Jelouis

$$sin2x-cos2x=sinx+cosx-1$$
$$\Leftrightarrow 2sinxcosx-cosx+2sin^2x-sinx=0$$
$$\Leftrightarrow (2sinx-1)(cosx+sinx)=0$$
$$\Leftrightarrow ...$$

Quan trọng là sử dụng bổ đề ntn chứ. Anh giải rõ hơn đi!

Bài giải hoàn toàn rõ ràng đấy chứ nhỉ :
$\sqrt{8a^3+1} = \sqrt{(2a+1)(4a^2-2a+1)}$
đến đây ta sử dung AM-GM :
$\sqrt{2a+1}.\sqrt{4a^2-2a+1} \leq \frac{2a+1+4a^2-2a+1}{2} = 2a^2+1$
Dấu bằng xảy ra tại $a=1$

$a,b,c$ đã dương đâu mà áp dụng như vậy. Xem lại nhé!

Xin lỗi ạ . thiếu đề
đây là một câu trong đề thi thử , nguyên văn đề của nó là :
Cho các số thực dương $a,b,c$ thay đổi thoả mãn $a+b+c=1 $. Chứng minh rằng :
$\frac{a+b^2}{b+c}+\frac{b+c^2}{a+c}+\frac{c+a^2}{a+b} \geq 2$

@vietfrog: Chế đề hả . Anh đã sửa đề! Mọi người thử xem xét xem Bài 168 nếu đề cho là 3 số thực thì có giải được không và giải như thế nào nhé.

Bài 168 : Cho các số thực $a,b,c$ thay đổi thoả mãn $a+b+c=1.$Chứng minh rằng :
$\frac{a+b^2+c^3}{b+c}+\frac{b+c^2+a^3}{c+a}+\frac{c+a^2+b^3}{a+b} \geq \frac{13}{6}$

Lời giải :
Ta dễ dàng nhận ra , đây là bài tìm giá trị nhỏ nhất cua ba bất đẳng thức nhỏ :

$A = \frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2} ( Nesbit )$
$B=\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}+\frac{a^2}{a+b} \geq \frac{a+b+c}{2} =\frac{1}{2}$
$C=\frac{c^3}{b+c}+\frac{a^3}{c+a}+\frac{b^3}{a+b} \geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{bc+c^2+ac+a^2+ab+b^2}$
$\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{2(a^2+b^2+c^2)}=\frac{a^2+b^2+c^2}{2}$ $\geq \frac{a+b+c}{6}=\frac{1}{6}$
$A+B+C=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{13}{6}$
$\Longrightarrow$ điều phải chứng minh

Bài 168 : Cho các số thực dương $a,b,c$ thay đổi thoả mãn $a+b+c=1.$Chứng minh rằng :
$\frac{a+b^2+c^3}{b+c}+\frac{b+c^2+a^3}{c+a}+\frac{c+a^2+b^3}{a+b} \geq \frac{13}{6}$

Bài 167: Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=xyz$ . CMR:
$$xy+zy+zx+9\geq 4(x+y+z)$$
Đề thi thử Trường THPT Trần Hưng Đạo Hưng Yên 2012

Lâu quá mới được onl , toàn cắm đầu vào thi , chán ghê =.=!!
Ta có :
$xy+yz+zx+9 \geq 4\sqrt[4]{9x^2y^2z^2} = 4 \sqrt{3xyz} $
$= 4\sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}$
Vậy ta chỉ cần chứng minh :
$\sqrt{3(x^2+y^2+z^2)} \geq x+y+z .$
Điều này đúng theo $Cauchy-Schwarz.$
$\Longrightarrow$ điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra tại $x=y=z=3$

Chém trước bài này
$\sqrt{x+\sqrt{x}} - \sqrt{x-\sqrt{x}} = \frac{3}{2}\sqrt{\frac{x}{x+\sqrt{x}}}$ ($x\geq 1$)
$\Longleftrightarrow$ $\sqrt{x}+x - \sqrt{x^2-x}$ $=$ $\frac{3}{2}\sqrt{x}$
$\Longleftrightarrow 2x-2\sqrt{x^2-x}-\sqrt{x}=0$
$\Longleftrightarrow 2\sqrt{x^2-x}=2x-\sqrt{x}$
$\Longleftrightarrow 2\sqrt{x-1}=2\sqrt{x}-1$
$\Longleftrightarrow x=\frac{25}{16}$
Vậy phương trình có 1 nghiệm $x=\frac{25}{16}$

Từ giả thiết , ta có :
$a+b=-c$
$ab=\frac{(a+b)^2-(a^2+b^2)}{2}= \frac{2c^2-1}{2}$
$\Longrightarrow$ a,b là nghiệm của phương trình :
$x^2+cx+\frac{2c^2-1}{2} = 0 $
$\Delta = -3c^2+2 $
Để tồn tại $a,b $ thì $\Delta \geq 0 $
$\Longleftrightarrow \frac{-\sqrt{6}}{3}\leq x\leq \frac{\sqrt{6}}{3}$

Ta có :
$a^2b^2c^2=(\frac{2c^2-1}{2})^2c^2 =$ $y$
Giờ ta chỉ cần tính đạo hàm và khảo sát tính biến thiên của hàm $y $
Ta tính được :
$y\leq f(\frac{-\sqrt{6}}{3})=f(\frac{\sqrt{6}}{3})=\frac{1}{54}$
Đẳng thức xảy ra tại $(a;b;c)=(\frac{-\sqrt{6}}{3};\frac{\sqrt{6}}{6};\frac{\sqrt{6}}{6})$ hoặc $(a;b;c)=(\frac{\sqrt{6}}{3};\frac{-\sqrt{6}}{6};\frac{-\sqrt{6}}{6})$ và các hoán vị.
Bài toán được giải quyết xong.

cái này thì đạo hàm là nhất rồi )
Tập xác định : $x \in \mathbb{R}$
$f(x)=\sqrt{(x-1)^2+(2-3x)^2} +\sqrt{(2-x)^2+(3x+2)^2}
= \sqrt{10x^2-14x+5}+\sqrt{10x^2+8x+8}$
$f'(x) = \frac{10x-7}{\sqrt{10x^2-14x+5}} + \frac{10x+4}{\sqrt{10x^2+8x+8}}$
$f'(x)=0 \Longleftrightarrow \frac{10x+4}{\sqrt{10x^2+8x+8}} = \frac{7-10x}{\sqrt{10x^2-14x+5}}$
$ \Longleftrightarrow \left\{\begin{matrix}
(-10x+7)(10x+4)\geq 0\\ \frac{10x+4}{\sqrt{10x^2+8x+8}}=\frac{-10x+7}{\sqrt{10x^2-14x+5}}
\end{matrix}\right.$
$\Longleftrightarrow \left\{\begin{matrix}
\frac{-2}{3}\leq x\leq \frac{7}{10}\\ \frac{100x^2-140+49}{10x^2-14x+5}=\frac{100x^2+80x+16}{10x^2+8x+8}(2)
\end{matrix}\right.$
Cộng vào 2 vế phương trình 2 -10 ta được :

$\left\{\begin{matrix}
\frac{-2}{3}\leq x\leq \frac{7}{10}\\\frac{1}{10x^2-14x+5}=\frac{64}{10x^2+8x+8}
\end{matrix}\right.$
$\Longleftrightarrow x=\frac{6}{7}$ (loại) hoặc $x=\frac{26}{45}$
Vẽ bảng biến thiên , ta tìm được $Minf(x) = \frac{\sqrt{505}}{5}$ đạt được tại $x=\frac{26}{45}$
Bài toán được giải quyết xong.