Đến nội dung

davildark

davildark

Đăng ký: 27-03-2012
Offline Đăng nhập: 04-11-2014 - 22:16
****-

#473740 Tìm số lớn nhất thỏa

Gửi bởi davildark trong 29-12-2013 - 18:49

Từ một nhóm  25 người chúng ta thành lập một số nhóm nhỏ. mỗi nhóm nhỏ có đúng 5 thành viên và hai nhóm nhỏ bất kì có tối đa một thành viên chung. Hãy tìm số lớn nhất có thể của các nhóm nhỏ?

 


  • LNH yêu thích


#410935 Đề thi olympic 30/4 lớp 10 miền Nam 2012-2013

Gửi bởi davildark trong 06-04-2013 - 23:30

Sặc đề sai rùi $y-1$ không phải $1-y$




#410911 Đề thi olympic 30/4 lớp 10 miền Nam 2012-2013

Gửi bởi davildark trong 06-04-2013 - 22:12

Toạ độ trọng tâm tam giác là $x_{G}=\frac{x_{A}+x_{B}+x_{C}}{3}$

 

Và $y_{G}=\frac{y_{A}+y_{B}+y_{C}}{3}$ nên ta phải chỉ ra trong 19 cặp $(x_{i};y_{i})$ (i=1 đến 19) tồn tại 3 cặp thoả mãn

 

$3|x_{m}+x_{n}+x_{p}$

 

và $3|y_{m}+y_{n}+y_{p}$   (***)

 

Thật vậy.Trong 19 số $x_{i}$ tồn tại ít nhất 7 số $x_{1},x_{2},...,x_{7}$ đồng dư modun 3

 

xét 7 số $y_{1},y_{2},...,y_{7}$ cũng có it nhất 3 số $y_{a},y_{b},y_{c}$ đồng dư modun 3  (theo nguyên lí dirichlet)

 

Khi đó 3 cặp số $(x_{a};y_{a}),(x_{b};y_{b}),(x_{c};y_{c})$ thoả mãn  (***)

 

Hay đây là 3 đỉnh của một tam giác có trọng tâm nguyên

Dễ vậy mà làm không được :((

Thui làm câu pt hàm vậy 

Dễ dàng quy nạp được $f(n) \leq n$ với $n\equiv 1 mod 3$

Từ đó ta có $2014\geq f(2014)\geq f(2)+2012$

$\Rightarrow f(2) \leq 2$

Quy nạp 1 lần nữa ta có  $f(n) \leq n$ với $n\equiv 2 mod 3$

$\Rightarrow 2015 \geq f(2015) \geq f(3)+2012$

$\Rightarrow f(3) \leq 3 $

Từ đó dễ dàng ta có $f(2013) \leq 2013$

Mà $f(2013) \geq 2013 $

Vậy $f(2013)=2013$

 

Àh câu 2 yêu cầu tìm diện tích lục giác câu này khoai nhất @@




#409453 $\sum \frac{1}{\sqrt{ab}}...

Gửi bởi davildark trong 31-03-2013 - 15:49

Cho $ a,b,c > 0 $ và $ ab+bc+ac=3 $ Chứng minh:

$\sum \frac{1}{\sqrt{ab}}\geq \sum a$




#400346 [MO2013] - Trận 20 - Tổ hợp và rời rạc

Gửi bởi davildark trong 27-02-2013 - 10:51

Mình thử thì hình như các số 101 , 1001 , 10101 vẫn thoả điều kiện cua số x


#391805 Cho tam giác ABC có 3 điểm $A(5;1), B(-3;3), C(4;7)$, $M(2;3)...

Gửi bởi davildark trong 30-01-2013 - 19:20

Mình nói hướng làm nhé
Gọi tọa độ vecto pháp tuyến của d là $\overrightarrow{n_{d}}=(A,B)$
Dễ dàng viết pt AB AC
Do tam giác ABC cân tại A Từ đó viết pt góc giải được A B


#384257 [MO2013] - Trận 16 Đa thức, phương trình hàm

Gửi bởi davildark trong 06-01-2013 - 21:04

Lời giải

Nếu $f(y_{1})=f(y_{2}) \\ \Rightarrow (f(x))^2+y_{1}=(f(x))^2+y_{2} \\ \Rightarrow y_{1}=y_{2}$
Nên f là 1 đơn ánh
VP của (1) là 1 hàm bậc nhất theo y nên nhận tập trị trên $\mathbb{R}$ nên f nhận giá trị trên $\mathbb{R}$ nên f là 1 toàn ánh
Vậy f là song ánh
$\Rightarrow \exists \ a $ để $f(a)=0$
Trong (1) thay $x=y=a$ ta có $ f(0)=a$
Trong(1) thay $x=0$ thì $f(f(y))=(f(0))^2+y$ (2)
Trong (2) thay $y=a$ thì $ a = a^2 +a \Rightarrow a=0$
Vậy $f(0)=0$
Trong (1) thay y=0 ta có $f(xf(x))=(f(x))^2 $ (3)
Lại từ (2) ta thay y=0 thì $f(f(x))=x$
Trong (3) thay $x=f(x)$ ta có $ f(xf(x))=x^2$ (4)
Từ (3) và (4) $\Rightarrow (f(x))^2=x^2$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
f(x)=x \\
f(x)=-x
\end{matrix}\right.$
Thử lại $f(x)=x$ và $f(x)=-x$ thỏa đề bài
Vậy $f(x)=x$ và $f(x)=-x$ là 2 hàm số cần tìm
___________________________________
Điểm bài làm: $d=10$

S = 3 + 10*3 = 33


#380962 ĐỀ THI CHUYỂN HỆ KÌ I MÔN TOÁN-LỚP 10

Gửi bởi davildark trong 27-12-2012 - 19:44

Còn mỗi câu hình chém lun :D
Hình đã gửi

a) Gọi E là điểm giữa cung nhỏ BC dễ dàng chứng minh E là trung điểm $II_{a}$
Ta có $OI=OK$ và $OM=ON$
$\Rightarrow KE // MI $
Mà $ KE \perp QI_{a} $
$\Rightarrow MI \perp QI_{a}$
Mà $\widehat{IQI_{a}}=90^{\circ} \Rightarrow IQ \perp QI_{a}$
Vậy M , I , Q thẳng hàng
b) Gọi $F=QM \cap I_{a}K$ và $S=AM\cap QI_{a}$
Ta có $\widehat{FQI_{a}}=90^{\circ}$
Nên F là điểm đối xứng với $I_{a}$ qua K $\Rightarrow =\widehat{I_{a}NF}=90^{\circ}$
Xét $\bigtriangleup FII_{a}$ có $MK // II_{a} $ và K là trung điểm $FI_{a}$
$\Rightarrow MI=MF $
$\Rightarrow NF//IP \Rightarrow \widehat{NPI}=\widehat{IPI_{a}}=90^{\circ}$
$\Rightarrow IP \perp MI_{a} $
Xét $\bigtriangleup MSI_{a}$ có I là trực tâm nên $SI \perp MI_{a} $
Vậy S , I , P thẳng hàng (dpcm)
____________________

DXT:Chả hiểu sao lúc thi mình vẽ hình bài này tới 3 lần mà toàn sai! Chán chả buồn vẽ lại nữa nên bỏ nguyên câu hình!@#$



#380514 Đề thi chuyển hệ kì I THPT chuyên ĐHSPHN

Gửi bởi davildark trong 25-12-2012 - 23:32

Sang đây thảo luận :D
http://diendantoanho...962#entry380962


#379860 $\frac{1}{2x+y+6}+\frac{1}{...

Gửi bởi davildark trong 23-12-2012 - 17:43

Đặt $x=2a$ $y=2b$ $z=2c $
$\Rightarrow abc=1 $
Áp dụng AM-GM và đẳng thức này
$\frac{1}{a+ab+1}+\frac{1}{b+bc+1}+\frac{1}{c+ca+1}=1$ với $abc=1$
Ta có
$VT=\frac{1}{2}(\sum \frac{1}{2a+b+3})\leq \frac{1}{2}\sum \frac{1}{2\sqrt{ab}+2\sqrt{a}+1}=\frac{1}{4}$


#371690 I,K,L thẳng hàng

Gửi bởi davildark trong 22-11-2012 - 23:11

Được bạn à, Thoải mái. Cám ơn bạn

Hình đã gửi
Không biết đúng không nữa
Gọi $J'=BD\cap BN$
Áp dụng định lý Papus cho 2 bộ ba điểm thẳng hàng A,P,B và C,D,N với
$Q=AD \cap DC \\ J'=BD \cap PN \\ M=AN \cap BC$
$\Rightarrow Q , J' , M $ thẳng hàng
$\Rightarrow J'= QM \cap BN $
$\Rightarrow J'\equiv J $ hay B , D , J thẳng hàng

Áp dụng định lý Desargues cho $\bigtriangleup QDN$ và $\bigtriangleup MBP $ với
$K=QD \cap MB \\ L=DN \cap BP \\ I=QN \cap MP$
Mà theo phần trên ta có QM BD NP đồng quy tại J
Nên ta có I , K , L thẳng hàng


#365998 $$a^3+b^3+c^3+5abc+4\geq 4(ab+bc+ca)$$

Gửi bởi davildark trong 30-10-2012 - 19:56

Bài toán 1.[Đề thi cuối kì trường chuyên TB 2011]
Ch0 các số thực dương $a,b,c$.Chứng minh rằng:
$$(a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\geq \frac{4(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}-3$$
Bài toán 2.
Ch0 các số thực không âm $a,b,c$.Chứng minh bất đẳng thức sau:
$$a^3+b^3+c^3+5abc+4\geq 4(ab+bc+ca)$$

Bài 1 Viết lại bdt như sau
$\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+6\geq \frac{4(a+b+c)^2}{ab+bc+ac}$
$\Leftrightarrow \frac{(a+b)^2}{ab}+\frac{(b+c)^2}{bc}+\frac{(a+c)^2}{ac}\geq \frac{4(a+b+c)^2}{ab+bc+ac}$
Đúng theo Cauchy-Schwarz
Bài 2 Ta dùng dồn biến
Đặt $f(a,b,c)=a^3+b^3+c^3+5abc+4-4(ab+bc+ac)$
Ta sẽ CM $f(a,b,c)\geq f(a,\sqrt{bc},\sqrt{bc})\geq 0$
Xét $f(a,b,c)-f(a,\sqrt{bc},\sqrt{bc}) \\ =b^3+c^3-4a(b+c)-2bc\sqrt{bc}+2a\sqrt{bc} \\ =(\sqrt{b^3}-\sqrt{c^3})^2-4a(b+c-2\sqrt{bc}) \\ =(\sqrt{b}-\sqrt{c})^2(b+\sqrt{bc}+c)^2-4a(\sqrt{b}-\sqrt{c})^2 \\ =(\sqrt{b}-\sqrt{c})^2[((b+\sqrt{bc}+c)^2)-4a]$
Tới đây giả sử $a=min{a,b,c}$ thì $f(a,b,c)\geq f(a,\sqrt{bc},\sqrt{bc})$
Ta cm tiếp $f(a,\sqrt{bc},\sqrt{bc})\geq 0$
$a^3+2bc\sqrt{bc}+5abc+4\geq 8a\sqrt{bc}+4bc$
Tới đây tịt ngòi . Thử = máy tính thấy đúng mà CM chưa được


#365646 $f(x)=xf(\frac{1}{x})$

Gửi bởi davildark trong 28-10-2012 - 21:52

Em thì làm theo cách khác
Cho $x=y$ ta có $2f(x)=1+f(2x)$
$f(2x)=2xf(\frac{1}{2x})=x.2f(\frac{1}{2x})=x(1+f(\frac{1}{x}))=x+xf(\frac{1}{x})=x+f(x)$
$f(2x)=f(x+x)=f(x)+f(x)-1=2f(x)+1$
$\Rightarrow 2f(x)-1=f(x)+x $
$\Rightarrow f(x)=x+1$


#364747 Đề thi HSG 12 tỉnh Bình Định năm 2013

Gửi bởi davildark trong 25-10-2012 - 18:42

Bài 5 (2,0 đ).

Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa:

$i)$ $f(0)=\frac{1}{2}$
$ii)$ Với mọi $x,y \in \mathbb{R}$ tồn tại $a \in \mathbb{R}$ sao cho:$ f(x+y)=f(x)f(a-y)+f(y)f(a-x)$.


Cho $x=y=0$ ta có $\frac{1}{2}=\frac{1}{2}f(a)+\frac{1}{2}f(a)\Rightarrow f(a)=\frac{1}{2}$
$y=0$ thì $f(x)=f(a-x)$
$\Rightarrow f(x+y)=f(x)f(a-y)+f(y)f(a-x)=2f(x)f(y)$
$f(a)=f(a-x+x)=2f(a-x)f(x)=2(f(x))^2\Rightarrow (f(x))^2=\frac{1}{4}\Rightarrow f(x)=\frac{1}{2}$


#364326 Tìm quỹ tích điểm $M$

Gửi bởi davildark trong 23-10-2012 - 22:11

Hình đã gửi
$F=DI \ \cap \(O) $ nên F cố định
E là trung điểm KF
Dễ dàng CM K là trung điểm BC và $IF=FC$
$\Rightarrow EM=\frac{IF}{2}=\frac{FC}{2}$
Vậy M di chuyển trên đường tròn tâm E bán kính $\frac{FC}{2}$