damthungtuong

Xác định miền hội tụ của tích phân : $\int_{0}^{\infty }\frac{dx}{|lnx|^p}$

+ Đầu tiên tính đạo hàm riêng cấp 1 theo $x$:

$\frac{\partial f}{\partial x}=\left\{\begin{matrix}
\frac{2y^{5}-4x^{3}y^{2}}{(x^{3}+y^{3})^{2}} &x^{2} +y^{2}\neq 0\\ 0
 & x^{2}+y^{2}=0
\end{matrix}\right.$

+ Tại các điểm khác $(0,0)$ hàm số khả vi cấp 2 theo biến $y$. Tại điểm $(0,0)$, ta tính đạo hàm riêng cấp 2 theo định nghĩa:

$\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(0,0)=\lim_{y\rightarrow 0}\frac{\frac{\partial f}{\partial x}(0,y)-\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)}{y}=0$

Vậy $f(x,y)$ khả vi cấp 2 tại $(0,0) \rightarrow$ tồn tại ${f}''_{xy}(0,0)$

+Đặt vế trái là hàm F(x,y,z).

+Tính đạo hàm riêng của hàm F:

$\frac{\partial F}{\partial x}=2x-2;\frac{\partial F}{\partial y}=2y+2;\frac{\partial F}{\partial z}=2z-4$;

+Tính các đạo hàm riêng của hàm z(x,y):

$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial z}}=-\frac{2x-2}{2z-4}$;$\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{\frac{\partial F}{\partial y}}{\frac{\partial F}{\partial z}}=-\frac{2y+2}{2z-4}$

+ Tìm các điểm dừng của hàm z(x,y)

$\frac{\partial z}{\partial x}=0\rightarrow x=1;\frac{\partial z}{\partial y}=0\rightarrow y=-1$

Thay x, y vào phương trình ban đầu, tìm được z=6 hoặc z =-2

+ Tính các đạo hàm riêng cấp 2 của hàm z(x,y)

$a=\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}=\frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{\partial }{\partial x}(\frac{x-1}{z-2})=-\frac{z-2-\frac{\partial z}{\partial x}(x-1)}{(z-2)^{2}}$

Tương tự: $c=\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=-\frac{z-2-\frac{\partial z}{\partial y}(y+1)}{(z-2)^{2}}$;$b=\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}=\frac{(x-1)\frac{\partial z}{\partial y}}{(z-2)^{2}}$

+ Tại $(x,y,z)=(1,-1,6), a=-\frac{1}{4}, b=0, c=-\frac{1}{4}; ac-b^{2}>0$ và a<0 nên (1,-1) là điểm cực đại

   Tại $(x,y,z)=(1,-1,-2) a=\frac{1}{4}, b=0, c=\frac{1}{4}; ac-b^{2}>0$ và a>0 nên (1,-1) là điểm cực tiểu