danganhaaaa

1.Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất
$\sqrt{1-x^2} +2\sqrt[3]{1-x^2}=m$
2.GPT
a, $\frac{2\sqrt2}{\sqrt{x+1}}+\sqrt{x}=\sqrt{x+9}$
b,$13\sqrt{x^2-x^4}+9\sqrt{x^2+x^4}=16$

Cho x+y+z=3 và x,y,z >0. Chứng minh rằng
$\frac{x}{xy+1}+\frac{y}{yz+1}+\frac{z}{xz+1}\geq \frac{3}{2}$
Tiện thể ai làm hộ tớ bài GPT hôm trước tớ đăng nhé!

Giải phương trình:$$\sqrt{x^4+3x^2-4}+3x=\sqrt{3x^4+16}$$

giải phương trình
1,$2x^2 +4x=\sqrt{\frac{x+3}{2}}$
2,$2(x^2-3x+2)=3\sqrt{x^3+8}$

Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $xyz=1$
Tìm Min
$P=\frac{x^2(y+z)}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}+\frac{y^2(x+z)}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\frac{z^2(x+y)}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}$

Cho $x , y , z$ >0.Chứng minh rằng

$\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}+4\sqrt{\frac{2(xy+yz+xz)}{x^2+y^2+z^2}}\geq 6$

à mà thôi.tớ ra rồi.
lấy hai vế pt đầu trừ đi 3 lần hai vế pt thứ hai ta được $(x-2)^3=(3-y)^3$
Suy ra x-5=y
Thay vào bất kì pt nào của hệ đầu ta được nghiệm pt!!!

hôm nay đầu óc tớ không bình thường,các bạn giải hộ nha!!!
giải HPT
$\left\{\begin{matrix} x^3-y^3=35\\2x^2+3y^2=4x-9y \end{matrix}\right.$
(hình như bài này có trong diễn đàn rồi thì phải )

BĐT $\Leftrightarrow x+y+z+2(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz})\leq \frac{9}{4}xyz=\frac{9}{4}(x+y+z+2)$
$\Leftrightarrow \sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\leq \frac{5}{8}(x+y+z)+\frac{9}{4}$
lại có $\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\leq x+y+z$
suy ra ta cần chứng minh $x+y+z\leq \frac{5}{8}(x+y+z)+\frac{9}{4}\Leftrightarrow x+y+z\leq 6$
từ giả thiết xyz=x+y+z+2 và áp dụng BĐT $(x+y+z)^{3}\geq 27xyz$ ta được x+y+z$\leq 6$.(đpcm)

Tớ nghĩ đề đúng phải là $\left\{\begin{matrix} 2x^3+x^2y+xy^2+(x+\frac{y}{2})^2=y^3-\frac{3}{4}y^2\\ \sqrt{2+x}+\sqrt{2y-1}=5 \end{matrix}\right.$
nếu là như vầy thi giải như sau:
ta có $pt (1)\Leftrightarrow 2x^3+x^2y+xy^2+x^2+xy+\frac{y^2}{4}=y^3-\frac{3}{4}y^2$
$\Leftrightarrow 2x^3+x^{2}y+xy^2+ x^2+xy+y^2-y^3 =0$
$\Leftrightarrow x^2(x+1)+xy(x+1)+y^2(x+1)+(x-y)(x^2+xy+y^2)=0$
$\Leftrightarrow (x+1)(x^2+xy+y^2)+(x-y)(x^2+xy+y^2)$
$\Leftrightarrow (x^2+xy+y^2)(2x-y+1)=0\Leftrightarrow y=2x+1$ (vì pt còn lại luôn lớn hơn 0)
thay vào pt (2)ta được $\sqrt{2+x}+\sqrt{4x+1}=5$ (x=2 là nghiệm của pt này).

$3(\sqrt{2x^2+1}-1)=x(1+3x+\sqrt{2x^2+1})$
$\Leftrightarrow 3\frac{2x^2}{\sqrt{2x^2+1}+1}=x(1+3x+\sqrt{2x^2+1})$ư
Với x=0(là nghiệm của pt)
Với x khác 0
pt$\Leftrightarrow 3\frac{2x}{\sqrt{2x^2+1}+1}=1+3x+\sqrt{2x^2+1}$
$\Leftrightarrow \frac{6x}{\sqrt{2x^2+1}+1}=1+\sqrt{2x^2+1}+3x$
Đặt $\sqrt{2x^2+1}+1=a,3x=b$
suy ra pt $\frac{2b}{a}=a+b$ $\rightarrow OK$

Giải hệ phương trình
$\left\{\begin{matrix} 2(y^3-x^3)-6x^2=7x-y+3\\2\sqrt{3-y}+\sqrt{2(y+1)}=\sqrt{\frac{9}{4}x^2+4} \end{matrix}\right.$

Hôm nay mình xin được nêu 3 bổ đề quen thuộc để đưa bất đẳng thức hoán vị về đối xứng 1 cách hiệu quả
Bài toán 1: Ch0 $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa $a+b+c=3$.Chứng minh rằng:
$$a^2b+b^2c+c^2a+abc\leq 4$$

Không mất tính tổng quát ta giả sử b nằm giữa c và a.
suy ra $(b-a)(b-c)\leq 0\rightarrow c(b-a)(b-c)\leq 0$
suy ra $b^2c+c^2a\leq bc^2+abc$
$\Leftrightarrow b^2c+c^2a+a^2b+abc\leq bc^2+a^2b+2abc\leq \frac{1}{2}2b(a+c)^2$
$\leq \frac{1}{2}\left [ \frac{(2b+a+c+a+c)}{3} \right ]^3$$=\frac{1}{2}\frac{\left [ 2(a+b+c) \right ]^3}{27}=4$
dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1 hoặc a=2,b=1,c=0.

cho x,y,z>o; x+y+z=1
Tìm GTNN của:
$\frac{x^{3}}{x^{2}+yz}+\frac{y^{3}}{y^{2}+xz}+\frac{z^{3}}{z^{2}+xy}$
(chú thích : đây chính là đề thi thử của Khối chuyên Toán-đại học Vinh 2009)

đặt biểu thức trên là P
xét $1-P=x+y+z-\frac{x^3}{x^2+yz}-\frac{y^3}{y^2+xz}-\frac{z^3}{z^2+xy}$
=$xyz(\frac{1}{x^2+yz}+\frac{1}{y^2+xz}+\frac{1}{z^2+xy})$
lại có $\frac{1}{x^2+yz}+\frac{1}{y^2+xz}+\frac{1}{z^2+xy}\leq \frac{1}{2}.\frac{1}{\sqrt{xyz}}.(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}})$
suy ra $1-P\leq \frac{\sqrt{xyz}}{2}(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}})= \frac{\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}}{2}\leq \frac{x+y+z}{2}= \frac{1}{2}$
dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=1/3
vậy min P=$\frac{1}{2}$ khi x=y=z=1/3

Cho tam giác ABC,AB=c,BC=a,AC=b.
Trọng tâm G.$\measuredangle GAB=\alpha , \measuredangle GBC=\beta , \measuredangle GCA=\gamma .$
Chứng minh rằng
$cot \alpha +cot\beta +cot\gamma =\frac{3(a^2+b^2+c^2)}{4S}$
(với S là diện tích tam giác ABC)