Câu 3: Sử dụng tỉ số kép để chứng minh rằng O là trực tâm của tam giác MNP.Thời gian: 180 phút
Bài 1: Tìm $a,b,c$ là các số nguyên dương, trong đó a,b là các số nguyên tố, thỏa mãn phương trình sau:
$a(a+3)+b(b+3)=c(c+3)$
Bài 2: Giải phương trình:
$\sqrt[3]{3x-5}= 8x^3-36x^2+53x-25$
Bài 3: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), gọi M, N, P lần lượt là giao điểm của AB và CD, AD và BC, AC và BD. Chứng mình rằng bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác OMN, ONP, OPM bằng nhau
Bài 4: Cho a,b,c >0 và thỏa mãn đẳng thức sau:
$\sum (\frac{a^5}{b+c}) = \frac{3}{2}$
Chứng minh $ab^2 + bc^2 + ca^2 \leq 3$
P/s:Tức quá,câu hình bỏ đã đành,câu pt cho k cũng k làm được,ức chế quá!! X((
Câu 4: Theo bất đẳng thức Schur ta có:
$(3\sum a^3)^2\geq (2\sum a^3 +3abc)^2\geq (a^2+b^2+c^2)^2(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ca)^3$ (1)
Mặt khác ta chứng mình được $a^3+ b^3+ c^3 \geq ab^2+ bc^2 + ca^2$
Suy ra $\left ( \frac{3}{2} \right )^3 \geq \left ( \frac{(\sum a^3)^2}{2\sum ab}\right )^3 \geq \frac{\left ( \sum a^3 \right )^4}{24} \geq \frac{1}{24}(ab^2+ bc^2 +ca^2)^4$
dpcm