danganhaaaa

Dễ thấy x=2 là nghiệm của phương trình. Ta có
$x^3-3x=\sqrt{x+2}$
$\Leftrightarrow x^3-8-3(x-2)=\sqrt{x+2}-2$
$\Leftrightarrow (x-2)(x^2+2x+1)=\frac{x-2}{\sqrt{x+2}+2}$
+x=2(chọn)
+x khác 2
$pt\Leftrightarrow (x+1)^2(\sqrt{x+2}+2)=1$
Đặt a=$\sqrt{x+2}$
ta được pt
$(a^2-1)^2(a+2)=1$
$(a^3+a^2-2a-1)(a^2+a-1)=0$ (cái này ai không tin thì cứ thử nhân bung ra nhé!!!)
$\Leftrightarrow .....$

à mà thôi.tớ ra rồi.
lấy hai vế pt đầu trừ đi 3 lần hai vế pt thứ hai ta được $(x-2)^3=(3-y)^3$
Suy ra x-5=y
Thay vào bất kì pt nào của hệ đầu ta được nghiệm pt!!!

BĐT $\Leftrightarrow x+y+z+2(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz})\leq \frac{9}{4}xyz=\frac{9}{4}(x+y+z+2)$
$\Leftrightarrow \sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\leq \frac{5}{8}(x+y+z)+\frac{9}{4}$
lại có $\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\leq x+y+z$
suy ra ta cần chứng minh $x+y+z\leq \frac{5}{8}(x+y+z)+\frac{9}{4}\Leftrightarrow x+y+z\leq 6$
từ giả thiết xyz=x+y+z+2 và áp dụng BĐT $(x+y+z)^{3}\geq 27xyz$ ta được x+y+z$\leq 6$.(đpcm)

Tớ nghĩ đề đúng phải là $\left\{\begin{matrix} 2x^3+x^2y+xy^2+(x+\frac{y}{2})^2=y^3-\frac{3}{4}y^2\\ \sqrt{2+x}+\sqrt{2y-1}=5 \end{matrix}\right.$
nếu là như vầy thi giải như sau:
ta có $pt (1)\Leftrightarrow 2x^3+x^2y+xy^2+x^2+xy+\frac{y^2}{4}=y^3-\frac{3}{4}y^2$
$\Leftrightarrow 2x^3+x^{2}y+xy^2+ x^2+xy+y^2-y^3 =0$
$\Leftrightarrow x^2(x+1)+xy(x+1)+y^2(x+1)+(x-y)(x^2+xy+y^2)=0$
$\Leftrightarrow (x+1)(x^2+xy+y^2)+(x-y)(x^2+xy+y^2)$
$\Leftrightarrow (x^2+xy+y^2)(2x-y+1)=0\Leftrightarrow y=2x+1$ (vì pt còn lại luôn lớn hơn 0)
thay vào pt (2)ta được $\sqrt{2+x}+\sqrt{4x+1}=5$ (x=2 là nghiệm của pt này).

$3(\sqrt{2x^2+1}-1)=x(1+3x+\sqrt{2x^2+1})$
$\Leftrightarrow 3\frac{2x^2}{\sqrt{2x^2+1}+1}=x(1+3x+\sqrt{2x^2+1})$ư
Với x=0(là nghiệm của pt)
Với x khác 0
pt$\Leftrightarrow 3\frac{2x}{\sqrt{2x^2+1}+1}=1+3x+\sqrt{2x^2+1}$
$\Leftrightarrow \frac{6x}{\sqrt{2x^2+1}+1}=1+\sqrt{2x^2+1}+3x$
Đặt $\sqrt{2x^2+1}+1=a,3x=b$
suy ra pt $\frac{2b}{a}=a+b$ $\rightarrow OK$