vipkutepro

Cho các số thực dương $x,y,z,t$ thỏa mãn $xyzt=1$.Chứng minh rằng:

$$\frac{1}{x^3(yz+zt+ty)}+\frac{1}{y^3(xz+zt+tx)}+\frac{1}{z^3(xt+ty+yx)}+\frac{1}{t^3(xy+yz+zx)}\geq \frac{4}{3}$$

Đề của 

DucHuyen1604

Giải:

Ta có:

$P= \frac{1}{x^{3}\left ( yz+zt+ty \right )}+\frac{1}{y^{3}\left (xz+zt+tx \right )}+\frac{1}{z^{3}\left ( xt+ty+yx \right )}+\frac{1}{t^{3}\left ( xy+yz+zx \right )}$

    $=\frac{xyzt}{x^{3}\left ( yz+zt+ty \right )}+\frac{xyzt}{y^{3}\left (xz+zt+tx \right )}+\frac{xyzt}{z^{3}\left (xt+ty+yx \right )}+\frac{xyzt}{t^{3}\left (xy+yz+zx \right )}$

    $=\frac{yzt}{x^{2}\left ( yz+zt+ty \right )}+\frac{xzt}{y^{2}\left (xz+zt+tx \right )}+\frac{xyt}{z^{2}\left (xt+ty+yx \right )}+\frac{xyz}{t^{2}\left (xy+yz+zx \right )}$

    $=\frac{1}{x^{2}\left ( \frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t} \right )}+\frac{1}{y^{2}\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t} \right )}+\frac{1}{z^{2}\left ( \frac{1}{y}+\frac{1}{x}+\frac{1}{t} \right )}+\frac{1}{t^{2}\left ( \frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{x} \right )}$

Đặt: $a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z};d=\frac{1}{t}$. Do $xyzt=1$ nên $abcd=1$.$(a, b, c, d>0)$

Khi đó: $P=\frac{a^{2}}{b+c+d}+\frac{b^{2}}{a+c+d}+\frac{c^{2}}{a+b+d}+\frac{d^{2}}{a+b+c}$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số thực dương, ta có:

   *$\frac{a^{2}}{b+c+d}+\frac{b+c+d}{9}\geq 2\sqrt{\left (\frac{a^{2}}{b+c+d} \right ).\left (\frac{b+c+d}{9} \right )}=\frac{2}{3}a.$

   *$\frac{b^{2}}{a+c+d}+\frac{a+c+d}{9}\geq \frac{2}{3}b.$

   *$\frac{c^{2}}{a+b+d}+\frac{a+b+d}{9}\geq \frac{2}{3}c.$

   *$\frac{d^{2}}{a+b+c}+\frac{a+b+c}{9}\geq \frac{2}{3}d.$

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên, ta có: $P+\frac{3\left ( a+b+c+d \right )}{9}\geq \frac{2}{3}\left ( a+b+c+d \right )$

                                                                    $\Leftrightarrow P\geq \frac{1}{3}\left ( a+b+c+d \right )\geq \frac{1}{3}.4\sqrt[4]{abcd}=\frac{4}{3}$ (Bất đẳng thức AM-GM cho 4 số dương)

Do đó: $P\geq \frac{4}{3}$$\Rightarrow đpcm$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=d$ hay $x=y=z=t=1$

$\sqrt{x^{2}+x-6}+3\sqrt{x-1}=\sqrt{3x^{2}-6x+19}, (1)$

Giải:

Điều kiện: $\left\{\begin{matrix} x-1\geq 0 & & \\ x^{2}+x-6\geq 0& & \\ 3x^{2}-6x+19\geq 0& & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x\geq 2 (*)$

Với điều kiện trên, phương trình (1)

$\Leftrightarrow x^{2}+x-6+6\sqrt{\left ( x^{2}+x-6 \right )\left ( x-1 \right )}+9(x-1)=3x^{2}-6x+19$

$\Leftrightarrow 3\sqrt{\left ( x+3 \right )\left ( x-2 \right )\left ( x-1 \right )}=x^{2}-8x+17$

$\Leftrightarrow 3\sqrt{\left ( x^{2}+2x-3 \right )\left ( x-2 \right )}=\left ( x^{2}+2x-3 \right )-10\left ( x-2 \right )$

$\Leftrightarrow \left ( x^{2}+2x-3 \right )-5\sqrt{\left ( x^{2}+2x-3 \right )\left ( x-2 \right )}+2\sqrt{\left ( x^{2}+2x-3 \right )\left ( x-2 \right )}-10\left ( x-2 \right )=0$

$\Leftrightarrow \left ( \sqrt{x^{2}+2x-3}+2\sqrt{x-2} \right )\left ( \sqrt{x^{2}+2x-3}-5\sqrt{x-2} \right )=0$

$\ast \sqrt{x^{2}+2x-3}+2\sqrt{x-2}=0$ (2)

    Với $x\geq 2\Rightarrow x^{2}+2x-3=\left ( x+3 \right )\left ( x-1 \right )>0\Rightarrow \sqrt{x^{2}+2x-3}+2\sqrt{x-2}>0$

    Do đó, phương trình (2) vô nghiệm

$\ast \sqrt{x^{2}+2x-3}-5\sqrt{x-2}=0$

$\Leftrightarrow \sqrt{x^{2}+2x-3}=5\sqrt{x-2}$

$\Leftrightarrow x^{2}+2x-3=25\left ( x-2 \right )$

$\Leftrightarrow x^{2}-23x+47=0$

$\Leftrightarrow x=\frac{23\pm \sqrt{341}}{2}$ (Thỏa mãn điều kiện (*))

Vậy phương trình đã cho có nghiệm: $x=\frac{23\pm \sqrt{341}}{2}$

$\boxed{Điểm: 10}$

Giải:

    $sin4x+2=cos3x+4sinx+cosx$

$\Leftrightarrow 4sinx.cosx.cos2x+2=cos3x+4sinx+cosx$

$\Leftrightarrow 4sinx\left ( cosx.cos2x-1 \right )=cos3x+cosx-2$

$\Leftrightarrow 4sinx\left [ cosx\left ( 2cos^{2}x-1 \right )-1 \right ]=\left ( 4cos^{3}x-3cosx \right )+cosx-2$

$\Leftrightarrow 4sinx\left ( 2cos^{3}x-cosx-1 \right )=4cos^{3}x-2cosx-2$

$\Leftrightarrow 2\left ( 2sinx-1 \right )\left ( 2cos^{3}x-cosx-1 \right )=0$

* $sinx=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{6}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$

* $2cos^{3}x-cosx-1=0$$\Leftrightarrow \left ( cosx-1 \right )\left ( 2cos^{2}x +2cosx+1\right )=0$

                                        $\Leftrightarrow cosx=1$ (Vì $2cos^{2}x+2cosx+1=2\left ( cosx+\frac{1}{2} \right )^{2}+\frac{1}{2}>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$)

                                        $\Leftrightarrow x=k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$

Vậy phương trình đã cho có ba họ nghiệm: $x=k2\pi ;x=\frac{\pi}{6}+k2\pi;x=\frac{5\pi}{6}+k2\pi;\left ( k\in \mathbb{Z} \right )$

$\boxed{\text{Điểm bài thi}:10}$
S=16.3+3*10 = 46.3