davildark

Góp 2pic 2 bài

Bài 88 Cho tam giác ABC nội tiếp (O) phân giác trong góc A cắt BC và (O) tại $A_{1}$ và $A_{2}$. Các điểm $B_{1}$ $B_{2}$ $C_{1}$ $C_{2}$ xác định tương tự CHứng minh
$$\frac{A_{1}A_{2}}{BA_{2}+A_{2}C}+\frac{B_{1}B_{2}}{CB_{2}+B_{2}A}+\frac{C_{1}C_{2}}{AC_{2}+C_{2}B}\geq \frac{3}{4}$$
Bài 89 Cho lục giác ABCDEF có $AB=BC$ $CD=DE$ $AF=FE$ Chứng minh
$$\frac{DC.DE}{AD^2}+\frac{FE.FA}{CF^2}+\frac{BA.BC}{BE^2}\geq \frac{3}{4}$$

Bài toán. Cho các số thực dương $a;b;c$ thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng

$$\frac{a^2+3b^2}{ab^2(4-ab)}+\frac{b^2+3c^2}{bc^2(4-bc)}+\frac{c^2+3a^2}{ca^2(4-ca)} \geq 4$$

Nguồn $\fbox{$\text{[Turkish MO 2007]}$}$

Ta có

$$\frac{a^2+3b^2}{ab^2(4-ab)}\geq \frac{2ab+2b^2}{ab^2(4-ab)}=\frac{2(a+b)}{ab(4-ab)}\geq \frac{4}{\sqrt{ab}(4-ab)}$$

Vậy bài toán quy về CM
$$\sum \frac{1}{\sqrt{ab(4-ab)}}\geq 1$$

Ta có $$ab(4-ab)^3=\frac{1}{3}.3ab(4-ab)(4-ab)(4-ab)\leq \frac{1}{3}(\frac{12}{4})^4=27$$
$$\Rightarrow \sqrt[3]{ab}(4-ab)\leq 3$$
$$\sum \frac{1}{\sqrt{ab}(4-ab)}=\sum \frac{1}{\sqrt[6]{ab}}.\frac{1}{\sqrt[3]{ab}(4-ab)}\geq \frac{1}{3}\sum \frac{1}{\sqrt[6]{ab}}.(1) $$
Mà $a+b+c=3 \Rightarrow abc \le 1$
$$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt[6]{ab}}+\frac{1}{\sqrt[6]{bc}}+\frac{1}{\sqrt[6]{ac}}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{\sqrt[6]{a^2b^2c^2}}}\geq 3 (2) $$
Từ (1) và (2) ta có Q.E.D
Dấu = xảy ra khi $a=b=c=1$

Đề là 11 hay 14 thế . Mình nhớ bài này hình như là đề thi 30/4 thì phải

Đề thi "Hướng tới Olympic Toán 2013"

Khối 10


Bài 3.
Chứng minh rằng với mọi $x,y,z>0$ ta có:
$$\dfrac{3x}{y}+\dfrac{4y}{z}+16\sqrt{\dfrac{z}{3x+y}} \ge 15$$

Đặt $\frac{x}{y}=a$ $\frac{y}{z}=b$ $\Rightarrow \frac{x}{z}=ab$


Bất đẳng thức tương đương
$$3a+4b+\frac{16}{\sqrt{3ab+b}}=3a+4b+\frac{32}{\sqrt{4b(3a+1)}}\geq 3a+4b+\frac{64}{3a+4b+1}=(3a+4b+1)+\frac{64}{3a+4b+1}-1\geq 16-1=15$$

Vậy bạn trình bày cách giải của bạn cho mình xem đi

$$GT \Leftrightarrow x+\frac{1}{y}=y+\frac{1}{z}=z+\frac{1}{x}$$
$$(x-y)(y-z)(z-x)=(\frac{1}{z}-\frac{1}{y})(\frac{1}{x}-\frac{1}{z})(\frac{1}{y}-\frac{1}{x})=\frac{(x-y)(y-z)(z-x)}{(xyz)^2}$$
$$\Rightarrow \boxed {x^2y^2z^2=1} $$
Để CM $x=y=z$ thì mình nghĩ phải thêm DK là x y z là số dương
Thật vậy
Giả sử $x = max {a;b;c} $
Ta có
$$x-y=\frac{1}{z}-\frac{1}{y}$$
$$ \Rightarrow \frac{1}{z} \geq \frac{1}{y} \Rightarrow y \geq z$$
Tương tự ta có $ z \geq x$
$\Rightarrow$ $\boxed {x=y=z} $

Tự sướng lv bá đạo

$\Rightarrow p\vdots xy$
Mà p là số nguyên tố và x,y có vai trò tương đương nhau
$\Rightarrow x=1,y=p$
$\Rightarrow 3p=p^{2a+b}\Leftrightarrow 3=p^{2a+b-1}$
$\Rightarrow p\vdots 3$
Em trả lời vậy được không anh (mình không phải defaw nha)

Bạn nhầm rồi $xy \vdots p$ chứ không phải $p\vdots xy$

Chứng minh rằng với mọi x, y, z dương ta có:
$(1+\frac{x}{y})+(1+\frac{y}{z})+(1+\frac{z}{x})\geq 2+\frac{2(x+y+z)}{\sqrt[3]{xyz}}$

Đề sai rồi đề đúng phải là như sau
$(1+\frac{x}{y})(1+\frac{y}{z})(1+\frac{z}{x})\geq 2+\frac{2(x+y+z)}{\sqrt[3]{xyz}}$

Tìm số nguyên tố p để tồn tại các số nguyên dương x , y , n thỏa $p^n=x^3+y^3$

Để ủng hộ topic mình xin úp hình bạn mình


Ném gạch đi anh em

Lạ nhỉ,phần này mình biến đổi <=> ra là $\sqrt{3}x+2\sqrt{x}-\sqrt{3}\geq 0$
Đến đây sao làm tiếp hả bạn

Mình nhầm sau khi nhờ sư trợ giúp ta sẽ CM như sau
$$2x(1-x)^2=2x(1-x)(1-x)\leq \frac{8}{27}\Rightarrow \sqrt{x}(1-x)\leq \frac{2}{3\sqrt{3}}$$
$$\frac{\sqrt{x}}{1-x}=\frac{x}{\sqrt{x}(1-x)}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}x$$
Làm tương tự cộng lại ta có Q.E.D

Bài 468: Cho 3 số dương x,y,z có x+y+z=1. Chứng minh:
$\frac{1+\sqrt{x}}{y+z}+\frac{1+\sqrt{y}}{z+x}+\frac{1+\sqrt{z}}{x+y}\geq \frac{9+3\sqrt{3}}{2}$

$$\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}+\frac{1}{x+y}\geq \frac{9}{2(x+y+z)}=\frac{9}{2}$$
$\frac{\sqrt{x}}{y+z}=\frac{\sqrt{x}}{1-x}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}$ ( Chứng minh bằng tương đương )
Làm tương tự cộng với trên có Q.E.D

Bài 443 . Cho $a,b,c>0$ và $abc=1$. Chứng minh:
$$\sum \frac{1}{2(a^3+1)+b^3+c^3}\leq \frac{1}{2}$$

Ta có
$$2(a^3+1)+b^3+c^3=a^3+b^3+a^3+c^3+2\geq ab(a+b)+abc+ac(a+c)+abc=a(b+c)(a+b+c)\geq 2a\sqrt{bc}(a+b+c)$$
$$\Rightarrow \sum \frac{1}{2(a^3+1)+b^3+c^3}\leq \sum \frac{1}{2a\sqrt{bc}(a+b+c)}=\sum \frac{\sqrt{bc}}{2(a+b+c)}\leq \frac{a+b+c}{2(a+b+c)}=\frac{1}{2}$$
Dấu = xảy ra khi $a=b=c=1$

Bài 444 . Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=1$. Chứng minh rằng:
$$2\left ( \frac{ab}{c+ab}+\frac{bc}{a+bc}+\frac{ca}{b+ca} \right )\geq \sqrt{ \frac{ab}{c+ab}}+\sqrt{\frac{bc}{a+bc}}+\sqrt{\frac{ca}{b+ca}}$$

Mình post lại bài này tại vì mất nút xóa rùi có nút xóa mình sẽ xóa post cũ

Ta có
$$\sum \sqrt{\frac{ab}{ab+c}}=\sum \sqrt{\frac{ab}{(a+c)(b+c)}}\leq \frac{1}{2}(\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c})=\frac{3}{2}$$ (1)

$$\sum \frac{ab}{ab+c}\geq \frac{(ab+bc+ac)^2}{a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2+3abc}=\frac{(ab++bc+ac)^2}{(ab+bc+ac)^2+abc(a+b+c)}\geq \frac{(ab+bc+ac)^2}{(ab+bc+ac)^2+\frac{1}{3}(ab+bc+ac)^2}=\frac{3}{4}$$ (2)
Từ (1) và (2) $$ \Rightarrow 2\sum \frac{ab}{ab+c}\geq \frac{3}{2}\geq \sum \sqrt{\frac{ab}{ab+c}}$$
Dấu = xảy khi $a=b=c=\frac{1}{3}$