Đến nội dung

Sunflower2

Sunflower2

Đăng ký: 12-04-2012
Offline Đăng nhập: 28-08-2012 - 18:47
-----

#345972 CMR: $\frac{1}{a^{2}.b^{2}}+\frac{1}{b^{2}.c^{2}}+\frac{1...

Gửi bởi Sunflower2 trong 11-08-2012 - 21:29

Gợi ý :

Đây là tứ diện gần đều , có diện tích 4 mặt bên s bằng nhau và bằng S/4 .

nên cần chứng minh :
$\frac{4s^2}{a^2b^2}+\frac{4s^2}{c^2b^2}+\frac{4s^2}{a^2c^2}\leq \frac{9}{4}$

mà $s=\frac{1}{2}absinC$ và lưu ý các mặt bên là các tam giác bằng nhau nên ta đưa về 3 góc trong 1 tam giác :

$sin^2A+sin^2B+sin^2C\leq \frac{9}{4}$

Cái này thì cơ bản quá nhỉ !


#311006 Tìm m:$\left\{\begin{matrix} y^{2}=x^{3}-4x^{2}+mx\...

Gửi bởi Sunflower2 trong 17-04-2012 - 06:00

Dễ dàng nhận thấy : nếu $(x;y)$ là nghiệm cảu hê thì $(y;x)$ cũng là nghiệm cảu hệ . Vậy để hệ có nghiệm duy nhất thì $x=y$

Ta có phương trình :

$x^2=x^3-4x^2+mx\Leftrightarrow x(x^2-5x+m)=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=0 & & & \\ x^2-5x+m=0 & & & \end{bmatrix}$

Vậy để hệ có nghiệm duy nhất thì phương trình : $x^2-5x+m=0$ phải vô nghiệm nên $m>\frac{25}{4}$


#310679 CMR: tồn tại số có 2012 chữ số gồm chữ số 1 và chữ số 2 sao cho số đó chia hế...

Gửi bởi Sunflower2 trong 15-04-2012 - 18:17

Chứng minh rằng : tồn tại số có 2012 chữ số gồm chữ số 1 và chữ số 2 sao cho số đó chia hết cho $2^{2012}$
  • Nxb yêu thích


#310676 $a+b\geq 2$.CMR $a^{4}+b^{4}\geq a^{3}+b^{3}$

Gửi bởi Sunflower2 trong 15-04-2012 - 17:55

Có thể áp dụng AM-GM như sau :

$a^4+a^4+a^4+1\geq 4a^3$

Tương tự rùi cộng lại ta có :

$3(a^4+b^4)\geq 3(a^3+b^3)+(a^3+b^3-2)$

Tiếp theo , ta chứng minh $a^3+b^3\geq 2$

Cái này đơn giản , chỉ cần áp dụng BĐT sau :

$4(a^3+b^3)\geq (a+b)^3\geq 8$

. . .Xong roài . . ^^~


#310675 $\lim_{x\rightarrow 0 }\frac{x^3}{sinx-x}$

Gửi bởi Sunflower2 trong 15-04-2012 - 17:34

À , quên , một số công thức khai triển quan trọng mà ta cần nhớ :

1.$e^x=\sum_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!}+o(x^n)$

2.$sinx=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-. . . .+(-1)^{m-1}\frac{x^{2m-1}}{(2m-1)!}+o(x^{2m-1})$

3.$cosx=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+. . . .+(-1)^m\frac{x^{2m}}{(2m)!}+o(x^{2m})$

4.$ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+. . . +(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+o(x^n)$

5.$(1+x)^\alpha =1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2}x^2+. . . .+\frac{\alpha (\alpha -1)(\alpha -2). . .(\alpha -n+1)}{n!}x^n+o(x^n)$

Trong chương trình phổ thông , chỉ cần nhớ các công thức này ta đã có thể xử lí được nhiều bài rùi . . .^^~


#310668 $\lim_{x\rightarrow 0 }\frac{x^3}{sinx-x}$

Gửi bởi Sunflower2 trong 15-04-2012 - 17:20

Nếu hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm đến cấp n và liên tục tại điểm $x_0$ và có đạo hàm $f^{n+1}(x)$ trong lân cận $x_0$ thì tại lân cận đó , ta có khai triển :

$f(x)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1}(x-x_0)+. . . .+ \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + \frac{f^{(n+1)}c}{n!}(x-x_0)^{n+1}$

(c nằm giữa $x_0$ và $x$ , $c=x_0+a(x-x_0) , 0<a<1$)

Số hạng cuối cùng gọi là số hạng dư của nó . Đặc biệt

$x_0=0$

, công thức Taylor trở thành công thức Maclaurin:

$f(x)=f(0)+\frac{f'(0)}{1}(x)+. . . .+ \frac{f^{n}(0)}{n!}x^n + \frac{f^{n+1}(\Theta x)}{n!}x^{n+1} , 0<\Theta x<1$


#310655 Giải hệ với $2x = y + \frac{{2011}}{y}$

Gửi bởi Sunflower2 trong 15-04-2012 - 16:42

Dễ thấy x,y,z luôn cùng dấu . . . nên ta chỉ xét x,y,z dương . Và nếu (x,y,z) là nghiệm của hệ thì (-x,-y,-z) cũng là nghiệm của hệ . .

Áp dụng BĐT thức AM-GM , ta có :

$x,y,z\geq \sqrt{2011}$

Cộng từng vế của 3 phương trình trên ta có :

$x+y+z=\frac{2011}{x}+\frac{2011}{y}+\frac{2011}{z}$

$VT\geq 3\sqrt{2011}\geq VP$

Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=\sqrt{2011}$

Vậy nghiệm của hê là $x=y=z=\sqrt{2011} ; x=y=z=-\sqrt{2011}$


#310612 Tính giới hạn : $\lim_{x \to 0}\frac{sin(sinx)-x\sq...

Gửi bởi Sunflower2 trong 15-04-2012 - 13:46

Câu b cũng sử dụng khai triển trên , các bạn tự trình bày nhé , kết quả $lim_{x\rightarrow 0}\frac{tan(tanx)-sin(sinx)}{tanx-sinx}=2$


#310611 Tính giới hạn : $\lim_{x \to 0}\frac{sin(sinx)-x\sq...

Gửi bởi Sunflower2 trong 15-04-2012 - 13:44

2 bài này chắc cần phải sử dụng kiến thức đại học thui . . .

a,

Sử dụng công thức Taylor , ta có :

$sinx=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}+o(x^5)$ và

$sin(sinx)=sinx-\frac{sin^3x}{6}+\frac{sin^5x}{120}+o(sin^5x) ; x\rightarrow 0$

Mà $sin^3x=\left \lfloor (x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}+o(x^5)) \right \rfloor^3 = [x+\alpha (x)]^3$

trong đó :

$\alpha (x)=-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}+o(x^5)\approx -\frac{x^3}{6} .$

Suy ra

$\alpha ^2(x)\approx \frac{x^6}{36}=o(x^5) , \alpha ^3(x)\approx \frac{-x^9}{216}=o(x^5)$ khi $x\rightarrow 0$

Do đó ,

$sin^3x=x^3-\frac{1}{2}x^5+o(x^5) , x\rightarrow 0$

Tương tự được , $sin^5x=x^5+o(x^5) , x\rightarrow 0$

Như vậy ,

$sin(sinx)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{120}+o(x^5)$

Và :

$x\sqrt[3]{1-x^2}=x[1-\frac{x^2}{3}-\frac{x^4}{9}+o(x^4)]=x-\frac{x^3}{3}-\frac{x^5}{9}+o(x^5) , x\rightarrow 0$

Do đó ,

$sin(sinx)-x\sqrt[3]{1-x^2}=\frac{19}{90}x^5+o(x^5)$

Vậy $lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin(sinx)-x\sqrt[3]{1-x^2}}{x^5}=\frac{19}{90}$


#310605 Phương trình và hệ phương trình qua các đề thi thử Đại học 2012

Gửi bởi Sunflower2 trong 15-04-2012 - 13:14

Bài 39 Giải hệ phương trình sau

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{(x - 1)(y - 1)(x + y - 2) = 6}\\{{x^2} + {y^2} - 2x - 2y - 3 = 0}\end{array}} \right.\]

Đề thi thử ĐH THPT Tây Thuỵ Anh-Thái Bình


Biến đổi hệ phương trình thành :

$\left\{\begin{matrix} (x-1)(y-1)(x+y-2)=6 & & & \\ (x-1)^2+(y-1)^2=1 & & & \end{matrix}\right.$

Đặt $x-1=a ; y-1 =b$ , ta có :

$\left\{\begin{matrix} (a+b)^2-2ab=5 & & & \\ ab(a+b)=6& & & \end{matrix}\right.$

Đặt tiếp , $a+b= S ; ab=P$ , ta có :

$\left\{\begin{matrix} S^2-2P=5 & & & \\ PS=6& & & \end{matrix}\right.$ , rút P ở pt (2) thế vào pt (1) , ta có :

$S^3-5S-12=0\Leftrightarrow S=3 \Rightarrow P=2. . . .$

Xong roài . . .


#310452 Chứng minh rằng: $xyz\geq 3(x+y+z)$

Gửi bởi Sunflower2 trong 14-04-2012 - 22:33

Đặt : $a=\frac{1}{x} ; b=\frac{1}{y}; c=\frac{1}{z}$ , đưa về cần chứng minh :

$ab + bc+ca \leq \frac{1}{3}$

với $a+b+c\leq 1$

Ta có :

$ab+bc+ca\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}\leq \frac{1}{3}$

Xong , chả biết sai hay đúng nữa . . .a Phúc kiểm tra lại giúp em nha . . .^^~


#310339 Phương trình và hệ phương trình qua các đề thi thử Đại học 2012

Gửi bởi Sunflower2 trong 14-04-2012 - 20:03

Bài 36:

Hệ phương trình đã cho tương đương với :

$\left\{\begin{matrix} \frac{x^3}{y}=216+xy & & & \\ \frac{y^3}{x}=xy-24& & & \end{matrix}\right.$

Nhân từng vế 2 phương trình trên , ta có :

$(xy)^2=(xy+216)(xy-24)\Leftrightarrow xy=27$

Quay trở lại hệ ban đầu , ta có :

$\left\{\begin{matrix} x^4=6561 & & & \\ y^4=81 & & & \end{matrix}\right.$

. . .bla bla . . .lười quá , không mún gõ nốt . . .^^! :wub:


#309877 $\left\{\begin{matrix} x(x+1)+\frac{1}{y}(\frac...

Gửi bởi Sunflower2 trong 12-04-2012 - 18:02

Chia 2 vế của phương trình thứ 2 cho $y^3$ , sau đó đưa về hệ sau :

$\left\{\begin{matrix} (x+\frac{1}{y})^2 + (x+\frac{1}{y})-2\frac{x}{y}=4 & & \\ (x+\frac{1}{y})^3-2\frac{x}{y}(x+\frac{1}{y})=4 & & \end{matrix}\right.$

Tới đây đặt $(x+\frac{1}{y})=a ; \frac{x}{y} =b$ , ta có hệ sau :

$\left\{\begin{matrix} a^2-2b=4-a & & \\ a^3-2ab=4& & \end{matrix}\right.$

Tới đây xong rùi , rút thế là ok . ^^!