lordsky216

Giải phương trình
$$(1+\sqrt{3})sin \left (2x + \frac{\pi}{4}\right )=2\sqrt{2} \left [cos \left (x-\frac{\pi}{3}\right )-sin^{2}x \right ]$$

Toán thủ ra đề
nguyenhang28091996

Lordsky 216 xin giải đề :
$$PT\Leftrightarrow (1+\sqrt{3})(sin2x + cos 2x)=4 [\frac{1}{2}cosx+\frac{\sqrt{3}}{2}sinx -\frac{1-cos2x}{2}]$$
$$\Leftrightarrow (1+\sqrt{3})sin2x+(1+\sqrt{3})cos2x=2cosx+2\sqrt{3}sinx -2 +2cos2x$$
$$\Leftrightarrow (1+\sqrt{3})sin2x+(\sqrt{3}-1)cos2x=2cosx+2\sqrt{3}sinx -2$$
$$\Leftrightarrow (2-cos2x+\sqrt{3}sin2x)+sin2x+\sqrt{3}cos2x=2(cosx+\sqrt{3}sinx)$$
$$\Leftrightarrow (3sin^2x+2\sqrt{3}sinxcosx+cos^2x)+ 2 sinx cosx+\sqrt{3}cos^2x-\sqrt{3}sin^2x=2(cosx +\sqrt{3}sinx)$$
$$\Leftrightarrow (\sqrt{3}sinx+cosx)^2-2(\sqrt{3}sinx+cosx)+\sqrt{3}cos^2x-3\sqrt{3}sin^2x+2sinx(\sqrt{3}sinx+cosx)=0$$
$$\Leftrightarrow (\sqrt{3}sinx+cosx)^2-2(\sqrt{3}sinx+cosx)+\sqrt{3}(cosx-\sqrt{3}sinx)(\sqrt{3}sinx+cosx)+2sinx(\sqrt{3}sinx+cosx)=0$$
$$\Leftrightarrow (\sqrt{3}sinx+cosx)(\sqrt{3}sinx+cosx-2+\sqrt{3}cosx-3sinx+2sinx)=0$$
$$\begin{bmatrix}
\sqrt{3}sinx+cosx=0 (1) & \\ \sqrt{3}sinx-sinx+cosx+\sqrt{3}cosx-2=0(2)
&
\end{bmatrix}$$


Xét
$$(1)\Leftrightarrow sin(x+\frac{\Pi}{6} )=0
\Leftrightarrow x+\frac{\Pi}{6}=k\Pi(k \in \mathbb{Z})\Leftrightarrow x=\frac{-\Pi}{6}+k\Pi$$

Xét

$$(2)\Leftrightarrow (\sqrt{3}-1)sinx+(\sqrt{3}+1)cosx=2$$
$$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}sinx+\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}cosx=\frac{\sqrt{2}}{2}$$
GỌi $cos\alpha =\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}$, $ sin\alpha =\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$

CÓ:
$$(2)\Leftrightarrow sinx.cos\alpha +cosx.sin\alpha =\frac{\sqrt{2}}2{}$$

$$\Leftrightarrow sin(x+\alpha )=\frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$ \Leftrightarrow \begin{bmatrix}
x+\alpha =\frac{\Pi}{4}+k2\Pi & \\ x+\alpha=\frac{3\Pi}{4} +k2\Pi
&
\end{bmatrix}$$


Vậy $\begin{bmatrix}
x=\frac{-\pi}{6}+k\pi & \\ x=-\alpha +\frac{3\Pi}{4}+k2\Pi
& \\ x=-\alpha +\frac{\pi}{4}+k2\pi
&
\end{bmatrix}$

$$\boxed{\boxed{Điểm: 9}}$$
Toán thủ này đã bị loại từ vòng 1

Cách #:
Ta có: $A=x^4 + (3-x)^4 + 6x^2(3-x)^2$
$\rightarrow A = (x^2)^2 + 2x^2(3-x)^2 + (3-x)^4 + 4x^2(3-x)^2$
$\rightarrow A = (x^2 + (3 - x)^2)^2 + 4x^2(3-x)^2$
Ta thấy:
+) $x^2 + (3-x)^2 \ge 5 \rightarrow (x^2 + (3-x)^2)^2 \ge 25$ (1)
+) $(x+3-x)^2=9= x^2+2x(3-x)+(3-x)^2 $. Mà $x^2+(3-x)^2 \ge 5 \rightarrow 2x(3-x) \ge 4 \rightarrow 4x^2(3-x)^2 \ge 16$ (2)
Từ (1) và (2) $\rightarrow A \ge 25+16=41$
P.s: Sai ở chỗ $\ge 4$ phải không ạ? Mọi người cho em ý kiến với, nếu sai thì em delete luôn ^^

$4x^{2}(3-x)^{2}$ có thể $= 0$ nên $4x^{2}(3-x)^{2}$ $\geq 16$ là sai rồi bạn ạ

Bài 5: (1 điểm)
Số thực $x$ thay đổi và thỏa mãn điều kiện: $x^2+(3-x)^2\geq 5$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $A=x^4+(3-x)^4+6x^2(3-x)^2$.

Đặt y=3-x. Ta có: $x^{2}+y^{2}+2xy=9$

$x^{2}+y^{2}\geq 5$

$\left ( x^{2}+y^{2} \right )^{2}+4xy\left ( x^{2}+y^{2} \right )+4x^{2}y^{2}=81$

$\Rightarrow P+4xy(x^{2}+y^{2})=81\Rightarrow P=81-4xy(x^{2}+y^{2})$

$\Rightarrow P=81-2\left [ 9-\left ( x^{2}+y^{2} \right ) \right ]\left ( x^{2}+y^{2} \right )$

$=81-18\left ( x^{2}+y^{2} \right )+2\left ( x^{2}+y^{2} \right )^{2}$

$=2\left ( x^{2}+y^{2}-5 \right )^{2}+2\left ( x^{2}+y^{2}-5 \right )+41\geq 41$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=1 \\ x=2 \end{bmatrix}$

Tìm các giá trị của m để phương trình $x^{2}+mx-m-1=0$ có ít nhất 1 nghiệm không dương

Ta có:$\Delta =m^{2}+4m+4\geq 0$
$\Rightarrow$ pt luôn có 2 nghiệm
Pt có ít nhất 1 nghiệm không dương$\Leftrightarrow$nghiệm nhỏ luôn không dương
$\Leftrightarrow \frac{-m-\sqrt{m^{2}+4m+4}}{2}\leq 0$
Giải bpt ta được $m\geq -1$

Đặt x = 2y + a, với a $\geq$ 0. Ta có:
$\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{5y^2+4ay+a^2}{2y^2+ay}\geq \frac{5y^2+ay}{2y^2+ay}\geq \frac{5y^2}{2y^2}=\frac{5}{2}.$

Bạn nhầm rồi.
$\frac{5y^{2}+ay}{2y^{2}+ay}\leq \frac{5y^{2}}{2y^{2}} chứ$

Cho x, y dương thỏa mãn $x\ge2y$. Tìm GTNN của:
$\frac{x^2+y^2}{xy}$
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 trường của mình , 2012-2013, THPT Đan Phượng)

$\Leftrightarrow \frac{x^{2}+y^{2}}{xy}=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{x}{4y}+\frac{y}{x}+\frac{3x}{4y}\geq 2\sqrt{\frac{1}{4}}+\frac{3.2y}{4y}=2,5$
Dấu "="xảy ra $\Leftrightarrow x=2y$

Tìm m để 2 đường thẳng y = 4x + m và y = -3x + 2 - m cắt nhau tại một điểm nằm bên phải trục tung.

Xét phương trình hoành độ giao điểm:
4x+m=-3x+2-m (1)
$\Leftrightarrow$x=$\frac{-2m+2}{7}$
Hai đường thẳng cắt nhau tại 1 điểm nằm bên phải trục tung$\Leftrightarrow$pt (1) có nghiệm dương
$\Leftrightarrow$$\frac{-2m+2}{7}\geq 0\Leftrightarrow m\leq 1$

bài 94: giải PT:

$ 2(x^2+2)=5\sqrt{x^3+1} $

đề thi thử lần 8 THPT chuyên sư phạm hà nội

ĐK:$x\geq -1$

pt$\Leftrightarrow 2(x^{2}-x+1)+2(x+1)=5\sqrt{(x+1)(x^{2}-x+1)}$

Đặt: $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x^{2}-x+1}=a\\ \sqrt{x+1}=b \end{matrix}\right.$ (a;b$\geq$0)

pt$\Leftrightarrow 2a^{2}-5ab+2b^{2}=0$
$\Leftrightarrow (a-2b)(2a-b)=0$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} a=2b\\ 2a=b \end{bmatrix}$
TH1:a=2b
$\Leftrightarrow \sqrt{x^{2}-x+1}=2\sqrt{x+1}$
$\Leftrightarrow x^{2}-5x-3=0$
$\Leftrightarrow x=\frac{5+-\sqrt{37}}{2}$ (tm)
TH2:2a=b
$\Leftrightarrow 4x^{2}-5x+3=0$(vô nghiệm)

Bài 92: Giải phương trình $$\sqrt {5{x^2} + 14x + 9} - \sqrt {{x^2} - x - 20} = 5\sqrt {x + 1} $$
ĐỀ THI THỬ KHỐI A+B LẦN V CHUYÊN QUANG TRUNG BÌNH PHƯỚC

ĐK:$\left\{\begin{matrix} x^{2}+14x+9\geq 0\\ x+1\geq 0\\ x^{2}-x-20\geq 0 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\epsilon (-\infty ;\frac{-9}{5}]\cup [-1;+\infty )\\ x\epsilon [-1;+\infty )\\ x\epsilon (-\infty ;-4]\cup [5;+\infty ) \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow x\epsilon [5;+\infty )$

Pt$\Leftrightarrow \sqrt{5x^{2}+14x+9} -21+15-5\sqrt{x+1}=\sqrt{x^{2}-x-20}-6$
$\Leftrightarrow \frac{5x^{2}+14x-432}{\sqrt{5x^{2}+14x+9}+21}+5.\frac{8-x}{3+\sqrt{x+1}}=\frac{x^{2}-x-56}{6+\sqrt{x^{2}-x-20}}$
$\Leftrightarrow \frac{(x-8)(5x+54)}{\sqrt{5x^{2}+14x+9}+21}+\frac{8-x}{3+\sqrt{x+1}}-\frac{(x-8)(x+7)}{\sqrt{x^{2}-x-20}+6}=0$
$\Leftrightarrow$$(x-8)(\frac{5x+54}{\sqrt{5x^{2}+14x+9}+21}-\frac{1}{3+\sqrt{x+1}}-\frac{x+7}{\sqrt{x^{2}-x-20}+6})=0$
Mình mới chỉ làm được đến đây thôi...!!!

Câu V(1 điểm)

Cho 3 số a,c,b thỏa mãn $0\leq a\leq b\leq c\leq 1$. Tìm max của biểu thức

$B=(a+b+c+3)(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1})$

Đặt x=a+1 ; y=b+1 ; z=c+1
Vậy $1\leq x\leq y\leq z\leq 2$
$B=(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$
Ta có: do $1\leq x\leq y\leq z\leq 2$
$\Rightarrow \left ( 1-\frac{x}{y} \right )\left ( 1-\frac{y}{z} \right ) + \left ( 1-\frac{y}{x} \right )\left ( 1-\frac{z}{y} \right )\geq 0$
$\Leftrightarrow \frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{y}{x} + \frac{z}{y} \leq 2 + \frac{x}{z} + \frac{z}{x}$
Lại có: do $1\leq x\leq z\leq 2$ nên $\frac{1}{2}\leq \frac{x}{z}\leq 2$
$\Leftrightarrow \left ( 2-\frac{x}{z} \right )\left ( 2-\frac{z}{x} \right )\geq 0\Leftrightarrow \frac{x}{z}+\frac{z}{x}\leq \frac{5}{2}$
Vậy:
$B=(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$=$3+\left ( \frac{x}{y} +\frac{y}{z}+\frac{y}{x}+\frac{z}{y}\right )+\left ( \frac{x}{z}+\frac{z}{x} \right )\leq 3+2+2\left ( \frac{x}{z}+\frac{z}{x} \right )\leq 10$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow$ b=c=1; a=0