Đến nội dung

nqthanh123

nqthanh123

Đăng ký: 01-04-2012
Offline Đăng nhập: 08-11-2013 - 17:54
-----

Trong chủ đề: Đề thi chọn đội tuyển Olympic 30/4 lớp 10 trường THPT chuyên Trần Hưng Đạo

20-02-2013 - 21:33

Thời gian: 180 phút
Bài 1: Tìm $a,b,c$ là các số nguyên dương, trong đó a,b là các số nguyên tố, thỏa mãn phương trình sau:
$a(a+3)+b(b+3)=c(c+3)$

Bài 2: Giải phương trình:
$\sqrt[3]{3x-5}= 8x^3-36x^2+53x-25$

Bài 3: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), gọi M, N, P lần lượt là giao điểm của AB CD, AD BC, AC BD. Chứng mình rằng bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác OMN, ONP, OPM bằng nhau


Bài 4: Cho a,b,c >0 và thỏa mãn đẳng thức sau:
$\sum (\frac{a^5}{b+c}) = \frac{3}{2}$
Chứng minh $ab^2 + bc^2 + ca^2 \leq 3$
P/s:Tức quá,câu hình bỏ đã đành,câu pt cho k cũng k làm được,ức chế quá!! X((

Câu 3: Sử dụng tỉ số kép để chứng minh rằng O là trực tâm của tam giác MNP.

Câu 4: Theo bất đẳng thức Schur ta có:
$(3\sum a^3)^2\geq (2\sum a^3 +3abc)^2\geq (a^2+b^2+c^2)^2(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ca)^3$ (1)

Mặt khác ta chứng mình được $a^3+ b^3+ c^3 \geq ab^2+ bc^2 + ca^2$
Suy ra $\left ( \frac{3}{2} \right )^3 \geq \left ( \frac{(\sum a^3)^2}{2\sum ab}\right )^3 \geq \frac{\left ( \sum a^3 \right )^4}{24} \geq \frac{1}{24}(ab^2+ bc^2 +ca^2)^4$
dpcm