CXR

Hôm qua dạy đại số cho sinh viên thấy có bài này khá hay. Mọi người giải thử nhé:

Đặt R là vành các hàm liên tục từ [0,1] vào trường số thực. Giả sử m là một ideal cực đại của R.

1) Chứng minh rằng tồn tại c nằm trong [0,1] sao cho m là ideal của các hàm trong R triệt tiêu tại c.
2) Chứng minh rằng m không phải là hữu hạn sinh.
3) Bài toán còn đúng không nếu thay [0,1] bằng một không gian topo chính tắc tùy ý?

(Không được sử dụng compactification nhé!)

1) Andrei Okounkov - xem thêm thông tin tại http://math.berkeley.edu/~okounkov/

2) Grigori Perelman - http://en.wikipedia....rigori_Perelman

3) Terence Tao - http://www.math.ucla.edu/~tao/

4) Wendelin Werner - http://www.math.u-psud.fr/~werner/

Thấy trong này nhiều cao thủ về Topo đại số nên tớ có một vấn đề nho nhỏ muốn hỏi mọi người tí:

Giả sử và là hai phức đơn hình trên cùng một tập các đỉnh. Khi đó phép nhúng http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\rightarrow sẽ cảm sinh một ánh xạ H_i( ) http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\rightarrow H_i( ). Liệu có thể đặc trưng được khi nào thì ánh xạ này là ánh xạ 0 (nghĩa là map tất cả các phần tử vào 0) thông qua các tích chất tổ hợp của và không nhỉ?

Lời giới thiệu: POW sẽ bắt đầu với một vấn đề nho nhỏ thể hiện sự liên hệ giữa nhiều chuyên ngành khác nhau của Toán học. Chỉ số trải và chỉ số phủ là các bất biến được định nghĩa trên không gian vector các đa thức đồng bậc. Vấn đề tính 2 bất biến này bắt nguồn từ việc nghiên cứu giả thuyết dạng Cohen-Macaulay (Cohen-Macaulay type) nằm trong chuyên ngành đại số giao hoán (commutative algebra) và đại số máy tính (computational algebra). Hướng tiếp cận hiệu quả nhất về mặt thuật toán đối với bài toán tính chỉ số trải và chỉ số phủ lại mang đậm nét tổ hợp, thông qua việc nghiên cứu các phức đơn (simplicial complex).

Trước tiên tôi sẽ phát biểu bài toán, nói qua một chút về nguồn gốc của bài toán. Phần chính của thảo luận này sẽ nhằm giới thiệu hướng tiếp cận tổ hợp thông qua phức đơn đối với bài toán. Hy vọng rằng sự đơn giản của hướng tiếp cận này sẽ thúc đẩy chúng ta cùng thảo luận nhằm hiểu sâu hơn vấn đề và đi tới một lời giải hoàn chỉnh cho bài toán.

Chủ đề này mở ra nhằm mục đích cung cấp những kiến thức và ngôn ngữ cơ bản cũng như một vài hướng nghiên cứu của chuyên ngành Hình học đại số (Algebraic Geometry). Hy vọng mọi người ủng hộ, ai biết nhiều viết nhiều, ai biết ít .. cũng viết nhiều

Với mục đích nhằm giới thiệu và phổ cập một chuyên ngành nên chủ đề sẽ tránh không đi sâu vào chi tiết cũng như các thuật ngữ mang nặng tính kỹ thuật. Cũng vì thế mà các bài viết (nếu tồn tại) sẽ không tránh khỏi đôi khi không hoàn toàn thật chính xác.

Người mở chủ đề có hy vọng sẽ điểm qua những điều sau:

(1) Đa tạp đại số, từ điển giữa hình học và đại số, định lý Nullstellensatz.
(2) Lược đồ - trừu tượng hóa và tổng quát hóa của đa tạp.
(3) Đường cong đại số.
(4) Mặt cong đại số, lược đồ nhiều chiều.
(5) Một vài hướng nghiên cứu cơ bản trong chuyên ngành.