp tam giác KCP luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi.
• K là trung điểm PQ

Câu 5 (2đ)Với a,b,c là ba số thực dương, chứng minh bất đẳng thức:
$\frac{a^{3}}{b}+\frac{b^{3}}{c}+\frac{c^{3}}{a}\geq a^{2} +b^{2}+c^{2}$