davildark

Câu 1a Tính ra $x=\sqrt{2}$
=> A=1
Câu 2a thay y=x+1 ta có pt
$(x+1)^{2}-3(x+1)\sqrt{x}+2x=0$
Đặt $\sqrt{x}=t ( t\geq0)$
PT $\Leftrightarrow t^{4}-3y^{3}+4y^{2}-3y+1=0$
$\Leftrightarrow (t-1)(t^{3}-2t^{2}+2t-1)=0$
$\Leftrightarrow (t-1)^{2}(t^{2}-t+1)=0$
$\Leftrightarrow t=1$
$\Leftrightarrow x=1$ $\Rightarrow y=2$
Vậy điểm cần tìm là (1,2)
2b y qua B(2,1)=> 1=2a+b =>b=1-2a
Vậy y=ax+1-2a
PT hoành độ giao điểm
$2x^{2}=ax+1-2a$
$\Leftrightarrow 2x^{2}-ax+2a-1=0$
$\bigtriangleup =a^{2}-8(2a-1)=a^{2}-16a+8$
Để y tiếp xúc P thì $\bigtriangleup =0$
=> $a=8+2\sqrt{14}$ hoặc $a=8-2\sqrt{14}$
=>$b=-15+4\sqrt{14}$ hoặc $b=-15-4\sqrt{14}$
vây $(a;b)=(8+2\sqrt{14};-15-4\sqrt{14}) , ( 8-2\sqrt{14};-15+4\sqrt{14})$
Câu 3a PT có 2 nghiệm $(x,y)=(\frac{7}{3};\frac{-4}{3}),(-3;4)$

3b $ \bigtriangleup =(20a-11)^{2}+2012^{2}> 0 , \forall a$
=> pt lun có nghiệm. Theo viete ta có

$ \left\{\begin{matrix}
S=x_{1}+x_{2}=20a-11\\
P= x_{1}\cdot x_{2}=1

\end{matrix}\right.$
$\frac{x_{1}-x_{2}}{2}+\frac{1}{x_{1}}-\frac{1}{x_{2}}=\frac{(xy-1)(x-y)}{2xy}=0$
Vậy $P=\frac{3}{2}.(x_{1}-x_{2})^{2}=\frac{3}{2}(S^{2}-4P)=\frac{3}{2}\left [ (20a-11)^{2}-4 \right ]=\frac{3}{2}(20a-11)^{2}-6\geq -6$
Dấu = xảy ra khi $a=\frac{11}{20}$
Câu 4b gọi số bóng của 7 nguoi lần lượt là $a_{1},a_{2}...a_{7}$
Giả sử $a_{1}< a_{2}< a_{3}< ...<a_{7}$
Ta có $ a_{1}+ a_{2}+ a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}+a_{7}=100$
$\Rightarrow 7a_{7}>100 \Rightarrow a_{7}>14$
Xét TH $a_{7}=15 $
Nếu ta chọn $a_{1},a_{2}...,a_{6}$ là các số lien tiếp sau 15 thì
$a_{1}+ a_{2}+ a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}+a_{7}=15+14+13+12+11+10+9=84<100 $(loại)
Tương tự TH $a_{7}=16,17$ cũng loại vì tổng 7 số vẫn < 100
TH $a_{7}=18$
$\Rightarrow a_{1}+ a_{2}+ a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}+a_{7}=18+17+16+15+14+13+12=105>100$ (nhận)
Khi đó $ a_{7}+a_{6}+a_{5}=18+16+17=51>50$
Tương tự với các TH $a_{7} >18$ thì ta luôn chọn được 3 số có tổng >50
Vậy luôn có 3 học sinh ném được tổng số quả bóng vào rổ không ít hơn 50 quả.

Mở hàng lun
Bài2
a) Áp dụng Ta-lét vào EB//HL//DC
$\frac{AH}{EB}=\frac{AC}{EC}=\frac{AD}{AB}=\frac{AL}{EP}$
=> AH=AL
b) EB//DC => AB.AC=AE.AD
=>S(ABC)=S(AED)
c) $\frac{EB}{DC}=\frac{AB}{AD}\frac{EB}{DC}=\frac{AB}{AD}\Rightarrow \frac{BP}{AB}=\frac{DQ}{AD}$ (VÌ P,Q là trung điểm của EB và DC)
$\Rightarrow \bigtriangleup BPA$~$ \bigtriangleup DQA$ (c-g-c)
$\Rightarrow \widehat{PAB}=\widehat{DAQ}$ => P,Q,A thẳng hàng
OP//EC mà $AB\perp EC$ => $OP \perp AB$
=>OP là trung trực của OA => $\bigtriangleup APO=\bigtriangleup BPO$
=>$\widehat{PAO}=\widehat{PBO}=90^{\circ}$
=> DPCM
Bài4
a)$\widehat{CAD}=180^{\circ}-(\frac{\widehat{AOB}+\widehat{AO'B}}{2})$
=> không đổi
b)$\widehat{ECD}+\widehat{CDE}=\widehat{CAB}+\widehat{DAB}=\widehat{CAD}$
=>$\widehat{CED}+\widehat{CAD}=180^{\circ}$ (ta cũng có thể suy ra góc CED không đổi)
=>ECAD nội tiếp hay A,C,D,E cùng thuộc 1 đường tròn
Bài5
a) Đặt AE=x , ED=y
Ta có hệ pt $\left\{\begin{matrix}
(x+2)^{2}+(y+8)^{2}=13^{2}\\
x^{2}+y^{2}=25
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x=4\\
y=3

\end{matrix}\right.$
Vậy AE=3
b) S(ABCD)=S(EBC)-S(AED)=24(các bạn tự thay số tính)
-----------------------------------------------------------------------------
Bài 3 bạn xem lại xem có đúng đề ko
Bài 1 dài quá lười gõ LATEX

Bài 2a
$\sqrt{x}-2+\sqrt[4]{20-x}-2=0$
$\Leftrightarrow \frac{x-4}{\sqrt{x}+2}+\frac{\sqrt{20-x}-4}{\sqrt[4]{20-x}+2}=0$
$\Leftrightarrow \frac{x-4}{\sqrt{x}+2}+\frac{4-x}{(\sqrt[4]{20-x}+2)(\sqrt{20-x}+4)}=0$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x=4\\
\sqrt{x}+2=(\sqrt[4]{20-x}+2)(\sqrt{20-x}+4) (2)

\end{matrix}\right.$
Từ pt ta đặt $\sqrt{20-x}=y (y\geq0) $ cho dễ lý luận
$(2)\Leftrightarrow \sqrt{20-y^{2}}=(y^{2}+2)(y+4)$
VT<7 mà VT>8 Vậy pt có 1 nghiệm là x=4

Còn 1 bài nữa post lun vậy
$x=\sqrt[3]{7+\frac{7}{2\sqrt{2}}}+\sqrt[3]{7-\frac{7}{2\sqrt{2}}}$
$\Rightarrow x^{3}=14+3x\cdot \frac{7}{2}\Rightarrow 2x^{3}-21x-28=0$
$\Rightarrow f(x)=(2x^{3}-21x-29)^{2012}=(-1)^{2012}=1$

Bài 4

câu a chắc khỏi làm quá quen thuộc rùi
câu b gọi J là tâm đường tròn ngoại tiếp $\bigtriangleup MNC$
Cm BMNC nội tiếp để => B cũng thuộc đường tròn đó
Gọi I là giao điểm của AH và MN => $ JI\perp MN $ mà theo câu a $ OA \perp MN $ => IJ // OA
CM tương tự OJ // AI
Vậy AIJO là hình bình hành
=> $OJ=AI=\frac{AH}{2 }=\frac{\sqrt{2}}{2}$
$ OB=AB=\frac{AB}{2 }=\frac{\sqrt{7}}{2}$
=> $BJ=\sqrt{OB^{2}+OJ^{2}}=\sqrt{(\frac{\sqrt{7}}{2})^{2}+(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}}=\frac{3}{2}$

Câu 3c Giả xử $x \geq y$
$\Rightarrow A\geq (x+y)\sqrt{3+y}\geq 2012\sqrt{3}$
Dấu = xảy ra khi $x=2012$ $y=0$ và hoán vị
Câu 4

câu a quá quen thuộc
câu b CM $ OA \perp EF $
$ \Rightarrow S(AEOF)=\frac{1}{2}\cdot OA\cdot EF$
$ BC=2R \sin \widehat{BAC} =R\sqrt{3}$
$\bigtriangleup AEF$ ~ $\bigtriangleup ABC
\Rightarrow \frac{AE}{AB}=\frac{EF}{BC}\Rightarrow EF=\cos \widehat{BAC}\cdot BC=\frac{\sqrt{3}}{2}R$
$\Rightarrow S(ABCD)=\frac{1}{2}\cdot OA\cdot EF=\frac{1}{2}\cdot R\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}R=\frac{\sqrt{3}}{4}R^{2}(đvdt))$

Giải PT $ x^{2}+\frac{25x^{2}}{(x+5)^{2}}=11 $

Bài 8 (PT) Vì ĐKXĐ của pt là $x\neq 0$ nên ta chỉ xét 2 TH
TH 1 $x>0$
Bất phương trình cần CM
$\Leftrightarrow \sqrt[3]{25x^{4}(2x^{2}+9)}\geq 4x^{2}+3$
Mà $$
\sqrt[3]{25x^{4}(2x^{2}+9)}=\sqrt[3]{5x^{2} 5x^{2}(2x^{2}+9)}\leq\sqrt[3]{\frac{(5x^{2}+5x^{2}+2x^{2}+9)^{3}}{27}}=\frac{12x^{2}+9}{3} = 4x^{2}+3$$
Dấu = xảy ra khi $5x^{2}=2x^{2}+9\Leftrightarrow x= \pm \sqrt{3}$
Vậy pt có nghiệm là $x= \pm \sqrt{3}$
TH 2 $x<0$
Bất phương trình cần CM
$\Leftrightarrow \sqrt[3]{25x^{4}(2x^{2}+9)}\leq 4x^{2}+3$
Theo nhận xét trên thì bất phương trình đúng với mọi x<0
Vậy PT có ngiệm là $x<0$ và $x=\sqrt{3}$

MÌnh giải câu trên bằng bu-nhi-a-cốp-ski
$$A=-1+(-2)(x-2)+\sqrt{1(5-x^{2}+4x)}$$
$$\leq -1+\sqrt{4+1}\sqrt{(x^{2}-4x+4)+(5-x^{2}+4x)}=-1+3\sqrt{5}$$
Dấu ''='' xảy ra khi

$\left\{\begin{matrix}
-2\sqrt{5-x^{2}+4x}=x-2\\
-1\leq x\leq 5
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=2-\frac{6}{\sqrt{5}}$
Cm hoàn tất

Mình làm thử bài 3 a/ ( không biết có đúng ko)
Dễ dàng tìm được a là nghiệm cua 2 pt
$4a^{2}-4a-1=0$ và $16a^{4}-24a^{2}+1=0$
$$\Rightarrow a^{4}=\frac{24a^{2}-1}{16}=\frac{24a+6-1}{16}=\frac{24a+5}{16}$$
$$\Rightarrow 16a^{8}=16(\frac{24a+5}{16})^{2}=\frac{576a^{2}+240a+25}{16}$$
$$16a^{8}-51a=\frac{576a^{2}+240a+25-816a}{16}=\frac{576a^{2}-576a+25}{16}==\frac{576a+144-576a+25}{16}=\frac{169}{16}$$
$\Rightarrow \sqrt{16a^{8}-51a}=\sqrt{\frac{169}{16}}=\frac{13}{4}$
3/b BĐT cần CM$$\Leftrightarrow \frac{(a+b)^{2}}{2}+\frac{a+b}{4}\geq \sqrt{ab}(\sqrt{a}+\sqrt{b})$$
$$ \frac{(a+b)^{2}}{2}+\frac{a+b}{4}\geq 2\sqrt{\frac{(a+b)^{2}(a+b)}{8}}=\frac{a+b\sqrt{a+b}}{\sqrt{2}}$$
Mà $$a+b \geq 2\sqrt{ab} ; \sqrt{a+b}\geq \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{2}}$$
$$\Rightarrow \frac{a+b\sqrt{a+b}}{\sqrt{2}}\geq \frac{2\sqrt{ab}(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{2}=\sqrt{ab}(\sqrt{a}+\sqrt{b})$$
$\Rightarrow dpcm$
Dấu ''='' xảy ra khi
$\left\{\begin{matrix}
4(a+b)^{2})=2(a+b)\\
a=b

\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
a=b=0\\
a=b=\frac{1}{4}
\end{matrix}\right.$

Để mình chém lun vài bài của hệ phương trình
Bài 3 nhân 4 cho pt thứ 2 rùi cộng với pt 1
$$ =>x^{3}-xy^{2}+2000y+4y^{3}-4yx^{2}-2000x=0
<=>x(x-y)(x+y)-4y(x-y)(x+y)-2000(x-y)=0$$
$<=>(x-y)[x^{2}-3xy-4y^{2}-2000=0-2000]=0
<=>\left\{\begin{matrix}
x=y\\
x^{2}-3xy-4y^{2}=2000

\end{matrix}\right.$
TH1 x=y thì dễ rồi
TH2 $\left\{\begin{matrix}
x^{2}-3xy-4y^{2}=2000\\
x^{3}-xy^{2}+2000y=0 (1)

\end{matrix}\right.$
$(1)<=>x^{3}-xy^{2}+(x^{2}-3xy-4y^{2})y=0
<=>x^{3}-xy^{2}-4xy^{2}-4y^{3}=0
<=>(x+y)(x^{2}-4y^{2})=0
<=>x=-y$ hoac $x^{2}=4y^{2}$
Các bạn tự giải tiếp nha
Bài 5 ĐKXĐ $xy \leq\frac{1}{4} $
Mà Từ pt đầu $=> 2\sqrt{xy}\geq 1
<=> xy \geq \frac{1}{4}$
Vậy $xy=\frac{1}{4}$ Tới đây các bạn tự giải vậy

a=min{a,b,c} thì làm sao có $a+b \leq 2c$ được hả bạn
Phải là c=max{a,b,c} chứ

Mình xin làm bài 5

$1+8a^{3}=(2a+1)(4a^{2}-2a+1)\leq (\frac{(2a+1+4a^{2}-2a+1)}{2})^{2}=(2a+1)^{2}$
=>$\sqrt{1+8a^{3}}\leq2a^{2}+1$
Tượng tự
$\sqrt{1+8b^{3}}\leq2b^{2}+1$
$\sqrt{1+8c^{3}}\leq2c^{3}+1$
=> $\frac{1}{\sqrt{1+8a^{3}}}+\frac{1}{\sqrt{1+8b^{3}}}+\frac{1}{\sqrt{1+8c^{3}}} \geq \frac{1}{2a^{2}+1}+\frac{1}{2b^{2}+1}+\frac{1}{2c^{2}+1} \geq \frac{9}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+3}=\frac{9}{6+3}=1$
=>dpcm
Đấu bằng xảy ra <=> a=b=c=1