Celia

Thời gian làm bài : 150 phút




Câu I(2 điểm)
1, Phân tích đa thức sau thành nhân tử $a^2(b-2c)+b^2(c-a)+2c^2(a-b)+abc$
2, cho $x,y$ thỏa mãn $x=\sqrt[3]{y-\sqrt{y^2+1}}+\sqrt[3]{y+\sqrt{y^2+1}}$
Tính giá trị $A=x^4+x^3y+3x^2+xy-2y^2+1$
Câu II(2 điểm)
1, Giải phương trình $(x^2-4x+11)(x^4-8x^2+21)=35$
2, Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}
(x+\sqrt{x^2+2012})(y+\sqrt{y^2+2012})=2012 & \\ x^2+z^2-4(y+z)+8=0
&
\end{matrix}\right.$

Câu III(2 điểm)
1,Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì $(n^2+n+1)$ không chia hết cho 9
2. Xét phương trình $x^2-m^2x+2m+2=0$ (1)
Tìm các giá trị nguyên dương của m để (1) có nghiệm nguyên
Câu IV(3 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB<AC ngoại tiếp đường tròn tâm O. Gọi D,E,F lần lượt là tiếp điểm của (O) với các cạnh AB,AC,BC; BO cắt EF tại I, M là điểm di chuyển trên CE

1, tính góc BIF
2, Gọi H là giao điểm của BM và EF.Chứng minh rằng nếu AM=AB thì tứ giác ABHI nội tiếp
3,Gọi N là giao điểm của BM với cung nhỏ EF của (O), P và Q lần lượt là hình chiếu của N trên các đường thẳng DE,DF. Xác định vị trí của điểm M để PQ max

Câu V(1 điểm)

Cho 3 số a,c,b thỏa mãn $0\leq a\leq b\leq c\leq 1$. Tìm max của biểu thức

$B=(a+b+c+3)(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1})$