caovannct

Đề đại học mõi người ơi, ra những bài giải bằng Côsi với bunhia thôi! Đừng spam
______________
Bài 13: Cho các số dương a,b,c thỏa mãn $abc=1$
Tìm GTNN của

$P=\frac{a}{\sqrt{1+a}}+\frac{b}{\sqrt{1+b}} +\frac{c}{\sqrt{1+c}}$

đặt $x=\frac{a}{b}, y=\frac{b}{c}, z=\frac{c}{a}$. khi đó $P=\frac{x}{\sqrt{y^{2}+xy}}+\frac{y}{\sqrt{z^{2}+yz}}+\frac{z}{\sqrt{x^{2}+xz}}$
Theo BDT AM-GM thì $\sqrt{2y(y+x)}\leq \frac{1}{2}(x+3y)$
Tương tự như trên P$P\geq 2\sqrt{2}(\frac{x}{x+3y}+\frac{y}{y+3z}+\frac{z}{z+3x})\geq 2\sqrt{2}\frac{\(\sum x)^{2}}{\sum x^{2}+3\sum xy}=2\sqrt{2}\frac{(\sum x)^{2}}{(\sum x)^{2}+\sum xy}\geq 2\sqrt{2}\frac{(\sum x)^{2}}{(\sum x)^{2}+\frac{1}{3}\(\sum x)^{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$
vậy minP=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$ Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x=y=z hay a=b=c=1

Cho 3 số thực x, y, z. Chứng minh rằng:
$\frac{2}{3} (xy+yz+zx)^{2} \leq x^{4}+y^{4}+z^{4}+xyz(x+y+z)\leq 2(x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2})$
Đây là bài mình tự sáng tác. post lên anh em giải cho vui nhé. Chúc mọi người thành công