brightrainm

Lâu lâu, động lại bài này cũng hay.

Ta chứng minh mệnh đề đảo. Tuy nhiên, phải bổ sung thêm giả thiết hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm cấp hai trong $(a;b)$

 

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $[a;b]$, có đạo hàm đến cấp 2 trong $(a;b),x_0 \in (a;b)$. Khi đó, nếu đường thẳng $y=ax+b$ là tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f(x)$ thì tồn tại hàm số $y=g(x)$ xác định tại $x_0$ sao cho:
$$f(x) - (ax+b) = (x-x_0)^2g(x), \ \ \ (1)$$

 

Chứng minh

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại $x_0$ có dạng:

$$y = f'(x_0)(x-x_0) +f(x_0)$$

Do đó, áp dụng định lý Lagrange cho hàm số $y = f(x)$, tồn tại số $c \in (a;b)$ sao cho:

$$f(x) - (ax+b) = f(x) - f(x_0) - f'(x_0)(x-x_0)= f'\left ( c \right )(x-x_0)-f'(x_0)(x-x_0)=(x-x_0)(f'\left ( c \right ) -f'(x_0)$$

Lại áp dụng định lý Lagrange cho hàm số $y = f'(x)$, tồn tại số $d \in (c;x_0)$ (hoặc $d \in (x_0;c)$  sao cho:

$$f(x) - (ax+b) =(x-x_0)^2f''(d)$$

Đặt $g(x) = f''(d)$, ta có điều phải chứng minh.

 

Cho em hỏi là khúc cuối phải là $$f(x) - (ax+b) =(x-x_0)(c-x_0)f''(d)$$ chứ ạ, mà vậy thì bài toán mình chưa chứng mình được rồi, phải không ạ