Alexman113

Cho $a,b,c \ge 0$ và không có 2 số nào đồng thời bằng 0. Chứng minh:$$\dfrac{ab}{(a+b)^2}+\dfrac{bc}{(b+c)^2}+ \dfrac{ca}{(c+a)^2} \le \dfrac{1}{4}+\dfrac{4abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$$

Em nghĩ vậy không biết sai sót gì xin chỉ báo giúp em.

Đặt $\sqrt{2+\sqrt{x}}=a\geq 0$ ; $\sqrt{2-\sqrt{x}}=b$
Ta có $ab=\sqrt{4-x}$
PT $\Leftrightarrow \frac{a^2}{\sqrt2+a}+\frac{b^2}{\sqrt2-b}=\sqrt2$
$\Rightarrow \sqrt2(a^2+b^2-2+ab)-ab(a-b)=2(a-b)$
$\Rightarrow \sqrt2(2+ab)=(2+ab)(a-b)$ chú ý $a^2+b^2=4$
Đến đây thì đơn giản rồi.
Vậy: phương trình đã cho có nghiệm x=3

Để hâm nóng lại topic này mạn phép đăng lên một số bài để các em lớp 9 ôn tập thi vào lớp 10 CHUYÊN và KHÔNG CHUYÊN.
ĐỀ BÀI:
Bài 1. Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt[3]{(2-x)^2}+\sqrt[3]{(7+x)^2}-\sqrt[3]{(7+x)(2-x)}=3$

b) $(12x-1)(6x-1)(4x-1)(3x-1)=5$

c) $x^2-3x+1=-\dfrac{\sqrt3}{3}\sqrt{x^2+x^2+1}$

d) $\sqrt{1+\sqrt{1-x^2}}\left( \sqrt{(1-x)^3}-\sqrt{(1+x)^3} \right)=2+\sqrt{1-x^2}$

e) $\dfrac{4x}{x^2+x + 1}-\dfrac{3x}{x^2+2x+1}=1$

f) $\sqrt{x-1+2\sqrt{x-2}}+\sqrt{x-1-2\sqrt{x-2}}=2$

Bài 2. Cho $a, b$ là các số thực thỏa mãn điều kiện phương trình:$ x^4+ax^3+bx^2+ax+1=0 $ có nghiệm thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của $H=a^2+b^2$.

Bài 3. Các số $\alpha, \beta$ thỏa mãn đẳng thức sau:$$\alpha^3-3\alpha^2+5\alpha=1, \beta^3-3\beta^2+5\beta=5$$ Hãy tính $C=\alpha+\beta$

Bài 4. Cho phương trình: $2(x^2-1)=x(px+1)$
a) Tìm $p$ để phương trình nhận $x=1$ làm nghiệm.
b) Tìm $p$ để phương trình có nghiệm duy nhất.

Bài 5. Cho $a<b<c$ là ba nghiệm của phương trình: $x^3-3x+1=0$. Chứng minh rằng: $$a^2-c=b^2-a=c^2-b=2$$

Bài 6. Chứng minh rằng: nếu $a_1a_2\geq2(b_1+b_2)$ thì ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm. $$x^2+a_1x+b_1=0 ; x^2+a_2x+b_2=0$$

Bài 7. Biết $a, b$ là hai nghiệm phương trình: $x^2+mx+1=0$ & $b, c$ là hai nghiệm phương trình: $x^2+qx+2=0$
Chứng minh rằng: $(b-a)(b-c)=pq-6$

Bài 8. Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{matrix} x^3-3x=y^3-3y \\ x^6+y^6=1 \end{matrix} \right.$

Bài 9. Cho $ \triangle ABC$ vuông tại $A$, $AD$ là phân giác $(D\in BC)$. Cho $AB=c, AC=b$. Chứng minh rằng: $AD=\dfrac{\sqrt2bc}{(b+c)}$

Bài toán: Giải phương trình: \[\frac{{3 + \sqrt x }}{{{x^2} + x\sqrt x + x + 3}} + \frac{{x + \sqrt x + 2}}{{{x^2} + x\sqrt x + 4}} + \frac{{x\sqrt x + x + 2}}{{{x^2} + \sqrt x + 4}} + \frac{{{x^2} + x\sqrt x + 2}}{{x + \sqrt x + 4}} + \frac{{{x^2} + 3}}{{x\sqrt x + x + \sqrt x + 3}} = \frac{{10}}{3}\]

---

Treo thưởng: Bạn nào đưa ra lời giải đúng và sớm nhất sẽ nhận được một thẻ nạp điện thoại trị giá 20k. Hỗ trợ cho tất cả các mạng di động kèm theo đó là một phần quà khác (xin giữ bí mật) .

Đây chỉ mang giá trị tinh thần nên các bạn cứ thoải mái nhé.

Chấm bài: Chấm bài từ dưới lên trên. Tức là, xem kết quả, nếu kết quả đúng thì chấm tiếp phần trên, còn không thì miễn xem tiếp (đọc nhiều mỏi mắt ấy mà)

Trình bày rõ ràng bằng $\LaTeX$

Khi giải bài nhớ kèm theo số ĐT nhé. Mình sẽ tự động gửi cho người thỏa mãn các yêu cầu trên sau đó công bố kết quả.

Nhanh tay nào.

Em vừa định giải thì anh Phạm Hữu Bảo Chung làm rồi nên thôi post vài ý cho vui vậy.
Đầu tiên cho em hỏi có phải vì anh Phạm Hữu Bảo Chung thấy tổng của tử và mẫu đều bằng nhau nên mới cộng 5 vào hai vế rồi mới áp dụng BĐT Schwarzt không ạ?
Em thì cũng thế nhưng để khỏi vướng mắt ta làm như sau:
Nhận thấy điểm rơi là $x=1$ ta đặt ẩn phụ rồi mới dùng BĐT. Đặt $a=2, b= \sqrt x+1, c=x+1, d= x\sqrt x+1, e=x^2+1 $ đến đây thì làm được rồi.

Cho các số thực $a, b, c$ thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng \[ \left(\frac{a^{2}-bc}{b-c}\right)^{2}+\left(\frac{b^{2}-ca}{c-a}\right)^{2}+\left(\frac{c^{2}-ab}{a-b}\right)^{2}\ge 18 \]

---------
Chào bạn ! Bạn đã đặt sai tiêu đề.
Bạn nên đọc những bài viết sau trước khi gửi bài nhé.

$\to$ Nội quy diễn đàn Toán học

$\to$ Thông báo về việc đặt tiêu đề

Lần này mod sửa giúp bạn, nếu bạn còn tái phạm thì bài viết sẽ bị xóa mà không báo trước.

Không dùng máy tính hãy tính chính xác: $\sin 15^{o}$ và $\cos 15^{o}$